Задачі-ігри. Виграшні стратегії.

Декому ніколи не випадало досить  глибоко зрозуміти математику,  тому вони і вважають її  числовою арифметикою, тобто сухою наукою. По суті це наука,  в якій головну роль гра фантазія. І один із перших математиків нашого століття говоре цілком вірно, що не можна бути математиком, не будучи в той же час поетом. Зрозумійте, що фантазія та видумка не одне й теж.

                                                                                Софія Ковалевська.  

Задача-жарт. На листку паперу поставили дев’ять точок.

 .    .    .    

 .    .    .          

 .    .    .      

1. а)Через ці точки провести чотири відрізки, не відриваючи олівця від паперу.
б) те саме, але провести один відрізок. (Зігнути папір, щоб через 9 точок пройшла одна пряма).
Активізація мислення та опорних знань. Робота в групах.

Запитання, які учні обговорюють в групах:

1. Продовжте послідовності чисел  на три числа:

i)        123, 456, 789, 101, 112, 131, 415, ... Чи вірне таке продовження: 161, 718,192?

ii)       100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …  Чи вірне таке продовження 289, 324, 361?

iii)     1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Чи вірне таке продовження  144, 233, 377?

iv)     1211, 2211, 1222, 1111, 2222, … Чи вірне таке продовження  1111, 1222, 2211?

2. Продовжте послідовності на три букви:

i)        П, В, С, Ч, …  Чи вірне таке продовження П, С, Н? (як дні тиждня)

ii)       С, Л, Б, К, …  Чи вірне таке продовження Т, Ч, Л?(як назви місяці)

iii)     Ч, О, Ж, З, …  Чи вірне таке продовження  Г, С, Ф? (як кольори веселки)

iv)     О, Д, Т, Ч, … Чи вірне таке продовження П, Ш, С? (як назви цифр)

Обговорення  отриманих результатів між групами.

Спробуйте здогадатися, чому в цій грі виграє завжди  перший гравець?

Задача. Двоє по черзі розрізають папір у клітинку, розміром  40х30 клітинок.  За один хід дозволяється зробити прямолінійний розріз  будь-якої частини вздовж лінії клітинок. Програє той, хто не зможе зробити хід.

 Розв’язок. Після кожного ходу кількість частинок збільшується рівно на 1.  

Спочатку був один шматок.   В кінці гри, коли не можна зробити жоден хід, папір розрізаний на клітинки 1х1. А їх – 120.  Таким чином, гра буде тривати рівно 119 ходів. Останній, 119-й хід (також, як і всі інші ходи з непарними номерами), зробить перший гравець. Тому він в цій грі перемагає, причому незалежно від того, як він буде грати.

Для викладачів. Звичайно, це ігра-жарт, але вона дозволяє без особливого напруження  подати школярам розуміння причини виграшу першого гравця.

Осмислення нових знань.

Математична гра – це гра двох осіб (інколи трьох). Ходи гравці роблять по черзі, жоден з них не може пропустити хід). Вважається що гравці грають сумлінно, найкращим чином. У таких іграх можна визначити кінцевий результат, тобто передбачити виграш одного з гравців.

Для розв’язування ігрової задачі треба сформулювати виграшну стратегію одного з гравця та довести, що така стратегія веде до виграшу.

Домовимося називати ігру, в якій результат не залежить від того, як грає суперник, грою-жартом.

Завдання для осмислення поняття виграшної стратегії

 Виправте помилки в умові задачі:

Задача  На столі лежать 1978 сірників. Два хлопчики по черзі можуть брати 1 чи 2 сірники. Який хлопчик виграє, якщо він має грати для цього?

В даній умові не вказано умову виграшу. Не зрозуміло, як в даній грі визначається переможець.

Осмислення виграшної стратегії за допомогою поняття симетрії.

В багатьох задачах-іграх виграшна стратегія досягається за допомогою вдалого ходу-відповіді на будь-який хід суперника. Існування такого ходу може забезпечити симетрія фігури, розбиття на пари, доповненням до числа.

Задача. Є дві купи каменів по 7 в кожній. За хід дозволяється взяти будь-яку кількість каменів, але тільки із однієї купи. Програє той, кому нема що брати. Хто може забезпечити собі перемогу в цій грі?

Розв’язок. В цій грі другий гравець перемагає за допомогою симе­тричної стратегії: кожним своїм ходом він повинен брати стільки ж каменів, скільки попереднім ходом взяв перший гравець, але з іншої купки. Таким чином, якщо у першого гравця є хід, тоді у другого гравця завжди є «симетричний» хід. Симетрія в цій задачі базується на рівності числа каменів в двох купах.

Для викладачів. Ідея симетрії в ігрових задачах заслуговує невеликої розмови. Перед нею необхідно розв'язати дві-три гри на симетрію (краще самостійно).

От ще декілька ігор, що ілюструють ту ж ідею «симетричної» стратегії виграшу.

Задача 1. Двоє по черзі ставлять коні в клітинки шахової дошки так, що коні не б'ють один одного. Програє той, хто не може зробити хід.

Розв’язок. Виграє другий.   Можна використати і центральну, і осьову симетрію шахівниці.

Задача 2. Двоє по черзі ставлять королі у клітинки дошки 9x9 так, що королі не б'ють один одного. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі виграш?

Розв’язок. Виграє перший.  Перший хід в центр дошки, а після цього – центральна симетрія ходів першого гравця після ходів суперника.

Задача 3.

а)         Двоє по черзі ставлять слони у клітинки шахової дошки. Черговим ходом слід побити хоча б одну небиту клітинку. (Слон б'є і клітинку, на якій він знаходиться). Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі виграш?

б)         Умова гри та ж, але з турами.

Розв’язок. В обох пунктах виграє перший гравець, для випадку  а) він використає осьову симетрія шахівниці; для випадку б) він використає центральну симетрію.   Вирішальним міркуванням є те, що, якщо два симетричних поля не побиті, то поля, з яких обидва вони б'ються, також не побиті.

Задача 4. Дано клітчасту дошку 10 х 10. За хід дозволяється по­крити будь-які 2 сусідні клітинки прямокутником 1x2 так, щоб пря­мокутники не перекривались. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі  виграш?

Розв’язок. Виграє другий, якщо дотримується під час кожного ходу  центральносиметричної стратегії покриття дошки.

Задача 5. В кожній клітинці дошки 11 х 11 стоїть шашка. За хід дозволяється зняти з дошки будь-яку кількість шашок, що йдуть під­ряд, або з одного вертикального, або з одного горизонтального ряду. Виграє той, хто зняв останню шашку. Хто забезпечить собі  виграш?

Розв’язок. Виграє перший.  Першим ходом він знімає центральну шашку, а
потім грає центрально-симетрично.

Задача 6. Є дві купки камінців: в одній — 30, в другій — 20. За хід дозволяється брати будь-яку кількість камінців, але тільки з одної купки. Програє той, кому нема що брати. Хто забезпечить собі  виграш?

Розв’язок. Виграє перший. Першим ходом він зрівнює кількість камінців в купках, після чого обирає «симетричну» стратегію виграшу.

Задача 7. На колі розставлено 20 точок. За хід дозволяється з'єдна­ти будь-які дві з них відрізком, що не перетинає відрізків, які проведено раніше. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі  виграш?

Розв’язок. Виграє перший.  Першим ходом він проводить хорду, по обидва
боки від якої розташовано по 9 вершин.   Після цього, на кожний хід
другого він відповідає аналогічним ходом по інший бік від цієї хорди.

Задача 8. Ромашка має а) 12 пелюсток; б) 11 пелюсток. За хід дозволяється відірвати або одну пелюстку, або дві, що ростуть поруч. Програє той, хто не може зробити ходу. Хто забезпечить собі  виграш?

Розв’язок. В обох пунктах виграє другий гравець. Незалежно від ходу першого гравця, другий може після свого ходу залишити два однакових за довжиною ланцюжки пелюсток. Далі — симетрія.

Задача для повного пояснення та запис її розв’язання в зошит.

Задача. На дошці записано 10 одиниць і 10 двійок. За хід дозво­ляється стерти дві будь-які цифри, а, якщо вони однакові, написати двійку, а якщо різні – одиницю. Якщо остання цифра, що залишилася на дошці одиниця, виграв перший гравець, якщо двійка — то другий. Чому у цій грі завжди перемагає гравець, який не розпочинає гру?

Розв’язання:  Парність кількості одиниць на дошці після кожного ходу не змінюється. Оскільки спочатку одиниць було парне число, то після останнього
ходу на дошці не може залишатися одна (непарне число!)   одиниця.
Тому виграє другий гравець.

Практична частина заняття.

Завдання для створення ігрових ситуацій у  групах.

Дидактичні   задачі-ігри.

1. Гра «Хрестики-нулики» проводиться на квадратичному полі 3х3, що містить 9 квадратні клітини. Двоє гравців по черзі за­повнюють вільні клітини: перший — заповнить своїми символами горизонталь, вертикаль або діагональ з трьох квадратів. Якщо це не вдалося нікому, то гра закінчується внічию. Хто забезпечить собі перемогу?

2. Гра «9 цифр». На столі лежать 9 карток, на кожній з яких написано одну з цифр від 1-го до 9-ти включно. Цифри на всіх картках різні. Картки лежать написами догори. Двоє гравців по черзі беруть по одній картці зі столу. Переможцем вважається той,  хто першим візьме 3 картки, сума цифр на яких дорівнюватиме 15 (на руках у переможця можуть бути й інші картки). Хто забезпечить собі перемогу?

3. Гра «9 слів». На столі лежать 9 карток, кожна з них містить одне зі слів: Лорен, какао, місто, хек, ліс, рама, Алла, меч, рік. [Слова на різних картках різні. Картки лежать написами догори, Два гравці по черзі беруть по одній картці зі столу. Переможцем вважається той, хто першим візьме 3 картки зі словами, що мають одну спільну літеру (на руках у переможця можуть бути й інші картки). Хто забезпечить собі перемогу?

4. Гра «9 шляхів». 8 міст, позначених першими літерами латиниці, сполучає 9 шляхів, що проходять відповідно через міста АЕН, АF, АDG, ВЕ, ВDFН, ВG, СF, СGН. Два гравці по черзі зафарбовують своїм кольором (червоним або синім) позначення шляхів на карті. Переможцем вважається той, хто перший зафарбує своїм кольором позначення всіх шляхів, які проходять через одне місто.  Хто забезпечить собі перемогу?

5. Гра Баше(Клод Гаспар Баше де Мезірака (1581—1638) — французький математик, поет,  перекладач). На початку гри в купці є п предметів. Два гравці  по черзі забирають з цієї купки предмети (від 1 до p включно). Переможцем вважається той, хто примусить суперника зробити останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

6. Гра «На стежині». На кінцях стежини, розбитої на т клітин, стоять шашки різного кольору. Двоє гравців по черзі рухають шашку певного кольору на вільну клітину на довільну кількість клітин у межах від однієї до р включно в довільному напрямку, але без перескакування шашки суперника й виходу за межі стежини. Переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

7. Певну кількість фішок розташовано в ряд. Два гравці по черзі забирають довільні одну або дві фішки, які стоять поруч, переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

8. Певну кількість фішок розташовано по колу. Два гравці по черзі забирають довільні одну або дві фішки, які стоять поруч. Переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

9. На початку гри є k груп предметів. Двоє гравців по черзі  ділять кожну групу, що містить більше одного предмета, на дві менші групи. Переможцем вважається той, хто виконає останній поділ. Хто забезпечить собі перемогу?

10. Два гравці по черзі виймають зі скриньки предмети, кількість яких не перевищує половини наявних у скриньці. Програє той,  хто візьме останній предмет. Хто забезпечить собі перемогу?

11. Є дві купи предметів. Два гравці по черзі забирають одну купу, а іншу ділять на дві частини (обидві дії виконує один і той самий гравець). Переможцем вважається той, хто останнім ходом залишить дві купки по одному камінцю. Хто забезпечить собі перемогу?

12. Є 15 шашок, розташованих в ряд. Двоє гравців ходять по черзі. Першим ходом перевертається будь-яка шашка, а кожним наступним – будь-які одна або дві сусідні ще не перевернуті шашки. Переможцем вважається той, хто примусить суперника зробити останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

13. Китайська гра «ФАН-ТАН»На початку гри є k груп предметів. Двоє гравців по черзі  забирають з будь-якої групи довільну додатну кількість предметів (можливо й усі предмети групи). Переможцем вважається той, хто виконає останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

Підсумок заняття.

Фронтальне опитування

Що означає проаналізувати гру?

Відповідь: Це означає виокремити з усіх позицій клас виграшних  та клас програшних позицій, які мають такі властивості:

·        За один хід з однієї виграшної позиції не можна перейти до іншої виграшної позиції;

·        З будь-якої невиграшної позиції за один хід можна перейти до деякої (відмінної від попередньої) виграшної позиції.

Як слід знаходити виграшні позиції?

Відповідь. Від завершальної виграшної позиції ( позначають знаком плюс)послідовно розглянути усі можливі попередні ходи, які ведуть у завершальну позицію (позначають знаком мінус), і так далі.

Хто може забезпечити собі перемогу у грі, якщо початкова позиція виграшна?

Відповідь: другий гравець.

Хто може забезпечити собі перемогу у грі, якщо початкова позиція програшна?

Відповідь: перший гравець.