Математичний тренінг 3

Задача – жарт. На дошці написано число 1. Кожну секунду до числа на дошці додають суму його цифр. Чи може через деякий час на дошці з’явитися число 123456?

1. В кафе зустрілися троє друзів: скульптор Білий, скрипаль Чорний, художник Рудий. «Чудово , що один із нас блондин, інший – брюнет, а тертій – рудий, і при цьому у жодного з нас колір не відповідає прізвищу», – зауважив чорноволосий. «Ти правий» , – сказав Білий. Визначте колір волосся художника.
2. Гра «9 цифр». На столі лежать 9 карток, на кожній з яких написано одну з цифр від 1-го до 9-ти включно. Цифри на всіх картках різні. Картки лежать написами догори. Двоє гравців по черзі беруть по одній картці зі столу. Переможцем вважається той,  хто першим візьме 3 картки, сума цифр на яких дорівнюватиме 15 (на руках у переможця можуть бути й інші картки). Хто забезпечить собі перемогу?  

 3.175 Шалтаїв коштують дорожче, ніж 125, але дешевше, ніж 126 Болтаїв. Доведіть, що на трьох Шалтаїв і одного Болтая карбованця не вистачить. 

4. Розріжте  прямокутник 3х9 на 8 квадратів.

 5. Чи можна помістити у квадрат 5х5:

а) різні  4-клітинкові фігурки; б) рівні 5-клітинкові фігурки?

6. Чи існує два послідовних натуральних числа, сума цифр кожного з яких ділиться на 7?

7. Є 5 монет, з яких три справжні, одна фальшива, що важить більше від справжньої, і одна – фальшива, що важить менше від справжньої. За три зважування визначить обидві фальшиві монети.

8. Скільки існує двоцифрових  натуральних чисел, обидві цифри яких розташовані у спадаючому порядку?

9. Є два пісочних годинники: на 7 хвилин і на 11 хвилин. Яйце вариться 15 хвилин. Як відміряти цей час за допомогою  даних годинників?

10. В ряд покладено картки, на яких написано числа 7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3. Дозволяється взяти декілька карток, що лежать підряд і переставити їх у зворотному порядку.  Чи можна за три таких операції добитися розміщення 1,2,3,4,5,6,7,8,9?