Шкільна тренувальна математична олімпіада 8-9 класи

Шкільна математична  олімпіада   8-9 класи

ПЕРША  ЧАСТИНА ЗАВДАНЬ

1. У деякій державі 121 місто. Із кожного з них виходить однакова кількість доріг, що
з'єднують його з деякими іншими містами. Яка кількість усіх доріг у державі?

А. 300.   Б. 440.    В. 605.      Г. 330.  Д. Власна відповідь.

2. Знайдіть остачу від ділення на 5 числа 2005²⁰⁰⁷ + 2006²⁰⁰⁶ + 2007²⁰⁰⁵.

А.0.   Б. 1.    В. 4.      Г. 3.   Д. Власна відповідь.

3. У трьох сусідніх вершинах правильного шестикутника розміщені фішки А, В і С. їх доз­воляється переміщати в будь-якому порядку вздовж діагоналей у вільні вершини. При яко­му порядку проходження фішки не можуть знову потрапити в ті самі вершини, якщо у початко­вому положенні вони були розміщені у поряд­ ку АВС і рухалися за годинниковою стрілкою?

А. ВАС.   Б. СВА.  В. САВ. Г. Можуть бути переставлені в будь-якому порядку. Д. Власна відповідь.

4. Число (5-  n /26)²⁰⁰⁷ має вигляд 0,000... . Знайдіть кількість нулів після коми.

А. 27. Б. 26. В. Не більше 702. Г. Не менше 2007. Д. Власна відповідь.

5. Довжини всіх сторін трикутника не більші від одиниці. Чому дорівнює максимальна пло­ща такого трикутника?

А. 0,5.    Б. 1.  В. 0,25.   Г. 0,75.  Д. Власна відповідь.

6. Скільки існує  можливих результатів, якщо між цифрами від 0 до 9 поставити знаки плюс або мінус?

А.46 непарних результатів.  Б. 45 парних результатів. В. 90 парних результатів.         Г. 45 непарних результатів.  Д. Власна відповідь.

7. Скільки існує  різних  магічних квадратів 3х3 на сумах, що утворені цифрами від 1 до 9?

А. 6.    Б. 7.  В. 8.   Г. 9.  Д. Власна відповідь.

8. Продавець для збільшення прибутку змішав 5 літрів вершків з жирністю 30 % з 4 літрами вершків з жирністю 15 % і долив туди ще літр чистої води. Скільки відсотків становить жирність отриманих «вершків»? А. 70%.  Б. 21%. В. 22, 5%.  Г. 15%. Д. Власна відповідь.

9.  Скількома способами можна зробити пря­мокутний отвір в аркуші паперу в клітинку роз­мірами 33 х 40 клітинок, якщо сторони отвору мають лежати на прямих, що розбивають аркуш на клітинки?

А. 367 536.     Б. 1178. В. 735 072.    Г. 1248.

10. Учителька приготувала 27 однакових білих кубиків з довжиною ребра 10 см, маючи намір скласти з них білий куб з ребром 30 см. Яку най­меншу кількість граней маленьких кубиків має
зафарбувати чорною фарбою Вовочка, щоб учи­телька не змогла здійснити свій намір?

А. 10.                          Б. 13.    В. 11.    Г. 12.  Г. Власна відповідь.

11.      Скільки розв'язків у натуральних числах має рівняння 2000х + 7у = 2007?

А. 0.                           Б. 1.   В. 2.        Г. Безліч.  Г. Власна відповідь.

12. Дев'ять робітників мають виготовити 50 виробів. Кожен виріб потрібно спочатку змонту­вати, а потім пофарбувати. Час монтажу — 20 хви­лин, час фарбування - 10 хвилин. Кого (малярів чи монтажників) і на скільки має бути більше, щоб виконати роботу в найкоротший час?

А Малярів на 1.            Б. Монтажників на 1.  В. Монтажників на 2. Г. Монтажників на 3.

13. Прямокутний аркуш паперу з площею 5 розрізали на три трикутні шматки. Площа одного з них дорівнює півсумі площ двох інших шматків. Чому дорівнює площа найменшого шматка?

А. 12.   Б. 6.  В. 9.   Г. 8.  Д. Власна відповідь.

14. Придбали три книжки. Одна з них кош­тує третину всієї покупки, друга - кілька сьо­мих, а третя - 12 грн. Скільки гривень кошту­ють три книжки?

А. 252 грн.   Б. 232 грн.  В.126 грн.   Г. 156 грн.  Д. Власна відповідь.

15.  На картонну трубку з діаметром 3 см щільно намотали шар на шар 250 м стрічки тов­иною 0,1 мм. Яким є діаметр отриманого ва­лика? (Виберіть найточніший результат.)

А. 186 мм.  Б. 153 мм.   В. 126 мм. Г. 93 мм.   Д. Власна відповідь.

16.  Які з наступних тверджень еквівалентні, тобто одночасно істинні чи хибні?

1.    Для кожного з учнів класу А знайдеться учень класу В нижчий за зростом.

2.    Кожен із учнів класу В нижчий хоча б від одного з учнів класу А.

3.    Найнижчий учень класу В нижчий від най­нижчого з учнів класу А.

4.    Середній зріст учнів класу А більший від середнього зросту учнів класу В.

А. 1 і 2.     Б. 1 і 3.  В. 1 і 4.   Г. 2 і 3.  Д. Власна відповідь.

17.  З кінцевих пунктів «Центр» і «Теремки» міського маршруту виїхали одночасно маршрут­
не таксі та автобус і їхали приблизно зі сталою швидкістю. Вони зустрілися на відстані 12 км
від «Центру». Після прибуття на кінцеві пунк­ти вони відразу ж вирушили у протилежних на­
прямах і цього разу зустрілися на відстані 16 км від кінцевої зупинки «Теремки». Якою є довжина маршруту?

А. 20 км.  Б. 24 км.   В. 18 км.          Г. Визначити неможливо.  Д. Власна відповідь.

ДРУГА ЧАСТИНА ЗАВДАНЬ

1.    На сторонах трикутника як на діаметрах побудовано круги. Доведіть, що ці круги в су­купності цілком покривають трикутник.

2.    Коник стрибає вздовж прямої, вибираючи напрям на ній для своїх стрибків навмання. Відо­мо, що довжина першого стрибка 1 м, кожний наступний стрибок удвічі довший від поперед­нього. Чи може коник після деякої кількості стрибків опинитися в початковій точці?

3. Чи можна обійти шахівницю розмірами 3x5 клітинок ходом шахового коня, побував­ши в кожній клітинці рівно один раз?

4.    У деякому тайговому селищі від кожного з 17 будинків до деяких інших будинків прокладе­но лижню, причому від кожного будинку почи­наються 1,3 чи 5 таких лижних стежок. Доведіть, що хоча б одна з них веде не до будинків селища.

5.  Розв'яжіть у цілих числах рівняння  4х^г+ 2х²у - ху²- 4у² = 1.

6.    На площині дано точки А і В. Знайдіть гео­метричне місце точок площини, симетричних А відносно всіх прямих, що проходять через точку В.

7.    Два брати віком 8 і 10 років одержали разом спадщину 84 тис. грн. Ці гроші поклали в банк, що нараховує 5 % на внесок щорічно. Кожна ди­тина одержить свою частину спадщини, досягши 21 року. За заповітом необхідно так поділити по­чатковий внесок, щоб у майбутньому обидві час­тини спадщини, округлені до 1 грн, були одна­кові. Як слід поділити 84 000 грн між братами?

8. Господарка розбила прямокутну ділянку шириною 5 м на 4 прямокутні грядки двома перпендикулярними доріжками. Причому пло­ща грядок, виділених під цибулю, моркву, бу­ряк, була не меншою від 5 м², а під капусту — не менша 10 м². Якою при цьому найменшою має бути довжина ділянки?

9.    На дошці виписано числа 1,2, 3,..., 19, 20. Дозволяється стерти будь-які два числа а і b  та  замінити їх числом аb + а+b.  Яке число може залишитися на дошці після 19 таких операцій?

10. Людина йде по шпалах залізничної колії. Максимальна довжина її кроку 0,8 м. Шпали покладено так, що на будь-якій стометровій ділянці — рівно 200 шпал. Відстань між шпала­ми не менша від 0,3 м і не більша від 0,6 м і може змінюватися в цих межах від шпали до шпали. При якому укладанні шпал людина зро­бить максимальну кількість кроків на 1 км шля­ху, а при якому - мінімальну?