Геометричні задачі на принцип Діріхле

Запитання  від математичного "духа" нашого математичного гуртка:

У колесі десять спиць, а скільки між ними проміжків.

Відповідь: десять.

Мотивація вивчення нових знань.

Математик не бере до уваги ані свідчень, ані здогадів, бо він робить висновок відповідними мір­куваннями із своїх означень та аксіом. І справді, те, що грунтується на здогадах, безпідставно нази­вають наукою; здогади можуть породити думку про щось, але не знання. Т.Рід

Осмислення нових знань.

Принцип Діріхле в геометрії

Принцип Діріхле для площ можна сформулювати у вигляді такої теореми:

Нехай А1,А2,...,АП —многокутники або інші фігури, для яких  визначене поняття площі (див.: кн. "Кенгуру-99", "Площі елементарних фігур"), причому А_і  А  (фігура А_і  міститься в А) для і = 1,..., n.

Відомо, що

S(A) < S(A₁)+ S(A₂)+ S(A₃)+…..+ S(A_n)

(тут S(A_s) –  площа фігури A_s).

Тоді принаймні дві з фігур А₁...,А_К мають спільні внутрішні точки. Нагадаймо, що точка X фігури А тоді називається внутріш­ньою, якщо існує такий кружечок із центром у точці X, який цілком належить фігурі А.

Принцип Діріхле для площ допускає також таке узагальнення:

Нехай А,А₁,А₂,...,Аn — фігури, для яких визначене поняття площі, причому А_і  А  для всіх і = 1,..., n. Якщо

к S(A) < S(A₁)+ S(A₂)+ S(A₃)+…..+ S(A_n),

 то принаймні к +1 фігура з фігур А₁,А₂,...,А_n має спільну внутріш­ню точку.

Ми сподіваємось, що вчитель зможе легко переформулювати принцип Діріхле для площ для довжин та об'ємів.

Розпочнемо розгляд із кількох елементарних задач, у яких засто­совується принцип Діріхле.

1.         Доведіть, що рівносторонній трикутник не можна покрити
двома меншими за нього рівносторонніми трикутниками.

Доведення. Зрозуміло, що менший рівносторонній трикутник може покривати щонайбільше одну вершину даного рівностороннього трикутника. А тому даний рівносторонній трикутник можна покрити принаймні трьома меншими.

2.         На газоні у формі правильного трикутника зі стороною 3 м
росте 10 гвоздик. Доведіть, що знайдуться дві гвоздики, що знаходять­
ся одна від одної на відстані, що не перевищує 10 м.

Доведення. Розділімо газон на 9 рів-носторонніх трикутників зі стороною 1 м. Тоді, згідно з принципом Діріхле, принаймні дві точки містяться в одному з них. А тому відстань між цими точками не перевищує 1 м. Зауважмо, що після розміщення 10 гвоз­дик у вершинах розбиття усі відстані між ними дорівнюватимуть 1  м.

3. Доведіть, що в кожного многогранника знайдуться дш і рані і однаковою кількістю сторін.

Доведення. Нехай Г — грань, що містить найбільшу кільки и. сторін. Тоді даний многогранник має принаймні п +1 грань, причому кількість сторін на кожній із них змінюється від 3 до п. Тоді, згідно і принципом Діріхле, знайдуться дві грані з однаковою кількістю сторін.

4.П'ять точок А₁,А₂,...,А₅ лежать в одній площині, і їхні ко­ординати — цілі числа. Доведіть, що серед усіх трикутників із верши­нами в даних точках є принаймні три, площі яких виражаються цілими числами.

Доведення. Нехай А{х₁;у₁), В(х₂;у₂), С(х₃;у₃)—вершини деякого трикутника з цілими координатами. Зауважмо, що якщо одну і координат змінити на парне число, то площа відповідного трикутника зміниться на ціле число. Таким чином, замінивши координати точок А₁,А₂,...,А₅ числами 0 чи 1 залежно від їх парності, згідно з принци­пом Діріхле, деяким двом точкам відповідатимуть однакові координа­ти. Нехай це будуть точки Л, і А2. Тоді площі трикутників А₁А₂А_{3 ,} А₁А₂А₄, А₁А₂А₅ виражаються цілими числами.

5. У колі радіуса 1 проведено кілька хорд, сумарна довжина яких більша за 7 . Доведіть, що знайдеться діаметр, який перетинає не менше ніж 8 хорд.

Доведення. Оскільки довжина хорди біль­ша за довжину відповідної дуги, то сума цих дуг також більша за 7 . Розгляньмо довільний діа­метр кола і відобразімо симетрично відносно центра О одне з півкіл. Отже, друге півколо буде покрите дугами, які матимуть сумарну довжину, більшу за Ти. Тоді, згідно з принципом Діріхле, одна з точок півкола покривається принаймні 8 разів. А тому відіпни і ний діаметр, що проходить через цю точку, перетинає 8 хорд.

6. На площині дано 25 точок, причому серед довільних 3 із них знайдуться 2 точки, відстань між якими менша від 1. Довели і.  що її нує круг, радіусом 1, що містить не менше ніж 13 з цих точок.

Доведення. Припустімо, що деякі дві з цих точок розміщені на відстані, не меншій від 1. Провівши навколо цих точок як Центрів два кола, радіусом 1, згідно з принципом Діріхле, отримаємо всередині одного  з них принаймні 12 точок.