Математичний тренінг 7

1. Сашко написав 26 послідовних натуральних чисел і вибрав десять із них. Сума вибраних чисел виявилася простим числом. Чи може бути так, що сума останніх 16 чисел — також просте число?

2. Кожним пострілом по мішені Федір вибив 8, 9 та 10 очок. Він зробив більше, ніж 11 пострілів і вибив рівно сто очок. Скільки Федір зробив пострілів і з яким результатом?

3. В місто, де проживають тільки рицарі(говорять тільки правду) і брехуни(тільки обманюють), приїхав Фантомас. Деякі жителі поспілкувалися з Фантомасом, а деякі з тих, що поспілкувалися навіть запросили його в гості. На питання «Хто розмовляв з Фантомасом?» позитивно відповіли половина жителів, а на питання «Хто запросив у гості Фантомаса?» — 60% жителів. Кого більше серед тих, хто розмовляв з Фантомасом, але не запросив його в гості, — рицарів чи брехунів?

4. На площині намальовано шість відрізків, при цьому ніякі два з них не лежать на одній прямій. Відмічені всі точки перетину відрізків. Виявилось, що кожна відмічена точка належить рівно двом відрізкам. На першому відрізку відмічено три точки, на другому — 4 точки, на трьох наступних — по 5 точок. Скільки точок відмічено на шостому відрізку?

5. Скільки існує розв’язків рівняння 19∙х+96∙у = 5∙х∙у   в натуральних числах?

6. Сума двох десяти цифрових чисел, записаних тільки одиницями і дев’ятками, починається з двійки. Доведіть, що в запису суми кількість трійок рівно сумі кількості нулів і кількості вісімок.

7. Є  таблиця 2х8( 2- по вертикалі) та карточки з числами від 1 до 16. Двоє гравців по черзі кладуть по одній карточці на вільні клітинки таблиці. Коли всі карточки розкладені, гравці відмічають в кожному стовбці найменше число і знаходять суму усіх відмічених чисел. Якщо ця сума ділиться на 7 — виграє той, хто робить хід першим, а якщо не ділиться, то – його суперник. Хто виграє при правільній грі?

8. Руда містить 40%  домішок, а виплавлений з неї метал — 4% домішок. Чи досить 24 т руди, щоб отримати 15 т металу?

9. До трицифрового числа зліва приписали цифру 3 і воно збільшилося втричі. Яке це число?

10. .....

11.  Цукор подешевшав на 20%. На скільки відсотків більше можна купити цукру на ту ж саму  суму?

12.  На залізниці від Парижу до Києва є 200 вокзалів разом кінцевими. Потяг від Києва до Парижу їде так, що для будь-яких двох вокзалів існує потяг, що зупиняється на них, проте не зупиняється між ними. Яка найменша кількість потягів може ходити по маршруту Париж-Київ?

13. Шахова фігура Кінь стоїть на білій кутовій клітинці шахової дошки. Чи зможе Кінь обійти усі клітинки по одному разу за 63 ходи?

14. Кожен з двох гравців за один хід ставить на шахівницю одного або двох королів — білого та чорного — так, щоб вони не били одне одного. Програє той, хто не може зробити наступний хід? Хто забезпечить собі перемогу при правильній грі?