Математичний тренінг 5

Задачі олімпіадного рівня:

1. Чи можна 13-кутник розрізати на паралелограми?
2. На дошці 25х25 розставлено 25 шашок, причому їх роз­міщено симетрично відносно діагоналі,   Доведіть, що одна з шашок розташована на діагоналі.    
3. Припустимо зараз, що розташування шашок в попередній задачі  є симетричним відносно обох головних діагоналей. Доведіть, що одна з шашок стоїть у центральній клітинці.
4. У кожній клітинці квадратної таблиці розміром 25х25 записано одне з чисел 1,2,3,..., 25. При цьому, по-перше, в клітинках, симетричних відносно головної діагоналі, записано рівні числа, і по-друге, ні в якому рядку та ні в якому стовпчику немає двох рівних чисел. Доведіть, що числа на головній діагоналі є попарно рівними.
5. Чи можна розміняти 25 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю 1, 3 та 5 карбованців?

Розв'язання цієї задачі базується на простому спостереженні:    сума парної кількості непарних чисел є парною. Узагальнення цього факту виглядає так: парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, той сума також є (не)парною.

6. Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумеру­вав всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 25 аркушів і додав всі 50 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?
7. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює нулю.
8. Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел?
9. В ряд записано числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки "+" та "-" так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?

      Зауваження. Врахуйте, що від'ємні числа також бувають парними та непарними.

10. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої, причому пер­шого разу він стрибнув на 1 см в якийсь бік, другого — на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може зупинитися там, де починав.
11. На дошці виписано числа 1,2,3,..., 1984,1985. Дозволя­ється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишається одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?
12. Чи можна покрити шахматну дошку доміношками розмі­ром 1x2 так, щоб вільними залишились тільки клітинки а1 і h8?
13. До 17-цифрового числа додали число, яке записано тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра суми, що отримана, є парною.
14. В народній дружині є 100 чоловік, і кожного вечора троє з них йдуть чергувати. Чи може після деякого часу виявитися, що кожен чергував з кожним рівно один раз?
15. На прямій відмічено 45 точок, що лежать зовні відрізка АВ. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки А не дорівнює сумі відстаней від цих точок до точки В.
16. По колу розставлено 9 чисел — 4 одиниці і 5 нулів. Кожну секунду над числами роблять таку операцію: між сусідніми числами ставлять нуль, якщо вони різні, та одиницю, якщо вони рівні. Чи можуть усі числа через деякий час стати рівними?
17. 25 хлопчиків і 25 дівчаток сидять за круглим столом. До­ведіть, що у когось із них обидва сусіди — хлопці.
18. Равлик повзе по площині із сталою швидкістю і кожні 15 хвилин повертає під прямим кутом. Доведіть, що повернутись до початкової точки він зможе лише після цілого числа годин.