Задача Вінницького про вічно живих істот

Авторські задачі Сергія Вінницького.

1.      У давно забутому подільському міфі розповідається про багатьох вічно живих  істот і про незвичайний подільський рід, який мав багато дітей. Перша, вічно жива істота постійно тримала під своєю  божественною опікою тільки одну дитину, друга  вічно жива істота  тримала тільки дві дитини, третя вічно жива істота – трьох дітей, …, і так далі до останньої головної вічно живої істоти, яка тримала під божественною опікою усіх членів роду. У міфі розповідається, що одного разу старійшина роду у святковий день підрахував усі молитовні звертання кожного члена родини до кожного свого вічно живого опікуна, їх виявилось дорівнює  253. Скільки вічно живих істот у міфі і скільки  членів родини?

Відповідь: 45 живих істот і 45 членів родини.

Вказівка. Усіх молитовних звертань буде рівно 1+2+3+…+ n =(n²+n)/2 =253. Звідси n = 45.

2.                  Перше число збільшили на 5. А друге число зменшили на три десятих. Чи може стати так, що добуток цих чисел дорівнює  нулю?

Відповідь: так, якщо це числа -5 або три десятих.

Вказівка: Скласти рівняння (х-0,3)(х+5)=0.

3.      До квадрату натурального числа справа приписали нуль, а потім зменшили його на 21. Чи може число, яке є результатом цих дій, бути кратним 23 і початковому натуральному числу?

Відповідь: Так, якщо дане число дорівнює 3.

Вказівка: Скласти рівняння

10х²  - 21 = 23х.

4.      До п’ятикратного  квадрату даного числа додали дев’ятикратне дане число, і  згодом  здивувалися, адже сума виявилась  протилежним числом до даного натурального числа. Чи може таке статися з цілим числом?

Відповідь: Так, може, наприклад, число рівне -2.

Вказівка: скласти рівняння 5х² + 9х = - х.

5.      До п’ятикратного  квадрату даного числа додали 18, і  згодом  здивувалися, адже сума виявилась одночасно кратна даному числу і 33. Чи може таке статися із звичайним дробом?

Відповідь: Так, може, наприклад, число рівне 3/5.

Вказівка: скласти рівняння 5х² +18 = 33х.

6.      Квадрат  даного натурального числа збільшили у десять разів, а потім зменшили його на квадрат даного числа і  не  здивувалися, адже різниця виявилась рівна  дев’ятикратному  квадрату даного натурального числа. Чи може дане число бути кратним 4 і чи існує з такими властивостями звичайний дріб?

Відповідь: Так, наприклад 4. Існує звичайний дріб, наприклад 2/5.

Вказівка: записати рівняння: 10х² – х² = 9х².