Задачі на парність і непарність

Осмислення нових знань.

Числові задачі на розминку.

1. Поставте плюси у виразі: 8 8 8 8 8 8 8 8=1000.

Розвязок: 888+88+8+8+8=1000.

2. Поставте дужки у виразі: 7*9 + 12:3-2=23, 7*9 + 12:3-2=75.

Розвязок: (7*9 + 12):(3-2)=75, (7*9 + 12):3-2=23.

3. Поставте плюси та мінуси у виразі: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100.

Розвязок: 12 - 3 - 4 + 5 - 6 +7 + 8 9 = 100.

4. Скількома способами можна поділити 50 грн. між Петриком та Павликом так, щоб кожен хоча б один з них отримав парну кількість гривен?

Розвязок:

50=0+50, 50=2+48,50=4+46,50=6+44,50=8+42,

50=10+40, ..., 50=46+4,50=48+2,50=50+0.

Від 0 до 50 існує 26 парних чисел.

Відповідь: 26 способів.

Властивості парності і непарності натуральних чисел.

Задача 1. Чи можна розміняти 25 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю 1, 3 та 5 карбованців?

Розв'язання цієї задачі грунтується на простому спостереженні:   сума парної кількості непарних чисел є парною. Узагальнення цього факту виглядає так: парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Задача 2. Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумеру­вав всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 25 аркушів і додав всі 50 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?

Задача 3. В ряд записано числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки "+" та "—" так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?

Зауваження. Врахуйте, що від'ємні числа також бувають парними та непарними.

Задача 4. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої, причому пер­шого разу він стрибнув на 1 см в якийсь бік, другого — на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може зупинитися там, де починав.

Задача 5. На дошці виписано числа 1,2,3,..., 1984, 1985. Дозволя­ється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишається одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?

Задачі для самостійного опрацювання.

Задача 1. На. дорозі, що з'єднує дна аули, немає горизонтальних ділянок. Автобус їде вгору завжди зі швидкістю 15  км/год, а під гору — 30  км/год. Знайдіть відстані, між аулами, якщо відомо, що шлях туди і назад автобус долає за 4 години.

Задача 2.  Чи існують такі натуральні числа  a, b що аb{а – b)= 45045?

Задача 3.  Позначимо суму трьох послідовних натуральних чисел

через а, а суму наступних трьох натуральних чисел — через b/   Чи

може добуток ab дорівнювати 111111111 ?

Задача 4. Доведіть, що остання ненульова цифра, числа 1985! парна.

Задача 5.   Натуральні числа х і у такі, що 34x = 43y. Доведіть, що число х + у   –   складене.

Задача 6.  Чи існують такі цілі числа a, b, відмінні від нуля, що одне з них ділиться на їх суму, а друге — на їх різницю?

Задача 7. Доведіть, що натуральне число, десятковий запис якого складається із однієї одиниці, двох двійок, трьох трійок, ... , дев'яти дев'яток, не може бути точним квадратом.

Задача 8. Кожне з натуральних чисел a, b, с і d ділиться на аb — сd. Доведіть, що аb — сd дорівнює 1 або — 1.

Задача 9. В країні Анчурії в обігу знаходяться купюри чотирьох вартостей: 1 долар, 10 доларів, 100 доларів, 1000 доларів. Чи можна відрахувати мільйон доларів так, щоб одержати рівно півмільйона ку­пюр?

Задача 10. На дошці написано число 1. Кожну секунду до числа на дошці додають суму його цифр.  Чи може через деякий час на дошці з'явитися число 123456?

Задача 11.  Доведіть, що число 3999991 не є простим.

Задача 12.

а)         Знайдіть семизначне число, всі цифри якого різні і яке ділиться на
всі ці цифри.

б)         Чи існує таке восьмизначне число?