Задача Вінницького про державного казначея

Авторські задачі Сергія Вінницького.

                      

1. Задача про державного казначея. 

П’ять чиновників одного з облоно поцупили з  державної казни великі гроші. Головний  спеціаліст привласнив 81 тисячу гривень, а кожний з чотирьох інших взяв неоднаковому суму грошей. Внаслідок нерівного поділу виникла сварка. Тоді начальник облоно наказав, щоб той, хто взяв більше всіх, подвоїв кожному з останніх кількість його вкрадених грошей. І потім наказав те саме тому, хто привласнив другу по кількості грошей, потім третьому,  четвертому, і п’ятому. Внаслідок такого перерозподілу виявилось, що кожний з п’яти чиновників отримав з державної казни однакову кількість грошей, і всі вони сплатили своєму начальнику чверть своєї нової суми. Скільки тисяч гривень поцупили з державної казни? Скільки привласнив кожний спочатку? Скільки отримав грошей начальник облоно?

Розв’язання. Позначимо через  х тис. грн.  кінцеву суму грошей, що отримав кожний чиновник. Проведемо перерозподіл грошей між п’ятьма чиновниками в зворотному напрямі.

№ розподілу	1 чиновник	2 чиновник	3 чиновник	4 чиновник	5 чиновник
Кінцеве положення	х	х	х	х	х
5 розподіл	3х	х:2	х:2	х:2	х:2
4 розподіл	3х:2	11х:4	11х:4	11х:4	11х:4
3 розподіл	3х:4	11х:8	21х:8	х:8	х:8
2 розподіл	3х:8	11х:16	21х:16	41х:16	1х:16
1  розподіл	3х:16	11х:32	21х:32	41х:32	81х:32
Початкова сума грошей.	6 тис. грн.	11 тис. грн.	21 тис. грн.	41 тис. грн.	81 тис. грн.

Розв’язати рівняння: 81х:32 = 81. Звідси х = 32 тис. грн. отримав кожний чиновник після розподілу. Таким чином, всі разом  чиновники поцупили 160 тис. грн. А начальнику облоно кожний чиновник віддав по 8 тис. грн. і він отримав 5∙(32:4) = 40 тис. грн.

2. Задача  про діамантового магната.

Один вельми заможний діамантовий магнат, що мав багато синів, заповів своїм дітям тільки діаманти. Заповіт був складений так, що перший син отримає 1:25 частину всієї спадщини, другий син – 1:25 залишку і ще один діамант, третій син – 1:25 частину нового лишку і ще два діаманти і так далі…  Скільки магнат мав діамантів, якщо всі сини отримали однакову кількість діамантів?

Розв’язання. Якщо х – кількість всіх діамантів магната, тоді х:25 діамантів отримав перший син, (х - х:25):25 + 1 діамантів отримає другий син. Складаємо рівняння:

х:25 - (х - х:25):25 + 1 = 0.

Звідси х = 625 усіх діамантів. Кожний син отримав 25 діамантів.

3. Задача про соціальний банк.

Із державного соціального банку  на Різдвяні  свята були виділені кошти: бідним і ницим – третя частина, тяжко хворим і немічним – п’ята частина, інвалідам війни – шоста частина. Чверть коштів поцупили чиновники у власні соціальні фонди, а шість тисяч пішло на сплату усіх податків до державної казни. Скільки коштів виділив соціальний банк на Різдвяні свята?

Розв’язання.

Якщо х тис. грн.. – усі кошти, які були виділені на різдвяні свята, то маємо рівняння

х – х:3 – х:4 – х:5 – х:6 = 6.

Звідси отримаємо х = 120 тис. грн. виділив соціальний банк на різдвяні свята.

4. Задача про народних депутатів.

П’ята частина депутатів однієї фракції  не відвідувала засідання парламенту раз на тижні, третя частина  депутатів цієї фракції  не відвідувала засідання парламенту раз на два місяці,  а частина депутатів цієї фракції, що по кількості становила різницю попередніх двох чисел, не відвідували засідання парламенту раз на три місяці, і лише один сумлінний депутат цієї фракції відвідував щодня засідання парламенту.   Цікаво, скільки депутатів, у цій фракції?

Розв’язання.

Якщо х – кількість депутатів однієї фракції, то маємо рівняння

х – х:3 – 3(х:3 –х:5) – х:5 = 1.

Звідси отримаємо х = 15 кількість депутатів однієї фракції.

5. Задача про зарплати.

Керівник, двоє замісників і три головних спеціалістів відділів секретаріату Президента разом щомісяця отримують зарплати на суму 42 тис. грн., а три керівники, двоє замісників і один головний спеціаліст отримують разом 58 тис. грн. Скільки грошей отримує кожний державний службовець на своїй посаді в секретаріаті Президента, якщо зарплати керівника, замісника і головних спеціалістів відділів відносяться 5:3:2.

Розв’язання.

58 + 42 = 100 тис. грн. разом отримують керівник, замісник і головний спеціаліст.

5 + 4+ 1 = 10 частин складає 100 тисяч гривень.

100:10∙5 = 50 тис. отримує керівник.

100:10∙3 = 30 тис. отримує замісник

100:10∙2 = 20 тис. отримує головний спеціаліст.

6. На  судовому засіданні.

На судових слуханнях були присутні 20 чоловік. Один суддя розглядав свідчення семи свідків. Другий  суддя розглядав свідчення восьми  свідків, третій суддя опрацював свідчення дев’яти свідків, і так далі до останнього суді, який опитав усіх свідків цієї справи. Скільки свідків було в судовій справі?

Розв’язання.

Приймемо за х – кількість судів, тоді перший суддя розглядав справи 6 +1 свідка, другий суддя опитав розглядав справи 6 + 2 свідка, третій суддя розглядав справи 6+3 свідка, четвертий суддя розглядав справи 6 + 4 свідка, і так далі…   Суддя за номером х  опитав усіх  х+(6+х) = 20. Звідси маємо, що х = 7 судів. Отже, свідків 13.

7. Задача про сім’ю

Сім’я з батька, матері  і дворічного сина взялися разом навести порядок в своїй квартирі. За який час сім’я наведе повний порядок в своїй квартирі, якщо одна мати навела б його за 3 години, один батько – за 4 години, а син, якого лишити напризволяще, зробить повний гармидер за 6 год?

Розв'язання.

Знайдемо спільне кратне для чисел 3, 4, 6, це число 12. Таким чином, за 12 годин одна  мати навела б чотири рази порядок, один батько – 3 рази навів би порядок, а син зробив би повний гармидер тільки 2 рази. Отже, 4 + 3 - 2 = 5 разів уся сім’я навела б повний порядок у квартирі за 12 годин. Ясно, що  за12:5 = 2,4 години = 2 години 24 хвилини у квартирі буде повний порядок.