Інваріанти для степенів натуральних чисел

Інваріанти  для степенів натуральних чисел

Виконуються такі інваріантні властивості:

                           (2m+1)ⁿ = 100n + 10a + b, де а – парна цифра, b – непарна цифра.

Для довільного натурального степеня, більшого 1, непарного числа 2m+1, цифра десятків завжди парна, а цифра одиниць непарна, тобто:

 (2m+1)ⁿ º([2n]&[2k+1])(mod 100).

Для  натурального степеня, більшого 1,  цілого числа виконуються такі властивості:

4k+1=(4m+1)ⁿ ; 

Степінь парного числа кратна 4:   4k=(4m+2)ⁿ ;   16q=(4m)ⁿ;

Парна степінь трійки при діленні на 4 має остачу 1: 4k+1=3²ⁿ ;

Непарна степінь трійки при діленні на 4 має остачу 3: 4k+3=3^{2n -1};

Парна степінь сімки при діленні на 4 має остачу 1:  4k+1=7²ⁿ ;

Непарна степінь сімки при діленні на 4 має остачу 3: 4k+3=7^2n-1.

Для довільного степеня парного числа 2m, цифра десятків і цифра одиниць утворюють число, яке завжди ділиться на 4 націло, тобто:

4k=(2m)ⁿ .

б) для довільного чотирикратного степеня парного числа 2, цифра десятків завжди непарна, а цифра одиниць рівна 6, тобто:

(2)⁴ⁿ = 100n + 10a + b,  де а – непарна цифра, b = 6.

(2)⁴ⁿ º ([2k+1]&[6])(mod 100).

А для довільного 4n+2-кратного степеня цифр 2 та 8, цифра десятків завжди  парна, а цифра одиниць рівна 4, тобто:

(2)⁴ⁿ⁺² = 100n + 10a + b,  де а – парна цифра, b = 4.

(2)⁴ⁿ⁺² º ([2k]&[4])(mod 100).

в)  не існує такого степеня непарного числа, результат якого  мав би непарну цифру в розряді  десятків. Не існує такого степеня,  більшого 2, який можна подати у вигляді  4m±2

г) для довільного степеня числа 7, результат  має тільки дві цифри десятків 0 або 4.

д) для довільного показника степеня, більшого 1,  з основою 5  результат  має тільки такі дві останні цифри 25, при цьому цифра в розряді сотень завжди парна.

є) для довільного степеня, більшого 1,  з основою 6   результат  має непарну цифру в розряді десятків і  цифри 6 в розряді одиниць.

е)для степеня числа, результат  може містити тільки такі дві останні рівні цифри 00,44, 88.

ж) можливі тільки такі  останні дві цифри  для степенів натуральних чисел: 00, 01,  02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12,16, 21,23, 24, 25, 27, 28, 29, 32, 36, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 52,56, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 72,76, 81,83,  84, 88, 89, 92, 96.

з) рівняння з довільними натуральними показниками та парним  модулем

x^m º yⁿ º…º z^k (mod 2р)

має розв’язки в цілих числах  (x;y;…,z), де всі числа, що входять до розв’язку однакової парності.

Число  аⁿ ± 1 складене, якщо число n можна розкласти на прості множники.

Задачі на двоцифрові лишки   степенів  цифр.

1. Довести, що

1)       2-16 ділиться на 100.

2)       3-87  ділиться на 100.

3)       4-96 ділиться на 100.

4)       5-25 ділиться на 100.

5)       6-36 ділиться на 100.

6)       7-43 ділиться на 100.

7)       8-56 ділиться на 100.

8)       9-89 ділиться на 100.

9)       2+3-3 ділиться на 100.

10)    2+3+4-99 ділиться на 100.

11)    2+3+4+5-24 ділиться на 100.

12)   2+3+4+5+6-60 ділиться на 100.

13)   2+3+4+5+6+7-3 ділиться на 100.

14)   2+3+4+5+6+7+8-59 ділиться на 100.

15)   2+3+4+5+6+7+8+9-48 ділиться на 100.

2. Довести, що

1)       7 -7 ділиться на 100.

2)       7 -49 ділиться на 100.

3)       7 -43 ділиться на 100.

4)       7 -1 ділиться на 100.

5)       8 -8 ділиться на 10.

6)       8 -4 ділиться на 10.

7)       8 -2 ділиться на 10.

8)       8 -6 ділиться на 10.

9)       2 -2 ділиться на 10.

10)   2 -4 ділиться на 10.

11)   2 -8 ділиться на 10.

12)   2 -6 ділиться на 10.

13)   3 -3 ділиться на 10.

14)   3 -9 ділиться на 10.

15)   3 -7 ділиться на 10.

16)   3 -1 ділиться на 10.

3. Довести, що при натуральному  n

1)       4 -4 ділиться на 10.

2)       4 -6 ділиться на 10.

3)       9 -9 ділиться на 10.

4)       9 -1 ділиться на 10.

5)       5 -25 ділиться на 100.

6)       6 -36 ділиться на 100.

4. Довести, що 3+4+5=100m+8.

5. Довести, що 8¹⁰⁰-11¹⁰⁰ ділиться на 19, 15, 37.

6. Довести, що 3⁶⁰-2⁶⁰ ділиться на 11.

Формули скороченого множення для цілих числових виразів

Різні факти про подільність многочленів та розклад їх на множники з цілими коефіцієнтами можуть допомогти розв'язувати задачі з цілими числами. Досить часто використовується те, що для цілих а і b та натурального n число

aⁿ-bⁿ ділиться на а-b,

а число

a^2n-1+b²ⁿ⁺¹ ділиться на а+b.

Степінь двочлена. (Біном Ньютона)

(a±b)⁰ = 1;

(a±b)¹ = a±b

(a±b)² = a²±2ab +b² –  це квадрат суми або різниці двох чисел;

(a±b)³ = a³±3a²b +3ab² ±b^{3  –} це куб суми або різниці двох чисел;;

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² +b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ±b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Сума та різниця степенів двох цілих виразів

a² + b² – не розкладається на множники на множині цілих чисел.

a² – b² = (a–b)(a+b) – це різниця квадратів двох виразів.

а³ – b³ = (a–b)(a² +аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a+b)(a² –аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

а⁴ – b⁴ = (a–b)(a³+а²b+аb² + b³);

а⁴ + b⁴  - не розкладається на множники

а⁵– b⁵= (a–b)(a⁴+а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴–а³b + а²b² –аb³ + b⁴);).

a^2m + b^2m  - не розкладається на множники

аⁿ– bⁿ= (a–b)( a^n-1+а^n-2b + а^n-3b² +… +а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді

аⁿ– 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

Для непарних n

аⁿ+ bⁿ= (a+b)( a^n-1-а^n-2b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді

a²ⁿ⁺¹+ 1= (a+1)( a^n-1- а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

а³ + b³+c³ -3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac)

(a+b+c)² = a² + b² +c² +2аb+2bc+2ac

Наприклад, доведемо, що   2¹⁹⁸¹+1 ділиться на 43.

Маємо 2¹⁹⁸¹ +1 =(2⁷)²⁸³ + 1²⁸³, а це число ділиться на 2⁷ +1 =3∙43.

Задача.   Довести, що число 100...01 складене (всього 1991 нулів).

Розв'язання.

Дане число запишемо  

100...01 =10¹⁹⁹² + 1 =(10⁶⁶⁴)³ + 1³,

Отже, число 100...01  ділиться на 10⁶⁶⁴ + 1.

Наступна задача ілюструє ще один оригінальний метод доведення подільності.

Задача. Довести, що для будь-якого натурального n число

3²ⁿ⁺³+40n-27

ділиться на 64.

Розв'язання.

Позначимо

f(n) =3²ⁿ⁺³+40n-27,  f(1) =256

ді­литься на 64. Тепер нам досить довести, що для будь-якого n

g(n)=f(n + 1)-f(n)

ділиться на 64, адже

f(n)= (f(к)-f(к-1)) + (f(k-1)-f(k-2))+...+(f(2)-f(1))+f(1).

Маємо

g(n)=8∙3²ⁿ⁺³+40.

Щоб довести, що g(n) ділиться на 64, аналогічно перевіряємо, що ділиться

g(1) = 1984,

і роз­глянемо

g(n + 1)-g(n)=64∙3²ⁿ⁺³.

Очевидно, що всі

g(n + 1)-g(n) діляться на 64,

тому діляться всі g(n), а, отже, і всі f(n).

Задача. Довести, що для будь-якого n 2^2n-1-9n²+21n-14 ділиться на 27.

Інваріанти  для сум цілих чисел.

1. Парність суми кількох цілих чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то-і сума також є (не)парною.

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f  + q) = 2∙m

СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f  – q) = 2∙m

РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s = 2∙(m-s)

СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) – 1

СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

2. Серед  довільних 2n послідовних цілих чисел кількість  парних і  кількість непарних чисел рівна і дорівнює n.

                             

Наприклад: а)1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 2008. Серед цих 2008 чисел 1004 парних чисел і 1004 непарних чисел;

б)-3.-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Серед цих 10 чисел 5 парних чисел і 5 непарних чисел.

3. Як завгодно можна розставляти знаки плюс та мінус між довільними 2n послідовними цілими числами результат завжди буде парне число.

Наприклад: а)1± 2± 3± 4± 5± 6±  .... ± 2008 = ± 2m. Адже серед цих 2008 чисел 1004 парних чисел і 1004 непарних чисел;

б)-3±(-2)±(-1)±0±1±2±3±4±5±6=± 2m. Адже серед цих 10 чисел 5 парних чисел і 5 непарних чисел.

4.Серед  довільних 2n+1 послідовних цілих чисел кількість  парних і  кількість непарних чисел неоднакова,  різниця кількостей чисел однакової парності завжди рівна одиниці.

Наприклад: а)1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 2007, 2008, 2009. Серед цих 2009 чисел 1004 парних числа і 1005 непарних числа;

б)-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Серед цих 15 чисел 7 парних чисел і 8 непарних чисел.

Як завгодно можна розставляти знаки плюс та мінус між довільними 2n+1 послідовними цілими числами, результат завжди залежить кількості непарних чисел у даному наборі, тобто, результат цих дій буде завжди непарним, якщо в даному наборі кількість непарних  чисел – непарна, і результат буде завжди парним, якщо в даному наборі кількість непарних  чисел – парна.

Наприклад: а)У цьому випадку маємо завжди непарну суму:

1±2±3±4±5±6± .... ±2007±2008±2009= ±(2n+1).

Адже серед цих 2009 чисел 1004 парних числа і 1005 непарних числа;

б) У цьому випадку маємо завжди парну суму:

-7±(-6) ±(-5) ±(-4) ±(-3) ±(-2) ±(-1) ±0±1±2±3±4±5±6±7 = ± 2m.

Адже серед 15 чисел 7 парних чисел і 8 непарних чисел.

в) У цьому випадку маємо завжди непарну суму:

                (2∙n₁ -1) ± (2∙n₂-1) ± … ± (2∙n_2n-2 -1) ± (2∙n_2n-1 -1) = ±(2k+1).

Адже серед 2n-1 цілих чисел усі непарні числа.

РОЗКЛАД НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ НА ПРОСТІ МНОЖНИКИ.

Кількість дільників натуральних чисел.

1 = 1  Кількість дільників m(1 ) = 1, не просте число, не складене.

2 = 2 Кількість дільників m(2 ) = 2

3 = 3 Кількість дільників m( 3) = 2

4 = 2² Кількість дільників m( 4) = 3

5 = 5 Кількість дільників m(5 ) = 2

6 = 2 × 3 Кількість дільників m( 6) = 4

7 = 7 Кількість дільників m(7 ) = 2

8 = 2³ Кількість дільників m (8) = 4

9 = 3² Кількість дільників m( 9) = 3

10 = 5 × 2 Кількість дільників m( 10) = 4

11 = 11 Кількість дільників m( 11) = 2

12 = 2² × 3 Кількість дільників m( 12) = 6

13 = 13 Кількість дільників m( 13) = 2

14 = 2 × 7 Кількість дільників m(14) = 4

15 = 3 × 5 Кількість дільників m( 15) = 4

16 = 2⁴ Кількість дільників m( 16) = 5

17 = 17 Кількість дільників m( 17) = 2

18 = 2 × 3² Кількість дільників m( 18) = 6

19 = 19 Кількість дільників m( 19) = 2

20 = 2² × 5 Кількість дільників m(20) = 6

21 = 3 × 7 Кількість дільників m(21) = 4

22 = 2 × 11 Кількість дільників m( 22) = 4

23 = 23 Кількість дільників m( 23) = 2

24 = 2³ × 3 Кількість дільників m( 24) = 8

25 = 5² Кількість дільників m( 25) = 3

26 = 2 × 13 Кількість дільників m( 26) = 4

27 = 3³ Кількість дільників m( 27) = 4

28 = 2² × 7 Кількість дільників m( 28) = 6

29 = 29 Кількість дільників m( 29) = 2

30 = 2 × 3 × 5 Кількість дільників m( 30) = 8

31 = 31 Кількість дільників m( 31) = 2

32 = 2⁵ Кількість дільників m( 32) = 6

33 = 3 × 11 Кількість дільників m( 33) = 4

34 = 2 × 17 Кількість дільників m( 34) = 4

35 = 5 × 7 Кількість дільників m( 35) = 4

36 = 2² × 3² Кількість дільників m (36) =9

37 = 37 Кількість дільників m (37) = 2

38 = 2 × 19 Кількість дільників m (38) = 4

39 = 3 × 13 Кількість дільників m (39) = 4

40 = 2³ × 5 Кількість дільників m (40) = 8

41 = 41 Кількість дільників m (41) = 2

42 = 2 × 3 × 7 Кількість дільників m (42) = 8

43 = 43 Кількість дільників m (43) = 2

44 = 2² × 11 Кількість дільників m (44) = 6

45 = 3² × 5 Кількість дільників m (45) = 6

46 = 2 × 23 Кількість дільників m (46) = 4

47 = 47 Кількість дільників m (47) = 2

48 = 2⁴ × 3 Кількість дільників m (48) = 10

49 = 7² Кількість дільників m (49) = 3

50 = 2 × 5² Кількість дільників m (50) =6

51 = 3 × 17 Кількість дільників m (51) = 4

52 = 2² × 13 Кількість дільників m (52) = 6

53 = 53 Кількість дільників m (53) = 2

54 = 2 × 3³ Кількість дільників m (54) =8

55 = 5 × 11 Кількість дільників m (55) = 4

56 = 2³ × 7 Кількість дільників m (56) = 8

57 = 3 × 19 Кількість дільників m (57) = 4

58 = 2 × 29 Кількість дільників m (58) = 4

59 = 59 Кількість дільників m (59) = 2

60 = 2² × 3 × 5 Кількість дільників m (60) = 12

61 = 61 Кількість дільників m (61) = 2

62 = 2 × 31 Кількість дільників m (62) = 4

63 = 3² × 7 Кількість дільників m (63) = 6

64 = 2⁶ Кількість дільників m (64) = 7

65 = 5 × 13 Кількість дільників m (65) = 4

66 = 2 × 3 × 11 Кількість дільників m (66) = 8

67 = 67 Кількість дільників m (67) = 2

68 = 2² × 17 Кількість дільників m (68) = 6

69 = 3 × 23 Кількість дільників m (69) = 4

70 = 2 × 5 × 7 Кількість дільників m (70) =8

71 = 71 Кількість дільників m (71) = 2

72 = 2³ × 3² Кількість дільників m (72) = 12

73 = 73 Кількість дільників m (73) = 2

74 = 2 × 37 Кількість дільників m (74) = 4

75 = 3 × 5² Кількість дільників m (75) = 6

76 = 2² × 19 Кількість дільників m (76) =6

77 = 7 × 11 Кількість дільників m (77) = 4

78 = 2 × 3 × 13 Кількість дільників m (78) = 8

79 = 79 Кількість дільників m (79) = 2

80 = 2⁴ × 5 Кількість дільників m (80) = 10

81 = 3⁴  Кількість дільників m (81) = 5

82 = 2 × 41 Кількість дільників m (82) = 4

83 = 83 Кількість дільників m (83) = 2

84 = 2² × 3 × 7 Кількість дільників m (84) = 12

85 = 5 × 17 Кількість дільників m (85) = 4

86 = 2 × 43 Кількість дільників m (86) = 4

87 = 3 × 29  Кількість дільників m (87) = 4

88 = 2³ × 11 Кількість дільників m (88) = 8

89 = 89 Кількість дільників m (89) = 2

90 = 2 × 3² × 5 Кількість дільників m (90) = 12

91 = 7 × 13 Кількість дільників m (91) = 4

92 = 2² × 23 Кількість дільників m (92) = 6

93 = 3 × 31 Кількість дільників m (93) = 4

94 = 2 × 47 Кількість дільників m (94) = 4

95 = 5 × 19 Кількість дільників m (95) = 4

96 = 2⁵ × 3 Кількість дільників m (96) = 12

97 = 97 Кількість дільників m (97) = 2

98 = 2 × 7² Кількість дільників m (98) = 6

99 = 3² × 11 Кількість дільників m (99) = 6

100 = 2² × 5² Кількість дільників m (100) = 9

101 = 101 Кількість дільників m (101) = 2

102 = 2 × 3 × 17 Кількість дільників m (102) = 8

103 = 103 Кількість дільників m (103) = 2

104 = 2³ × 15 Кількість дільників m (104) = 8

105 = 3 × 5 × 7 Кількість дільників m (105) = 8

106 = 2 × 53 Кількість дільників m (106) = 4

107 = 107 Кількість дільників m (107) = 2

108 = 2² × 3³  Кількість дільників m (108) = 12

109 = 109 Кількість дільників m (109) = 2

110 = 2 × 5 × 11 Кількість дільників m (110) = 8

111 = 3 × 37 Кількість дільників m (111) = 4

112 = 2⁴ × 7 Кількість дільників m (112) = 10

113 = 113 Кількість дільників m (113) = 2

114 = 2 × 3 × 19 Кількість дільників m (114) = 8

115 = 5 × 23 Кількість дільників m (115) = 4

116 = 2² × 29 Кількість дільників m (116) = 6

117 = 3² × 13 Кількість дільників m (117) = 6

118 = 2 × 59 Кількість дільників m (118) = 4

119 = 7 × 17 Кількість дільників m (119) = 4

120 = 2³ × 3 × 5 Кількість дільників m (120) = 16

121 = 11² Кількість дільників m (121) = 3

122 = 2 × 61 Кількість дільників m (122) = 4

123 = 3 × 41 Кількість дільників m (123) = 4

124 = 2² × 31 Кількість дільників m (124) = 6

125 = 5³  Кількість дільників m (125) = 4

126 = 2 × 3² × 7 Кількість дільників m (126) = 12

127 = 127  Кількість дільників m (127) = 2

128 = 2⁷ Кількість дільників m (128) = 8

129 = 3 × 43 Кількість дільників m (129) = 4

130 = 2 × 5 × 13 Кількість дільників m (130) = 8

131 = 131 Кількість дільників m (131) = 2

132 = 2² × 3 × 11 Кількість дільників m (132) = 12

133 = 7 × 19 Кількість дільників m (133) = 4

134 = 2 × 67 Кількість дільників m (134) = 4

135 = 3³ × 5 Кількість дільників m (135) = 8

136 = 2³ × 17 Кількість дільників m (136) = 8

137 = 137 Кількість дільників m (137) = 2

138 = 2 × 3 × 23 Кількість дільників m (138) = 8

139 = 139 Кількість дільників m (139) =2

140 = 2² × 5 × 7 Кількість дільників m (140) = 12

141 = 3 × 47 Кількість дільників m (141) = 4

142 = 2 × 71 Кількість дільників m (142) = 4

143 = 11 × 13 Кількість дільників m (143) = 4

144 = 2⁴ × 3²  Кількість дільників m (144) = 15

145 = 5 × 29 Кількість дільників m (145) = 4

146 = 2 × 73 Кількість дільників m (146) = 4

147 = 3 × 7² Кількість дільників m (147) = 6

148 = 2² ×  37 Кількість дільників m (148) = 6

149 = 149  Кількість дільників m (149) = 2

150 = 2 × 3 × 5² Кількість дільників m (150) = 12

151 = 151 Кількість дільників m (151) = 2

152 = 2³ × 19 Кількість дільників m (152) = 8

153 = 3² × 17 Кількість дільників m (153) = 6

154 = 2 × 7 × 11 Кількість дільників m (154) = 8

155 = 5 × 31 Кількість дільників m (155) = 4

156 = 2² × 3 × 13 Кількість дільників m (156) = 12

157 = 157  Кількість дільників m (157) = 2

158 = 2 × 79 Кількість дільників m (158) = 4

159 = 3 × 53 Кількість дільників m (159) = 4

160 = 2⁵ × 5 Кількість дільників m (160) = 12

161 = 7 × 23 Кількість дільників m (161) = 4

162 = 2 × 3⁴  Кількість дільників m (162) = 10

163 = 163 Кількість дільників m (163) = 2

164 = 2² × 41 Кількість дільників m (164) = 6

165 = 3 × 5 × 11 Кількість дільників m (165) = 8

166 = 2 × 83  Кількість дільників m (166) = 4

167 = 167 Кількість дільників m (167) = 2

168 = 2³ × 3 × 7 Кількість дільників m (168) = 16

169 = 13²  Кількість дільників m (169) = 3

170 = 2 × 5 × 17 Кількість дільників m (170) = 8

171 = 3² × 19 Кількість дільників m (171) = 6

172 = 2² × 43 Кількість дільників m (172) = 6

173 = 173 Кількість дільників m (173) = 2

174 = 2 × 3 × 29 Кількість дільників m (174) = 8

175 = 5² × 7 Кількість дільників m (175) = 6

176 = 2⁴ × 11 Кількість дільників m (176) = 10

177 = 3 × 59 Кількість дільників m (177) = 4

178 = 2 × 89 Кількість дільників m (178) = 4

179 = 179 Кількість дільників m (179) = 2

180 = 2² × 3² × 5 Кількість дільників m (180) = 18

181 = 181 Кількість дільників m (181) = 2

182 = 2 × 7 × 13 Кількість дільників m (182) = 8

183 = 3 × 61 Кількість дільників m (183) = 4

184 = 2³ × 23 Кількість дільників m (184) = 8

185 = 5 × 37 Кількість дільників m (185) = 4

186 = 2 × 3 × 31 Кількість дільників m (186) = 8

187 = 11 × 17 Кількість дільників m (187) = 4

188 = 2² × 47 Кількість дільників m (188) = 6

189 = 3³ × 7 Кількість дільників m (189) = 8

190 = 2 × 5 × 19 Кількість дільників m (190) = 8

191 = 191 Кількість дільників m (191) = 2

192 = 2⁶ × 3 Кількість дільників m (192) = 14

193 = 193 Кількість дільників m (193) = 2

194 = 2 × 97 Кількість дільників m (194) = 4

195 = 3 × 5 × 13 Кількість дільників m (195) = 8

196 = 2² × 7² Кількість дільників m (196) = 9

197 = 197  Кількість дільників m (197) = 2

198 = 2 × 3² × 11 Кількість дільників m (198) = 6

199 = 199 Кількість дільників m (199) = 2

200 = 2³ × 5²  Кількість дільників m (200) = 12

201 = 3 × 67 Кількість дільників m (201) = 4

202 = 2 × 101 Кількість дільників m (202) = 4

203 = 7 × 29 Кількість дільників m (203) = 4

204 = 2² × 3 × 17 Кількість дільників m (204) = 12

205 = 5 × 41 Кількість дільників m (205) = 4

206 = 2 × 103 Кількість дільників m (206) = 4

207 = 3² × 23 Кількість дільників m (207) = 6

208 = 2⁴ × 13 Кількість дільників m (208) = 10

209 = 11 × 19 Кількість дільників m (209) = 4

210 = 2 × 3 × 5 × 7 Кількість дільників m (210) = 16

211 = 211 Кількість дільників m (211) = 2

212 = 2² × 53 Кількість дільників m (212) = 6

213 = 3 × 71 Кількість дільників m (213) = 4

214 = 2 × 107 Кількість дільників m (214) = 4

215 = 5 × 43 Кількість дільників m (215) = 4

216 = 2³ × 3³ Кількість дільників m (216) = 16

217 = 7 × 31 Кількість дільників m (217) = 4

218 = 2 × 109 Кількість дільників m (218) = 4

219 = 3 × 73 Кількість дільників m (219) = 4

220 = 2² × 5 × 11 Кількість дільників m (220) =12

221 = 13 × 17 Кількість дільників m (221) = 4

222 = 2 × 3 × 37 Кількість дільників m (222) = 8

223 = 223 Кількість дільників m (223) = 2

224 = 2⁵ × 7 Кількість дільників m (224) = 12

225 = 3² × 5² Кількість дільників m (225) = 9

226 = 2 × 113 Кількість дільників m (226) = 4

227 = 227 Кількість дільників m (227) = 2

228 = 2² × 3 × 19 Кількість дільників m (228) = 12

229 = 229 Кількість дільників m (229) = 2

230 = 2 × 5 × 23 Кількість дільників m (230) = 8

231 = 3 × 7 × 11 Кількість дільників m (231) = 8

232 = 2³ × 29 Кількість дільників m (232) = 8

233 = 233 Кількість дільників m (233) = 2

234 = 2 × 3² × 13 Кількість дільників m (234) = 12

235 = 5 × 47 Кількість дільників m (235) = 4

236 = 2² × 59 Кількість дільників m (236) = 6

237 = 3 × 79 Кількість дільників m (237) = 4

238 = 2 × 7 × 17 Кількість дільників m (238) = 8

239 = 239 Кількість дільників m (239) = 2

240 = 2⁴ × 3 × 5 Кількість дільників m (240) = 20

241 = 241 Кількість дільників m (241) = 2

242 = 2 × 11²  Кількість дільників m (242) = 6

243 = 3⁵  Кількість дільників m (243) = 6

244 = 2² × 61 Кількість дільників m (244) = 6

245 = 5 × 7²  Кількість дільників m (245) = 6

246 = 2 × 3 × 41 Кількість дільників m (246) = 8

247 = 13 × 19 Кількість дільників m (247) = 4

248 = 2³ × 31 Кількість дільників m (248) = 8

249 = 3 × 83 Кількість дільників m (249) = 4

250 = 2 × 5³  Кількість дільників m (250) = 8

251 = 251 Кількість дільників m (251) = 2

252 = 2² × 3² × 7 Кількість дільників m (252) =18

253 = 11 × 23 Кількість дільників m (253) = 4

254 = 2 × 127 Кількість дільників m (254) = 4

255 = 3 × 5 × 17 Кількість дільників m (255) = 8

256 = 2⁸  Кількість дільників m (256) = 9

257 = 257 Кількість дільників m (257) = 2

258 = 2 × 3 × 43 Кількість дільників m (258) = 8

259 = 7 × 37 Кількість дільників m (259) = 4

260 = 2² × 5 × 13 Кількість дільників m (260) = 12

261 = 3² × 29 Кількість дільників m (261) = 6

262 = 2 × 131 Кількість дільників m (262) = 4

263 = 263 Кількість дільників m (263) = 2

264 = 2³ × 3 × 11Кількість дільників m (264) = 16

265 = 5 × 53 Кількість дільників m (265) = 4

266 = 2 × 7 × 19 Кількість дільників m (266) = 4

267 = 3 × 89 Кількість дільників m (267) = 4

268 = 2² × 67 Кількість дільників m (268) = 6

269 = 269 Кількість дільників m (269) = 2

270 = 2 × 3³ × 5 Кількість дільників m (270) = 16

271 = 271 Кількість дільників m (271) = 2

272 = 2⁴ × 17 Кількість дільників m (272) = 10

273 = 3 × 7 × 13 Кількість дільників m (273) = 8

274 = 2 × 137 Кількість дільників m (274) = 4

275 = 5² × 11 Кількість дільників m (275) = 6

276 = 2² × 3 × 23 Кількість дільників m (276) = 12

277 = 277 Кількість дільників m (277) = 2

278 = 2 × 139  Кількість дільників m (278) = 4

279 = 3² × 31 Кількість дільників m (279) = 6

280 = 2³ × 5 × 7 Кількість дільників m (280) = 16

281 = 281  Кількість дільників m (281) = 2

282 = 2 × 3 × 47 Кількість дільників m (282) = 8

283 = 283 Кількість дільників m (283) = 2

284 = 2² × 71 Кількість дільників m (284) = 6

285 = 5 × 3 × 19 Кількість дільників m (285) = 8

286 = 2 ×11 × 13 Кількість дільників m (286) = 8

287 = 7 × 41 Кількість дільників m (287) = 4

288 = 2⁵ × 3²  Кількість дільників m (288) = 18

289 = 17² Кількість дільників m (289) = 3

290 = 2 × 5 × 29 Кількість дільників m (290) =8

291 = 3 × 97 Кількість дільників m (291) = 4

292 = 2² × 73 Кількість дільників m (292) = 6

293 = 293 Кількість дільників m (293) = 2

294 = 2 × 3 × 7² Кількість дільників m (294) = 12

295 = 5 × 59 Кількість дільників m (295) = 4

296 = 2³ × 37 Кількість дільників m (296) = 8

297 = 3³ × 11 Кількість дільників m (297) = 8

298 = 2 × 149 Кількість дільників m (298) = 4

299 = 13 × 23 Кількість дільників m (299) = 4

300 = 2² × 3 × 5²   Кількість дільників m (300) = 18

301= 7∙43 Кількість дільників m (301) =  4
302 =2∙151 Кількість дільників m (302) =  4 
303 =3∙101 Кількість дільників m (303) =  4 
304 =24∙19 Кількість дільників m (304) =  12