8-9 класи. Математичний КОНКУРС «ЗОЛОТИЙ ПЛЮСИК-2015»

Математичний заочний КОНКУРС  «ЗОЛОТИЙ ПЛЮСИК-2015»

Завдання для учнів 8-9 класів

Перша частина завдань

1. З 25 учнів класу 18 захоплюються спортом, 19 – іноземними мовами, 21 – ком­п'ютером, 22 –  сучасною музикою. Вкажіть найбільшу кількість учнів, які обов'язково ма­ють усі зазначені захоплення.

А. 3.           Б. 4.       В. 5.               Г. 6.

2. З двох сусідніх кутів ділянки квадратної  форми стовп, що стоїть на ділянці, видно під кутом 15° до її огорожі. Порівняйте довжину  ділянки а і відстань р від стовпа до найдаль­шого кута.

А.а = р.    Б.а>р.       В. а < р.     Г. Порівняти неможливо.

3. Швидкість теплохода за течією у стільки разів більша від його швидкості проти течії, у скільки разів його швидкість проти течії більша від швидкості течії. Знайдіть відношен­ня швидкості течії до власної швидкості теп­лохода.

А. 1 : 2.           Б. 2 : 3.         В. 2 : 5.    В. 2 : 5.

4. На клітчастому папері (клітинки розмі­ром 1x1 см) намальоване коло, що має не більш ніж 280, але не менш ніж 320 вузлів (то­чок перетину горизонтальних і вертикальних ліній). Яким може бути радіус кола?

А. 8 см.          Б. 9 см.  В. 10 см.             Г. 11 см.

5.         Калькулятор може збільшувати число у  2 рази і додавати до числа 1. За яку найменшу   кількість цих операцій можна з числа 0 одер­жати число 100?

А. 7.                Б. 8.     В. 9.    Г. 10.

6.         Скількома способами можна розрізати різносторонню трикутну пластину на дві рівні  трикутні пластини?

А.0.            Б. 1.  В. 2.           Г. Інша відповідь.

7.         Натуральні числа від 1 до 2007 записані  по колу в порядку зростання в напрямку годинникової стрілки. Починаючи від 1, будемо  рухатися за годинниковою стрілкою, закреслю­ючи кожне друге з чисел, не закреслених рані­ше. Процес викреслювання продовжується доти, поки не залишиться одне число. Яким  воно є?

А. 1.       Б. 1966.      В. 1967.                      Г. 983.

8. З шухляди, де лежать чотири білі кульки, чотири рази навмання виймають кульку, фар­бують у чорний колір і повертають у шухляду. Кульку можна фарбувати кілька разів, причо­му пофарбована кілька разів кулька нічим не відрізняється від кульки, пофарбованої один раз. Скільки всього існує варіантів витягуван­ня кульок і при скількох із них у шухляді не буде білих кульок?

А. 256 і 12.     Б. 256 і 24.     В. 64 і 24.           Г. 24 і 6.

Назвемо багатоцифрове число «старшим», якщо після перестановки будь-якої групи цифр із початку числа в кінець воно зменшується. Скільки існує старших семицифрових чисел, у запису яких можуть зустрітися тільки цифри 1 і 2?

А. 27.          Б. 18.    В. 12.    Г. 10.

10.       Автомат пару цілих чисел (х; у) може пе­ретворити або в пару (у; х), або в (х + у; у), або в ( х– у; у). Яку з наведених пар не можна одер­жати з пари (0; 1)?

А. (17; 13).        Б. (2; 15).     В. (9; 12).          Г. Усі пари можна  одержати.

11.       Добра Фея з к дітьми підійшла до авто­мата, що торгує надувними кульками. В авто­
маті є кульки я кольорів, причому кульок кож­ного кольору не менше від к. Діти хочуть одер­жати по кульці, але одного кольору. Автомат видає кульки випадково. Яку найменшу кількість кульок має купити Добра Фея, щоб задовольнити побажання всіх дітей?

А. n(k-1)-1.               Б. n(k-1)+1.    В. n(k+1) + 1.   Г. n(k +1)-1.

12.       У кафе стояло чотири столи, по одному вздовж кожної стіни. 12 студентів зайшли туди пообідати і запросили до обіду хазяїна. Розсі­лися всі так: за трьома зі столів сіли студен­ти – по 4 особи за кожен стіл, спиною до стіни, а за четвертий стіл сів хазяїн. Студенти  домовилися з хазяїном, що платити за рахунком буде той, хто залишиться останнім за такої  умови: лічити по колу за годинниковою  стрілкою всіх, у тому числі й хазяїна, та  звільняти від плати кожного четвертого. Кожен   звільнений надалі в лічбі не бере участі. Ос­таннім залишився хазяїн. З кого почали лічи­ти?

А. З 6-го ліворуч від хазяїна. Б. З 5-го ліворуч від хазяїна. В. З 6-го праворуч від хазяїна. Г. З 5-го праворуч від хазяїна.

13.       У.першості району з футболу бере участь n команд. Кожна з кожною іншою зустрічається двічі. За перемогу присуджується три очки, за нічию – одне очко, за поразку – 0 очок.  Який максимальний розрив в очках може бути між учасниками змагання, що зайняли сусідні  місця?

А. 4n - 4.        Б. 4n - 2.   В. 4n + 2.  Г. Інша відповідь.

14.       З одиничних кубиків склали куб розмі­рами 5x5x5. Яку найбільшу кількість кубиків
можна вилучити, щоб при погляді на фігуру, що залишилася, уздовж будь-якого ребра бачи­ ти квадрат розмірами 5x5 ?

А. 50.            Б. 75.       В. 100.                  Г. 105..

15.       Чому дорівнює сума чисел у n-му рядку  «арифметичного трикутника»

1

2 + 3

4 + 5 + 6

7 + 8 + 9+10

11 + 12+ 13+ 14+15

A. 0,5n(n²+1).        Б. 0,5n(n² – 1) .       В. n(n²+1) .           Г. Інша відповідь.

Друга частина завдань

1. В одному під'їзді дружно мешкають N хлопчиків і N дівчаток. На Новий рік кожен хлопчик купив подарунки а(а< N) дівчаткам, а кожна дівчинка - b {b < N) хлопчикам. При яких значеннях а і b знайдеться пара, що скла­дається з хлопчика і дівчинки, які купили по­дарунки один одному?

2. Проводиться гра: за допомогою датчи­ка випадкових чисел комп'ютер вибирає одне натуральне число від 1 до 1000. Якщо воно ділиться на 3, то гравцю платять 1 грн, якщо ділиться на 15 – 2 грн, на 18 – 4 грн, на 20 – 8 грн, якщо воно ділиться на кілька з цих чисел, то платять суму відповідних виграшів.

Скільки можна виграти за один раз у такій грі? Вкажіть усі варіанти.

Якою є ймовірність одержати якийсь ви­граш?

Якою є ймовірність одержати максималь­ний виграш?

Якою, по-вашому, має бути плата за участь у цій грі?

3. Робітники великого заводу разом зі свої­ми родинами вирушили у вихідні дні за гри­бами. У кожному автобусі була однакова кількість пасажирів. На половині шляху вий­шов з ладу 1 автобус, тому в кожний з решти автобусів довелося розмістити по 5 пасажирів, які втратили можливість їхати. На зворотному шляху з ладу вийшло ще 2 автобуси; тепер у кожному автобусі їхало на 21 пасажир більше, ніж їх було спочатку. Скільки людей брало участь у поїздці?

4/ Пішак стоїть на кутовій клітинці «шахів­ниці» розміром 2008x2008. Кожен із двох гравців по черзі пересуває його на сусіднє поле (що має спільну сторону з тим полем, на яко­му стоїть пішак). Другого разу ходити на поле, де побував пішак, не можна. Програє той, кому ходити нікуди. Хто може домогтися перемоги при правильній грі: той, хто починає гру, чи його суперник? А якщо дошка має розміри 2007x2007?

Деталь циліндричної форми утворюють склеюванням двох однакових кругових дисків, кромки яких ушкоджені. Відомо, що на одно­му диску є два ушкодження, по 30° кромки, а на другому – три ушкодження, по 25° кожне. Чи можна з'єднати диски так, щоб ушкоджен­ня на кромках не стикалися?

6. Яку найбільшу кількість різних ланок може містити ламана лінія

A₁ A₂ … A_n-1 A_{n  ,} якщо на координатній площині A₁(a₁; b₁), A₂ (a₂; b₂)     і для n > 2 координати А_n(а_n; b_n) визначаються за формулами а_n = b_n-1  + b_n-2 ,  b_n = a_n-1  - a_n-2 ?

7. Автомат щохвилини число, що з'являєть­ся на його екрані, множить або ділить на 2 чи на 3. Зараз на його екрані число 18. Якою є найбільша кількість варіантів для цілих чи­сел, що можуть з'явитися на його екрані че­рез 10 хв?

8. Розмістіть у квадраті три точки так, щоб сума квадратів усіх відстаней між ними була найбільшою.

9. З яких положень кулю на прямокутному більярдному столі можна ударом кия спряму­вати так, щоб, відбившись від усіх бортів, вона пройшла через своє початкове положення?

10.       На газоні, що має форму квадрата зі сто­роною 12 м, потрібно встановити розпилювачі води, які розприскують її на 3 м в усі боки так, щоб увесь газон був политий. Чи достатньо для цих цілей 9 розпилювачів?

Математичний КОНКУРС  «ЗОЛОТИЙ ПЛЮСИК-2008»

Дорогі друзі!

Запрошуємо Вас взяти участь у математич­ному безкоштовному заочному конкурсі «Золотий плюсик -2015», який прово­дять для учнів 4-9-х класів Відкритий матема­тичний  форум  при Вінницькому ліцеї № 7.  

Участь у конкурсі можна розглядати як підготовку до математичних олімпіад,  які відбудуться  у  2014 та 2015 роках.

Конкурс «Золотий плюсик -2015» – заочний. Призери будуть нагороджені дипломами, а та­кож одержать пільги під час навчання у Вінницькому ліцеї № 7.  

Завдання конкурсу складаються з двох частин. Розв'язання задач першої частини зводиться до вибору правильної відповіді із запропонованих. Пам'ятайте, шо серед наведених відповідей зав­жди є правильна і вона тільки одна. Якшо Вам здається, що правильної відповіді немає, ви­беріть букву Д - правильної відповіді немає.  Обрані відповіді необхідно записати на окре­мому аркуші паперу. Кожному завданню відпо­відатиме буквене позначення правильної відповіді.

Розв'язання завдань другої частини не­обхідно оформити в зошиті з усіма необхідни­ми поясненнями і обгрунтуваннями. Вкажіть номер задачі і наведіть її розв'язання. Підби­ваючи підсумки, журі буде враховувати обгрун­тованість міркувань, повноту розв'язань, їх оригінальність.

Розв'язання задач необхідно  оформити  в  МS Word, зберегти з форматом текстового  документа і надіслати не пізніше, ніж  25 травня 2015 року на електронну скиньку  vinnser@gmail.com    

Перший  аркуш формат А4, на якому вкажіть:

·        прізвище та ім'я, по-батькові учня;

·        домашню адресу учня з поштовим індексом і те­лефон;

·        клас  та навчальний заклад;

·        прізвище, ім'я і по батькові Вашого вчите­ля математики;

·        два конверти з марками для УКРАЇНИ із зазначеними на них (у колонці «Кому») Вашою домашньою адресою з поштовим індексом, щоб ми повідомили Вас про отримання Вашої роботи та результати її перевірки.