Математичний тренінг 6

1. У Вінні- Пуха є 8 горщиків меду вагою 1, 2, 3, …, 8 кг  (на кожному горшку написана його вага), при цьому в один горщечок підклали кусок сиру вагою 1 кг. Як за допомогою двох зважувань на терезах без гир знайти горщечок із сиром?

2. Чи вірно, що 67  способами можна набрати суму в 10 гривень, користуючись монетами 5 і 10 коп?

3. Місто зветься великим північним, якщо у порівнянні з кожним з інших міст виявиться, що воно або велике або північне. ( або і те, і інше). Аналогічно визначається маленьке південне місто. В тридев’ятому царстві усі міста, крім Казкограду, є і великим північним і малим південним одночасно. Доведіть, що Казкоград – також велике північне і при цьому також мале південне місто.

4. Знайдіть всі цілі корені рівняння ( а : 7)  +(с :13) = 1 : 91.

5. На медогляд прийшли хлопчики вагою 39 кг і дівчатка вагою 40 кг, всього не більше 50 чоловік. Нещодавно вони обіцяли принести на медогляд своїх хом’ячків( кожний хом’ячок вагою 1 кг). На медогляді виявилось, що хлопчики важать у сумі стільки ж, стільки дівчата. Довести, що або хтось із хлопчиків приніс хом’ячка, або дівчатка принесли що найменше 15 хом’ячків.

6. Сума всіх трицифрових чисел без деяких двох в 600 раз більше одного з цих чисел. Знайдіть ці два числа.

7. ...........

8. Дано натуральне число n. Дозволяється стерти в даному числі дві цифри, що стоять поряд і відмінні на 1( наприклад, із 245984 можна отримати 2984 або 2454). Дмитро виконав декілька таких операцій1 і отримав із числа n число 611, а Сашко за допомогою декількох операцій отримав із числа n число 556. Доведіть, що число n містить хоча б дві цифри 6.

9. Хтось купив 30 птахів за 30 монет, сплативши за кожні 3 горобці по 1 монеті, за кожні 2 шпака – теж по 1 монеті, а за кожного голуба – по 2 монети. Скільки куплено птахів кожного виду?

10. Два мільйонера  грають в наступну гру. На столі на початку ігри лежать 1000 купок сірників, по одному сірничку в кожній купці. Гравець може за один хід скласти будь-які дві купки разом, при цьому суперник дає йому стільки гривень, скільки було сірничків у великій купці. Виграє той, хто в кінці гри(коли всі купки стануть однією) отримає прибуток. Хто виграє при правильній грі і який найбільший виграш він може себе забезпечити?