1.Обведення фігур.Математика для молодших.

Пам’ятка  „Юного математики”

1. Уважно прочитайте умову задачі і визначте порядок, у якому будете їх розв’язувати (краще починати з легших задач, які, як правило, розміщені на початку).
2. Якщо умову задачі можна зрозуміти різними способами, то не вибирайте найзручніший для себе, а зверніться за консультацією до наставника.
3. Якщо незрозуміло, чи правильне деяке твердження, то спробуйте його довести або спростувати.
4. Не зациклюйтесь на одній задачі. Якщо немає ідеї розв’язання, то задачу краще на деякий час облишити.
5. Розв’язавши задачу, одразу ж оформляйте розв’язання. Це допоможе перевірити його правильність і звільнить увагу для інших задач.
6. Кожен, навіть очевидний, крок розв’язання треба записувати. Громіздкі розв’язки краще записувати у вигляді кількох тверджень(лем).
7. Перед тим, як здати наставнику роботу, уважно перечитайте її очима наставника, чи зможе він зрозуміти ваші записи.

Задачі на обведення фігур олівцем за умовою неперервності лінії.

1.      Обведіть олівцем  квадрат із однією діагоналлю, не відриваючи олівця від паперу  і побувавши в кожній точці тільки один раз.

2.      Обведіть олівцем  ребра кубика, не відриваючи олівця від паперу  і побувавши в кожній точці тільки один раз... А чи накреслену на малюнку фігуру можна так обвести?

3.      Спробуйте за 1 хв накреслити  емблему автомобіля  марки „Мерседес” дотримуючись умови попередньої задачі.

Чому не вдалося вам це зробити? Зверніть увагу на те, що на емблемі є чотири точки перетину і з кожної точки виходить три лінії.

Тепер порахуйте скільки точок перетину на фігурах. Зверніть увагу, на цих рисунках скільки  ліній виходять з точок перетину. Наприклад, знайти точки, з якої виходить три відрізка. В одній з цих точок ви починали обводити фігуру, а в іншій закінчували.  Отже, можна зробити висновок.  Якщо на  графічній фігурі є тільки дві точки перетину з непарною кількістю ліній, то для обведення фігури олівцем, слід запам'ятати:

"Починати і закінчувати обведення в точках з непарною кількістю ліній".

Висновок. Обвести куб не можна, бо він має не дві точки з непарною кількістю ліній, а вісім таких точок(це усі вершини куба). 

Запитання для обмірковування:

1.        Чи завжди можна обвести графічну фігуру, не відриваючи від паперу олівця і не проходячи двічі  пройдений шлях?

2.        Яка вершина має непарну кратність  ліній на графічній  фігурі куб?

3.        Скільки треба мати вершин непарної кратності, щоб можна було обвести фігуру?

4.        У груповому турнірі чемпіонату світу з футболу брали участь 4 команди. Якою графічною фігурою  можна наглядно зобразити усі ігри в цій групі? Скільки ігор зіграє одна команда?

5.        Які фігури можна обвести олівцем, не відриваючи від паперу олівця і не проходячи двічі  пройдений шлях?

Запитання для осмислення:

1.        Скількома відрізками можна з’єднати дві точки?

2.        Яка фігура є найкоротшою відстанню між двома точками?

3.        Скількома способами можна обвести сторони трикутника?

4.        У скількох точках можна перетнути три різні за довжиною відрізки?

5.        Чи можна з’єднати кінці шести рівних відрізків у чотирьох вершинах так, щоб кожні три відрізки виходили з однієї точки?

6.        З міста виходить три шляхи. Скільки існує способів, якими можна одночасно зайти у місто  і вийти з міста?

7.        Чи можна обвести олівцем квадрат з діагоналями, не відриваючи олівця від паперу і не проходячи дві через кожну точку ромба з діагоналями?

Афористичні вислови відомих вчених

Мій олівець буває дотепнішим за мою голову.

                                         Леонард Ейлер

Алгебра і геометрія – єдині країни, де панують мир і тиша.                              

                                                   М. Аньєзі.

Математика – це більше, ніж наука, це мова наук.

                                                                 Нільс Бор.

Глибоке вивчення природи – найплідніше джерело математичних відкриттів.

                                                                                           Ж. Фур’є

Люди, що засвоїли великі принципи математики, мають на один орган чуття більше, ніж прості смертні.

                                                                     Ч. Дарвін

Завдання для вироблення умінь та навичок досліджувати та аналізувати.

У вершині куба сидить павук. Чи може павук побувати  у кожній  вершині куба, пройшовши по ребрах тільки  один раз?

Підказка: порахуйте кратність кожної вершини куба.

Узагальнення вивченого матеріалу . Матеріал для вивчення.

Щоб обвести графічну фігуру, треба спочатку знайти на графічній фігурі усі точки перетину ліній  з непарним числом ліній. Якщо таких точок більше, ніж дві, то фігуру обвести не можливо. Адже в точку треба зайти,  а потім і вийти, тому для цього необхідно мати парне число ліній. Отже, треба мати не більше двох точок з непарним числом ліній, щоб обвести фігуру за умовою неперервності лінії. 

Якщо у графічного фігури усі парні вершини то, розпочинати обведення краще після того, як здійснити „розщеплення” кожної вершини. 

Якщо вершин з непарним числом ліній тільки дві, то обведення розпочинати з першої, а закінчувати обведення усієї фігури  в другій точці з непарним числом ліній. Якщо вершин з непарним числом ліній тільки одна, то обведення розпочинати з неї.

Самостійна робота  учня:

1. Кожна вершина правильного шестикутника з’єднана з кожною з інших вершин червоним або зеленим відрізком. Довести, що завжди знайдеться трикутник зі сторонами одного кольору.

Підказка: З одної вершини виходить 5 відрізків. І хоча б три з них одного кольору. Розгляньте ці відрізки.

2. Доведіть, що серед шести чоловік знайдуться або три, один з одним знайомі, або три один з одним не знайомі.

Підказка: Розташуйте шість чоловік у вершинах правильного шестикутника. З одної вершини виходить 5 відрізків. І хоча б три з них одного кольору. Розгляньте ці відрізки.

3. Накреслити малюнки, не відриваючи олівця від паперу, і не повторюючи пройдений шлях.

Задачі для індивідуального тренінгу:

1. Як можна розрізати рівносторонній трикутник на:

a)        2 рівних трикутники;

b)       3 рівних трикутники; 

c)        4 рівних трикутники;

d)       6 рівних трикутників;

e)        8 рівних трикутників;

f)        12 рівних трикутників?

      2. В ящику лежать  10 пар чорних і 10 пар білих рукавичок одного розміру.          

Скільки рукавичок треба взяти навмання з ящика, щоб серед них були:

a)        дві рукавички одного кольору;

b)       одна пара рукавичок одного кольору;

c)        дві пари рукавичок чорного кольору;

d)       одна пара рукавичок чорного кольору і одна пара – білого;

e)        одна пара рукавичок різного кольору;

f)        дев’ять пара рукавичок білого кольору? 

Задачі Мудрої Сови:

1. Дано півсклянки води і півсклянки молока. Три ложки води долили до молока, а потім три ложки суміші знову перелили в склянку з водою. Чого виявилось більше внаслідок цих переливань: води в молоці чи молока у воді?

Розв’язання: Порівну, бо скільки відлили молока, стільки ж долили води.

2. Три подруги одягли сукні різних кольорів. Одна − блакитну, друга − білу, і третя − зелену. Їхнє взуття було не таких самих кольорів, як сукні; тільки в Олі колір взуття був  однаковий. Наталка була в зелених босоніжках. Сукня і взуття Валі не були білими. Хто і як був одягнений?

Розв’язання: Зрозуміло, що колір Валиного взуття блакитний. Отже, Оля була у білій сукні і білих босоніжках. Наталка одягла блакитну сукню, а Валя – зелену.

3. Скільки існує двоцифрових  натуральних чисел, обидві цифри яких розташовані у зростаючому порядку?

Розв’язання:  У другому десятку їх 8, у третьому десятку – 7, у четвертому десятку  - 6, і так далі. 8+7+.....+ 2+1=36 двоцифрових чисел?

4. Довести, що серед 5 осіб принаймні двоє з них мають однакову кількість знайомих.

Розв’язання:  Помістимо 5 осіб у „клітки” з номерами 0,1,2,3,4, де номер „клітки” відповідає кількості знайомих особи. Зауважимо, клітки з номерами 0 та 4  не можуть бути заповнені одночасно, бо якщо є особа, що не знайома ні з ким, тоді клітка під номером 4 порожня. Отже 5 осіб розміщені в чотирьох клітках. Принаймні дві особи знаходяться в одній клітці., тобто мають однакову кількість знайомих.

5.  Для п’яти дипломатів  є ключі в одній зв’язці. Скільки необхідно зробити спроб, щоб відімкнути три дипломати?

Розв’язання: Перенумеруємо усі дипломати. Першим із ключів в найгіршому випадку треба зробити  4 спроби. Якщо ключ не підійшов до 4  дипломатів, то цей ключ обов’язково відімкне п’ятий дипломат. Залишається 4 ключі та 4 дипломати. Другий ключ знайде свій дипломат у найгіршому випадку за 3 спроби, тоді третій ключ у найгіршому випадку відімкне  за три спроби третій дипломат. Отже, щоб відімкнути три дипломати, потрібно 5+4+3=12 спроб.