ТРЕНУВАЛЬНІ
математичні олімпіади для 6 класу
1. Довести,
що бісектриси трикутника не можуть перетинатися під прямим кутом.
Доведення.
Якщо припустити,
що бісектриси перетинаються під прямим кутом, тоді маємо таке протиріччя. Сума
половинок двох кутів трикутника рівна прямому куту, тоді сума двох цілих цих
кутів рівна двом прямим кутам, тобто 180 градусів. Але у будь-якого трикутника
сума усіх трьох кутів рівна 180 градусів.
2. Повна
діжечка квасу має вагу 34 кг , а наповнена на половину має вагу 17,75 кг . Яка вага
порожньої діжки?
Розв’язання.
17,75∙2 -34 = 1,5 кг
3. Чи може добуток
тринадцяти натуральних чисел дорівнювати сумі цих чисел?
Розв’язання
Наприклад,
4∙5∙1∙1….∙1 = 4+5+1+1+….+1.
Кондуктор
пасажирського поїзда, швидкість якого 50 км/год , помітив, що зустрічний товарний
поїзд, який йде зі швидкістю 40
км/год пройшов
повз нього за 10 сек. Визначити довжину товарного поїзда.
Розв’язання.
40+50 = 90
(км/год) швидкість зближення поїздів
90 000:3600
= 25 (м/с) швидкість зближення поїздів
25∙10 = 250
(м) довжина товарного поїзда.
4. Пасажирський
поїзд долає відстань між Львовом і Києвом за 10 год, а товарний цю відстань
долає за 15 год. Через який час ці поїзди зустрінуться.
Розв’язання.
Вся відстань це
одне ціле. Тоді (1/10)+(1/15) =(1/6) – це швидкість зближення двох поїздів.
Отже за 6 годин поїзди зустрінуться.
5. Дід
і баба разом випивають діжечку квасу за 10 діб, а один дід таку ж діжечку квасу випиває за 15
діб. За скільки діб вип’є таку ж діжечку
квасу тільки баба?
Розв’язання.
За НСК(10;15) = 30
діб обоє разом вип’ють 3 діжки, а один дід вип’є 2 діжки, отже баба за 30 діб
вип’є одну, 3-2=1.
6. Дівчинка
наклеює в альбом картинки. Якщо вона на кожну сторінку наклеїть по 4 картинки,
то в альбомі не вистачить місця для 20 картинок, коли ж вона на кожну сторінку наклеїть
по 6 картинок, то в альбомі залишиться 5 сторінок вільними. Скільки було у
дівчинки картинок і скільки сторінок в альбомі?
Розв’язання.
20:4 = 5, 6∙5 = 30,
20+30 = 50, 6-4 = 2, 50:2 = 25 сторінок в альбомі. 4∙25+20=120
картинок.
7. Є
70 монет по 20 коп і по 15 коп. на
однакові суми. Скільки є монет кожної вартості окремо?
Розв’язання.
Цю задачу можна розв'язувати кількома способами.
1-й спосіб.
Спосіб спроб. Нехай монет кожної вартості буде по 35 коп. Тоді їх сума становитиме (20 • 35 = 700) 700 коп. і (15 ∙35 = 525) 525 коп. Різниця між сумами становитиме (700–525 = 175) 175 коп. Замінивши одну
20-копійкову монету 15-копійковою, матимемо 34 монети по 20 коп., на суму 680
коп. і 36 монет по 15 коп. на суму 140)
коп., причому різниця між сумами становитиме (680–540= 140) 140 коп. При заміні 20-копійкової монети 15-копійковою ми
зменшимо різницю на (175 –
140 = 35) 35 коп. Оскільки початкова різниця становила 175 коп., то таку
заміну слід виконати (175 : 35 = 5) 5 раз, тобто,
монет по 20 коп. залишиться 35 –
5 = 30, а по 15 коп. буде 35+ 5= 40.
2-й спосіб. Він грунтується
на способі спроб. Виходимо з припущення, що всі 70 монет вартістю по 15 коп.
Тоді загальна сума грошей
становитиме (15∙70= 1050)
1050 коп. При заміні 15-копійкової монети 20-копійковою різниця сум монет
кожної вартості становитиме (20 + 15 = 35) 35 коп., тому що одна сума
зменшилась на 15 коп., а друга збільшилась на 20 коп., що дає 35 коп. Але монет
кожної вартості має бути на ту саму суму, тому заміну 15-копійкових монет
20-копійковими слід виконати (1050 : 35 = 30) 30 раз. Монет
по 20 коп. було 30 шт., а монет по 15 коп. було (70–30 = 40) 40 шт. Для більшої наочності
можна запис оформити таблицею.
3-й спосіб. Виходимо з припущення, що всі 70 монет були вартістю
по 20 коп. кожна. Розв'язування і
міркування аналогічні до тільки що
наведених.
4-й спосіб. Нехай усі 70
монет були по 20 коп. кожна. Тоді сума їх буде (20-70 = 1400) 1400 коп. Якби
всі 70 монет були 15-копійковими, то сума їх становила б (15∙70 = 1050) 1050 коп. Різниця в сумах
становитиме (1400–1050 –350) 350 коп. Але замінюючи
20-копійкову монету 15-копійковою, ми змінюємо суму на (20 + + 15 = 35) 35 коп.
Тому монет по 15 коп. має бути більше, ніж монет по 20 коп., на (350 : 35 = 10)
10 шт. Задача зводиться в цьому випадку до задачі на знаходження двох чисел за
їх сумою і різницею: «Є 70 штук монет вартістю по 15 коп. і 20 коп., причому
монет по 20 коп. на 10 шт. менше. Скільки монет кожної вартості окремо?»
5-й спосіб. Спосіб
грунтується на застосуванні спільного найменшого кратного двох чисел. СНК (20;
15) = 60. На суму 60 коп.
слід узяти (60 : 20 = 3) 3 монети по 20 коп. і (60 : 15 = 4) 4 монети по 15
коп., що становитиме (4+3 = 7) 7 монет. Це треба повторити (70 :7 = 10) 10 раз.
Але тоді буде взято монет по 20 коп. (3∙10 = 30) 30 шт. і монет по 15 коп. (4∙10 = 40) 40 шт.
6-й спосіб. Тому що монети
кожної вартості повинні мати однакові суми, то їх кількість обернено
пропорціональна їх вартості. Якщо монет по 20 коп. було х1, а монет по 15 коп. було х2,
то х1 : х2 = 15 : 20, або х1: х2 = 3 : 4. Загальну кількість монет
(70 шт.) треба поділити на дві частини пропорціонально числам 3 і 4.
Розглядаючи десяткові дроби, цю саму задачу можна розв'язати в гривнях.
Аналогічно до розглянутої можна розв'язати й таку задачу:
«На двох шальках терезів стоять 16 гир. На одній шальці всі гири по 5 кг кожна, на другій – по 3 кг . Скільки гир на кожній
шальці, якщо терези перебувають у рівновазі?»
Задачу можна розв'язати
всіма способами, розглянутими
при
розв'язуванні попередньої задачі.
Слід зауважити, що найбільш раціональними способами розв'язування
цих задач є 2-й, 3-й і 4-й способи.
Немає коментарів:
Дописати коментар