Чотирикутники

Чотирикутники

Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають, - сторонами чотирикутника.

Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Вершини, які не є сусідніми , називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями. У чотирикутника діагоналями є АС, ВD.

Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. У чотирикутника протилежними є сторони АВ і СD, ВС і АD. Чотирикутник позначають, записуючи його вершини. Наприклад, чотирикутник на малюнку 01 позначено так: АВСD. У записі чотирикутника вершини, що стоять поряд, повинні бути сусідніми. Чотирикутник АВСD на малюнку 91 можна позначити ВСDА або СDА, але не можна позначити АВСD (В і D – несусідні вершини).

ПАРАЛЕЛОГРАМ

Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих ( мал.93а).

Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці перетину діляться пополам, то цей чотирикутник – паралелограм.

Теорема 2. Діагоналі паралелограма перетинаються і точці перетину діляться пополам.

Теорема 3. У паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.

Доведення. Нехай АВСD – даний паралелограм Проведемо діагоналі паралелограма. Нехай ) – точка їх перетику. Рівність протилежних сторін АВ і СD випливає з рівності трикутників АОВ і СОD. У них кути при вершині О рівні як вертикальні, а ОА +ОС і ОВ + OD за теоремою 2. Так само з рівності трикутників АОD і СОВ випливає рівність другої пари протилежних сторін АD і ВС.

Рівність протилежних АВС і СDА випливає з рівності трикутників АВС і СDА (за трьома сторонами). У них АВ+СВ і ВС + DА за доведеним, а сторона АС спільна.

Так само рівність протилежних кутів ВСD і DАВ випливає з рівності трикутників ВСD і DАВ. Теорему доведено.

ПРЯМОКУТНИК. РОМБ. КВАДРАТ

Теорема 1. Діагоналі прямокутника рівні.

Твердження теореми випливає з рівності прямокутних трикутників ВАD і СDА. У них кути ВАD і СDА прямі , катет АD спільник, а катети АВ і СD рівні як протилежні сторони паралелограма. З рівності трикутників випливає, що їх гіпотенузи теж рівні. А гіпотенузи є діагоналями прямокутника. Теорему доведено.

Теорема 2. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Доведення. Нехай АВСD – даний ромб., а О – точка перетину його діагоналей. За властивість. Паралелограма АО=ОС . Отже у рівнобедреному трикутнику АВС відрізок ВО є медіаною. За властивістю рівнобедреного трикутника медіана, проведена до його основи, є бісектрисою і висотою. А це означає, що діагональ ВD є бісектрисою кута В і перпендикулярна до діагоналі АС. Теорему доведено.

Квадрат – це прямокутник, якого всі сторони рівні.

Квадрат є також ромбом, тому він має властивості прямокутника і ромба.

ТРАПЕЦІЯ

Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основами трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною. Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції.

Теорема 1. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

Теорема 2. Паралельні прямі що перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.

Осмислення нових знань.

 Колективне розв’язування задач.

1. Трапеція описана навколо кола. Знайти відношення довжини середньої лінії трапеції до радіуса.
2. В трапеції основа дорівнює 2а, всі решта сторони цієї трапеції дорівнюють а. Знайти відстань від середини однієї бічної сторони трапеції до другої. Обчислити при а=8√3.
3. Визначити площу трапеції, якщо відомо, що при послідовному з’єднанні середин її сторін утворюється квадрат, довжина сторони якого дорівнює а. Обчислити при а=2.

Практична частина заняття.

Завдання для вироблення умінь та навичок використовувати властивості трикутників та чотирикутників.

1. У рівнобічній трапеції з тупим кутом 120° і периметром 220см. діагональ ділить середню лінію у відношенні 5:6. Знайдіть бічні сторони трапеції.
2.  Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює 10см., а площа дорівнює 48 см². Знайти висоту трапеції.
3. .Висота рівнобічної трапеції дорівнює 14см., а основи - 16 і 12 см. Знайти площу описаного кола.
4. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою гострого кута і ділить середню лінію на відрізки 13 і 23 см. Знайдіть висоту трапеції.
5. Більша діагональ прямокутної трапеції є бісектрисою гострого кута. Сума основ трапеції дорівнює 31см., а сума бічних сторін -25 см. Знайдіть основи та висоту трапеції.
6. Діагональ   рівнобічної   трапеції   з   основами    25    і    39см.    є бісектрисою гострого кута. Знайдіть висоту трапеції.
7. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 13 і 37 см., а діагоналі взаємно перпендикулярні. Обчисліть площу трапеції.
8. Бісектриса гострого кута ділить меншу основу прямокутної трапеції на відрізки 5 і 15  см. Обчисліть периметр трапеції, якщо її більша основа дорівнює 29  см.
9. В рівнобічній трапеції довжина середньої лінії дорівнює 5, а діагоналі взаємно перпендикулярні. Знайти площу трапеції.
10. Бісектриси гострих кутів при основі трапеції перетинаються на другій основі, а бічні сторони дорівнюють 13 і 15  см. Знайдіть основи трапеції, якщо її висота дорівнює 12  см.
11. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 25 і 37  см, а менша діагональ є бісектрисою тупого кута. Обчисліть периметр трапеції.
12. Діагональ рівнобічної трапеції з основами 7 і 25  см перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть цю діагональ.

Задачі для самостійних дослідів учнів.

1. Чи існують вид 4-кутника, у якого довжини середніх ліній рівні, а сторони  різні?

2. Чи існують  вид 4-кутника , у яких площі різні, а сторони рівні?

3. Замалювати випадок чотирикутника, у якого діагоналі перпендикулярні, а тільки одна пара протилежних кутів рівна.

4. Як вияснити рівновеликість прямокутників, маючи тільки радіуси описаних кіл? Чи необхідно ще вимірювати додаткові елементи цих прямокутників?

5. Як вияснити рівновеликість рівнобічних трапецій за двома сторонами?

6.Чи завжди можна утворити будь-яке число рівновеликих трикутників у квадраті?

Чи можна порівнювати 4-кутники за величинами їх площ та периметрів? 

7. Чи площі у  нерівних  рівнобічних трапецій з рівними кутами можуть виявитися  рівними?

8.Як вияснити, що серед довільних 4-кутників є паралелограми, виконуючи лише вимірювання діагоналей? Що необхідно зробити?