Тренінг до шкільних математичних олімпіад для учнів 6 - 7 класів

Шкільна математична олімпіада 6 - 7 класи

1 тур(2 години)

Частина перша

Вказати тільки одну правильну відповідь.

1. Квиток у кінотеатр коштує 11 грн, диск улюбленої групи - 20 грн, чіпси - 3,5 грн, проїзд на маршрутному таксі - 0,75 грн. Антон має 32 грн. Скільки з наведених тверджень не є пра­вильними? 1) Антонові не вистачить грошей на диск, кіно і чіпси. 2)Після купівлі диска і відвідування кіноте­атру в Антона залишаться гроші на проїзд у мар­шрутному таксі. 3)Поїздка в маршрутному таксі і купівля чіпсів не дозволять Антонові придбати два квитки в кінотеатр.

всі наступні пункти хибні;
усі не вірні;
усі вірні;
2 правильних і 1 неправильне.

Конец формы

2. Токарі Василь, Микола, Петро, Сергій повинні за два дні виготовити 42,18,24,37 деталей відповідно. Двоє з них виконали завдан­ня в перший день, третій хворів перший день, він усе своє завдання виконав за другий день, а четвертий обидва дні хворів, але загальне зав­дання двох днів було виконано повністю. Хто з токарів хворів, якщо токарі, які працювали у перший день, другого дня зробили стільки, скільки й першого?

Начало формы

хворів Микола;
хворів Василь;
хворів Сергій;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

3. Батьки маленького Сергійка мають вико­нати три види домашньої роботи: 1)почистити килими (на це потрібно 40 хв, вони мають 1 пилосос); 2)підрізати дерева в саду (на це потрібно 40 хв, у них є одні ножиці); 3)нагодувати й заколисати Сергійка (на це потрібно 40 хв). Кожну з цих робіт може виконувати кожен з батьків. Як розподілити цю роботу між батька­ми, щоб закінчити її в найкоротший час?

Начало формы

60 хв.;
50 хв.;
40 хв;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

4. Лічильник автомобіля показував 23 932 км. Через 3 год на лічильнику знову з'явилося число, що однаково читається з обох кінців. З якою швидкістю їхав автомобіль? Швидкість вира­жається цілим числом.

Начало формы

65 км/год;
60 км/год;
70 км/год;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

5. 15 кульок можна скласти у вигляді три­кутника, але не можна у вигляді квадрата - однієї кулі не вистачає. З якої кількості кульок, мен­шої від 50, можна скласти як трикутник, так і квадрат?

Начало формы

з 25 кульок;
з 49 кульок;
з 36 кульок;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

6. Дати часто записують так: число, місяць, дві останні цифри року, наприклад, 9.5.05 – де­в'ятого травня 1905 р. Скільки разів протягом XX століття дату можна було записати, викори­стовуючи тільки одну цифру?

Начало формы

12;
14;
13;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

7. Учні вирішили поїхати в цирк на автобусі. Замовлення автобуса коштує 100 грн, а квиток у цирк на одного – 5 грн. Вирішили, що кожен учень внесе по 8 грн. Яка найменша кількість учасників має взяти участь у поїздці, щоб мож­на було покрити усі витрати?

Начало формы

34 учні;
32 учні;
33 учні;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

8. Батьки придбали люстру з 15 лампочками і хочуть мати можливість вмикати будь-яку кількість із них від 1 до 15 – одну, чи дві, чи три, чи .... Яка найменша кількість звичайних вимикачів знадобиться для цього?

Начало формы

6 лампочок;
8 лампочок;
7 лампочок.;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

9. Скількома способами шість шахістів, серед яких є два майстри спорту, можуть об'єднатися у дві команди по 3 спортсмени в кожній для одночасної гри в двох містах так, щоб у кожній команді був майстер спорту?

Начало формы

15;
13;
12;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

10. У супермаркеті два ескалатори: один піднімає клієнтів вгору, другий спускає їх униз. Одна особа біжить по ескалатору, що їде вгору, і в результаті піднімається зі швидкістю 2,5 м/с. Друга особа з тією самою швидкістю біжить угору по ескалатору, що спускається вниз, і в резуль­таті піднімається вгору зі швидкістю 0,5 м/с. З якою швидкістю рухаються ескалатори, якщо ці швидкості однакові?

Начало формы

0,9;
1,2;
0,25;
1.

Конец формы

11. Учаснику олімпіади відразу нараховуєть­ся 100 балів. За кожну правильно розв'язану задачу набрана до цього моменту кількість балів збільшується на 10 %, а за неправильно розв'я­зану задачу — зменшується на 10 %. Після розв'язання кількох задач в учасника олімпіади ви­явилося 80,19 бала. Скільки при цьому задач він розв'язав правильно?

Начало формы

1;
2;
3;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

12. У класі 30 учнів. Вони здавали залік з математики по черзі. Перший одержав 10 балів, другий — 8 балів, а кожен наступний одержав кількість балів, яка дорівнює середньому арифметичному кількостей всіх балів, отриманих попередніми учнями. Яку оцінку одержав останній учень?

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
12;
9;
10.

ЧАСТИНА ДРУГА

Записати повне розв’язання задач  і записати відповідь.

1. Шість однакових діжок вміщують 28 відер води. Скільки відер води можуть вмістити таких 15 діжок?

2. Дмитро і Максим грають у таку гру. За свій хід гравець повинен за декілька пострілів і попасти в деякі області мішені(див. рис.), так щоб сума вибитих очок

16	17	18	24	39	40

дорівнювала 80, при цьому 80 очок треба вибити іншим способом. Виграє той, хто останнім виб’є потрібну суму очок. Хто з гравців забезпечить собі перемогу, якщо гру розпочинає Дмитро? Детально обґрунтуйте відповідь.

3. Запиши сотню дев’ятьма різними числами від 1 до 9, які записані у порядку зростання та з’єднані знаками арифметичних дій.  Скількома способами число 100 можна так записати? 

4. Поясни, чому 9999¹⁰ більше, ніж  99²⁰?

5. Є двоє пісочних годинників: на 7 хвилин і на 11 хвилин. Куряче яйце вариться 15 хвилин. Як відміряти цей час за допомогою наявних годинників?

6. За один хід число, написане на дошці, дозволяється або замінити на подвоєне, або стерти в нього останню цифру. Спочатку на дошці написано число 458. Як за декілька ходів отримати число 14?

Відповіді до задач першого туру

Перша частина.

1. 2 правильних і 1 неправильне;

2. хворів Василь;

3. 60 хв.;

4. 70 км/год;

5. з 36 кульок;

6. 13;

7. 34 учні;

8. 8 лампочок;

9. 12;

10. 1;

11. 1;

12. 9.

Друга частина.

1.     Розв’язання. 28:2=14 відер вміщують три діжки(6:2=3).

                       14·5=70 відер води вміщують 15 діжок(3·5=15).

Відповідь: 70 діжок.

2.Розв’язання. Всього п’ять різних способів за один хід набрати рівно 80 очок.

Ось вони: 16*5=80,

                 40*2=80,

                 23+17+40=80,

                 16+24+40=80,

                 2*24+2*16=80.

Таким чином,  забезпечить собі перемогу починаючий, так як він робить п’ятий  непарний хід. А це за умовою задачі Дмитро.

3.Розв’язання.

1.     1+2+3+4+5+6+7+8*9=100;

2.     12-3-4+5-6+7+89=100;

3.     123+45-67+8-9=100;

4.     123-4-5-6-7+8- 9=100;

5.     123-45-67+89=100;

6.     123+4-5+67-89=100;

7.     12+3-4+5+67+8+9=100; … і так далі.

     4. Розв’язання. 

         9999¹⁰  = [99 (100+1)] ¹⁰  = 99¹⁰ 101 ¹⁰ > 99¹⁰ 99¹⁰  =  99²⁰?

Шкільна математична олімпіада 6 -7 класи

2 тур(2 години)

ЧАСТИНА ПЕРША

Вказати тільки одну правильну відповідь.

1. Для яких натуральних чисел n число вигляду n*n - 5 ділиться на число вигляду n - 5?

всі наступні пункти хибні;
1, 50, 100, 200;
1, 15, 30, 45;
1, 5, 10, 25; .

Конец формы

2. Якщо натуральне число непарне, тоді добуток усіх його цифр є число, яке ділиться на усі цифри цього числа.

Начало формы

Всі наступні пункти не вірні;
Це твердження правильне не завжди;
Це твердження правильне завжди;
Це твердження правильне, якщо число має цифру нуль.

Конец формы

3. Якщо натуральне число складається з парної кількості непарних цифр, тоді сума цифр числа це непарне число.

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
це твердження правильне завжди;
це твердження правильне не завжди;
це твердження правильне, якщо число має цифру нуль.

Конец формы

4. Якщо число 5555 піднести до степеня 2222, тоді остача від ділення отриманого числа на 7 дорівнює:.

Начало формы

0;
1;
2;
4.

Конец формы

5. Якщо натуральне число парне, тоді його можна записати, як суму непарних чисел.

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
це твердження неправильне;
це твердження правильне завжди;
всі попередні пункти вірні.

Конец формы

6. Якщо натуральне число непарне, тоді його можна записати, як добуток двох непарних чисел.

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
це твердження неправильне;
це твердження правильне завжди;
всі попередні пункти вірні.

Конец формы

7. Якщо натуральне число непарне, тоді його можна записати, як суму парного і непарного натуральних чисел.

Начало формы

Це твердження правильне не завжди;
це твердження неправильне;
це твердження правильне завжди;
це твердження правильне тільки для двоцифрових чисел;
всі пункти вірні.

Конец формы

8.Якщо натуральне число закінчується на цифру 7, тоді сота степінь цього числа закінчується на цифру:

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
1;
7;
9.

Конец формы

9.Чи завжди будь-яке парне натуральне число можна записати, як суму простих чисел.

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
це можна зробити тільки для всіх двоцифрових парних чисел;
це можна зробити не для всіх парних чисел;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

10. Якщо натуральне число має непарну кількість дільників, тоді дане число можна записати як квадрат деякого натурального числа.

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
таких чисел існує декілька;
це неправильно;
це правильно.

Конец формы

11.Знайти найменше натуральне число, яке має тільки десять дільників.

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
96;
92;
91.

Конец формы

12.Якщо різниця будь-яких сусідніх цифр шестицифрового натурального числа рівна одиниці, то добуток цифр ділиться на 8.

Начало формы

це вірно в окремих випадках;
це не вірно;
це вірно;
всі попередні пункти хибні.

ЧАСТИНА ДРУГА

Записати повне розв’язання задач  і записати відповідь.

1. Знайдіть всі трицифрові  числа, які в результаті викреслювання середньої

цифри зменшуються в 7 разів.

2. У квадраті 3х3 клітинки верхня ліва вершина позначена літерою А. Скільки можна побудувати трикутників, одною з вершин яких є точка А, а дві інші вершини – будь-які вершини квадратиків 1х1 даного квадрата?

3.  Поставте дужки у виразах:    7∙9 + 12:3-2 = 23,    7∙9 + 12:3-2=75.

4. Поставте плюси та мінуси у лівій частині виразу:  1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100. Скільки існує способів  утворення правильної рівності?

5. Скількома способами можна поділити 50 грн. між Петриком та Павликом так, щоб кожен хоча б один з них отримав парну кількість гривен?

6. Чи можна розміняти 25 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю 1, 3 та 5 карбованців? Обгрунтувати відповідь.

7.Є 9 монет, одна з яких фальшива (вона легше, ніж справжня монета). Як за два зважування визначити фальшиву монету?

Відповіді до задач 2 туру

Перша частина

1. 1, 5, 10, 25;

2. Це твердження правильне не завжди;

3. Всі наступні пункти хибні;

4. 2;

5. Це твердження правильне завжди;

6. Це твердження правильне завжди;

7. Це твердження правильне не завжди;

8. 1;

9. Це можна зробити не для всіх парних чисел;

10. Це правильно.

11. Всі наступні пункти хибні;

12. Це вірно.

Друга частина

1. Знайдіть всі трицифрові  числа, які в результаті викреслювання середньої цифри зменшуються в 7 разів.

Відповідь: 105. Розв'язання. Нехай шукане число має вигляд abc =100a + 10b + c. Тоді згідно умови задачі отримуємо: 100a + 10b + c = 7(10a + c).

Звідси

30a + 10b = 6c.

Цю рівність поділимо на 2.

15a + 5b = 3c.   

5(3a + b) = 3c.

З останньої рівності випливає, що с ділиться націло на 5.

Розглянемо два випадки:

1) с = 0. Тоді 15a + 5b = 0. Оскільки a і b є цифрами числа, то рівність може виконуватись тільки в тому разі, коли a = b = 0. Проте утворити трицифрове число з трьох цифр, які всі дорівнюють 0, неможливо.

2) с = 5. Тоді 15a + 5b = 15. Звідси 3a + b = 3. Оскільки a як перша цифра трицифрового числа не може бути нулем, то 3a ³ 3. З цього можна зробити висновок, що b = 0, a = 1.

 2. У квадраті 3х3 клітинки верхня ліва вершина позначена літерою А. Скільки можна побудувати трикутників, одною з вершин яких є точка А, а дві інші вершини – будь-які вершини квадратиків 1х1 даного квадрата?

Відповідь: 25 трикутників.

 3.  Поставте дужки у виразах:    7∙9 + 12:3-2 = 23,    7∙9 + 12:3-2=75.

Розв'язання. (7∙9 + 12):(3-2)=75,    (7∙9 + 12):3-2=23.

4. Поставте плюси та мінуси у виразі:  1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100.

Розв'язання.

1.  12-3-4+5-6+7+89=100;
2. 123+45-67+8-9=100;
3. 123-4-5-6-7+8- 9=100;
4. 123-45-67+89=100;
5. 123+4-5+67-89=100;
6.  12+3-4+5+67+8+9=100.

Відповідь: 6 способів.

5. Скількома способами можна поділити 50 грн. між Петриком та Павликом так, щоб кожен хоча б один з них отримав парну кількість гривен?

Розв'язання.

50 = 0 + 50,

50 = 2 + 48,

50 = 4 + 46,

50 = 6 + 44,

50 = 8 + 42,

50 = 10 + 40, ...,

50 = 46 + 4,

50 = 48 + 2,

50 = 50 + 0.

Від 0 до 50 існує 26 парних чисел.

Відповідь: 26 способів.

6. Чи можна розміняти 25 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю 1, 3 та 5 карбованців?

Розв'язання цієї задачі грунтується на простому спостереженні:   сума парної кількості непарних чисел є парною. Узагальнення цього факту виглядає так: парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

Відповідь: не можна.

Шкільна математична олімпіада 6 -7 класи

3 тур(2  години)

ЧАСТИНА ПЕРША

Вказати тільки одну правильну відповідь.

1. В розкладах на прості множники двох натуральних чисел n та m відсутні однакові числа. Який спільний дільник цих чисел?

всі наступні пункти хибні;
половина від n та m;
двічі по півтора n та m;
1.

Конец формы

2. В розкладах на прості множники двох натуральних чисел n та m відсутні однакові числа. Яке спільне кратне цих чисел?

Начало формы

усі прості множники цих чисел;
nm;
n+m;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

3. В розкладах на прості множники двох натуральних чисел n та m зустрічаються тільки числа в парних степенях. Чи являється добуток двох чисел квадратом натурального числа?

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
це куб натурального числа;
не являється квадратом;
це квадрати тільки простих чисел.

Конец формы

4. Чи може бути квадратом натурального числа сума квадратів двох непарних чисел?

Начало формы

всі наступні пункти хибні;;
іноді може;
не може;
це може тільки для 1 та 3.

Конец формы

5. Скільки натуральних дільників має натуральне числа, як отримане піднесенням деякого простого числа до степеня n?

Начало формы

n дільників;
n-1 дільників;
n+1 дільників;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

6. Знайти суму цифр n та m, для яких сума чисел 10n+m i 10m+n являється точним квадратом.

Начало формы

n + m = 1;
n + m = 10;
n + m = 11;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

7. Які остачі при діленні на 6 для простого числа, більшого ніж 5, можна отримати?

Начало формы

5 та 1;
6 та 1;
2 та 3;
всі попередні пункти не вірні.

Конец формы

8. Чи можна серед натуральних чисел вигляду n•n•n•n + 4 знайти просте число?

Начало формы

всі наступні пункти хибні;;
не можна;
в одному випадку це вірно;
існує безліч таких простих чисел.

Конец формы

9. Чому дорівнює найменше спільне кратне трьох послідовних простих чисел?

Начало формы

111;
сумі цих чисел;
добутку цих чисел;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

10. Відомо, що натуральне число вигляду n + 4m ділиться на 13. Чи поділиться на 13 натуральне число вигляду 10n + m?

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
таких чисел існує декілька;
це неможливо;
так, завжди поділиться.

Конец формы

11. Відомо, що натуральне число вигляду 3n + 2m ділиться на 17. Чи поділиться на 17 натуральне число вигляду 10n + m?

Начало формы

так, завжди поділиться;
таких чисел існує декілька;
це неможливо;
всі попередні пункти хибні.

Конец формы

12. Чи можна серед натуральних чисел вигляду (n+1)(n+2)(n+3)n знайти числа, які не діляться на 24?

Начало формы

всі наступні пункти хибні;
можна знайти такі числа;
не можна знайти такі числа;
таких чисел існує декілька.

ЧАСТИНА ДРУГА

Записати повне розв’язання задач  і записати відповідь.

1. З Києва до Чернігова можна дістатися пароплавом, поїздом, автобусом, літаком; з Чернігова до Новгород–Сіверська  – пароплавом і автобусом. Cкількома способами можна здійснити подорож за маршрутом Київ – Чернігів – Новгород–Сіверськ?

2. Скільки є п'ятицифрових чисел, які діляться націло на 5?

3.    А) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 1?

Б) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 0?

В) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 2m -1?

Г) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 2m?

4.    Проста шашка знаходиться в крайньому нижньому лівому полі шахової дошки. Скількома різними способами вона може  пройти в дамки? Способи вважаються різними, якщо вони відміняються один від одного хоча б одним ходом.

5.    Складіть арифметичні вирази, кожний з яких  дорівнює парній цифрі, якщо ці вирази утворюються тільки з однакових непарних цифр та будь-яких арифметичних дій.

6.    Є 6 монет, з яких дві, – фальшиві, такі, що важать менше за справжню. Як при трьох зважуваннях визначити обидві фальшиві монети.

Відповіді до задач 3 туру

Перша частина

1. 1;

2. nm;

3. всі наступні пункти хибні;

4. не може;

5. n+1 дільників;

6. n + m = 11;

7. 5 та 1;

8. не можна;

9. добутку  цих чисел;

10. так, завжди поділиться;

11. так, завжди поділиться;

12. не можна знайти такі числа.

Друга частина

1. З Києва до Чернігова можна дістатися пароплавом, поїздом, автобусом, літаком; з Чернігова до Новгород-Сіверська – пароплавом і автобусом. Cкількома способами можна здійснити подорож за маршрутом Київ – Чернігів – Новгород-Сіверськ?

   Розв’язання. Очевидно, число різних шляхів з Києва до Новгород-Сіверська дорівнює 4∙2 = 8, бо, обравши один з чотирьох можливих способів подорожі від Києва до Чернігова, маємо два можливих способи подорожування від Чернігова до Новгород-Сіверська.

2. Скільки є п'ятицифрових чисел, які діляться націло на 5?

Розв’язання. 99999:5 = 19999 (остача 4).

Відповідь: 19999.

3.    А) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 1?

Б) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 0?

В) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 2m -1?

Г) Чи можна помістити замість зірочок дев'ять знаків(або плюси або мінуси) між цифрами так, щоб вийшов правильний вираз.

0*1* 2* 3* 4* 5*6* 7* 8* 9 = 2m?

  Відповідь: а) і в) можна, це будуть утворюватися непарні число від -45 до +45, наприклад 0 + 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + 9 = 1; б) і г)не можна це зробити.

4.    Проста шашка знаходиться в крайньому нижньому лівому полі шахової дошки. Скількома різними способами вона може  пройти в дамки? Способи вважаються різними, якщо вони відміняються один від одного хоча б одним ходом.

 Відповідь: На другу горизонталь шашка може перейти одним способом, на третю – двома, на четверту – трьома, на п’яту – шістьма, на шосту – дев’ятьма, на сьому горизонталь – двадцятьма способами, а пройти в дамки шашка може 35 способами.

5.    Складіть арифметичні вирази, кожний з яких  дорівнює парній цифрі, що утворюються тільки з однакових непарних цифр та будь-яких арифметичних дій.

Відповідь: 3 + 3/3 = 4,    5+5/5 = 6.