Шкільна тренувальна математична олімпіада 6-7 класи

Шкільна математична  олімпіада   6-7 класи

ПЕРША  ЧАСТИНА ЗАВДАНЬ

1.  Коли вода перетворюється на лід, її об'єм збільшується на 9 %. На скільки відсотків зменшиться об'єм, коли лід розтане? (Вкажіть най­точніший результат.)

А. На 8%.   Б. На 8,25%.  В. На 8,75%.    Г. На9%    Д. Власна відповідь.

2. Таблиця 2x2 заповнюється цифрами, відмінними від 0, так, що сума двоцифрових
чисел, отриманих при читанні рядків таблиці зліва направо, дорівнює 100. Скільки є способів
заповнити таблицю?

А. 17.  Б. 72. В. 18.   Г. 81.  Д. Власна відповідь.

3. Є скринька з п'ятьма білими й однією чор­ною кулею. З цієї скриньки навмання вийма­ють по одній кулі (не повертаючи їх назад) доти, поки не з'явиться чорна куля. За кожну гру при­суджується стільки очок, скільки всього вийня­то куль, включаючи й останню чорну. Наприк­лад, якщо чорна куля з'явилася відразу, гравець одержує одне очко, якщо перша куля виявила­ся білою, а друга — чорною, то два очки і т. д.

а)  Яку кількість очок може одержати гравець у цій грі?

б)  Порівняйте шанси одержання одного, двох, трьох і т. д. очок.

в)   Проведіть велику кількість дослідів, на­ приклад 200, щоразу після появи чорної кулі,
повертаючи кулі в скриньку і ретельно пере­ мішуючи їх. За результатами дослідів спробуй­
те відповісти, яку найбільш імовірну кількість очок можна заробити в такій грі.

4.  Із пакета, у якому 2200 г борошна, необхідно відсипати 2 кг борошна. Як це зробити за допомо­гою шалькових терезів без гир, якщо є ще два па­кети на 600 г і 1300 г?

5. Кабінки розважального атракціону «Ко­лесо спостереження» послідовно пронумеровані числами 1, 2, 3 і т. д. Скільки всього кабінок, якщо тоді, коли кабінка під номером 30  займає найвищу позицію, кабінка під номером 12 -найнижчу?

6. На новорічному ранку кожен учень 6-6 кла­су одержав пакет з цукерками (всі пакети одна­
кові). Протягом ранку деякі з дітей частину своїх цукерок роздавали однокласникам — усім порівну.
Наприкінці ранку в Петрика виявилося 15 цуке­рок, а в Маші - 77. Скільки учнів у 6-6 класі?

А. 46.  Б. 29.    В. 31. Г. 32. Д. Власна відповідь.

7. Змішують два сорти чаю вартістю 30 грн і 50 грн за 1 кілограм. Скільки грамів чаю вищо­го сорту потрібно взяти, щоб одержати 500 г суміші вартістю 3 грн 50 к. за 100 г?

А. 125 г.  Б. 187,5 г.   В. 200 г.        Г. 375 г.  Д. Власна відповідь.

8.   Робот рухається по поверхні Місяця зі сталою швидкістю, змінюючи напрям руху на
60° через кожні 10 хвилин. Через який час після початку руху робот уперше повернеться в точ­
ку, з якої він почав рух?

А. Через 30 хв.  Б. Через 1 год.   В. Через 1 год 10 хв. Г. Через 1 год 30 хв. Д. Власна відповідь.

9.   Фірма, що виробляє шоколад, вирішила провести акцію для збільшення продажу. Для
цього вона в кожну коробку вкладає талон, і за десять зібраних талонів покупцю видається без-
коштовно коробка шоколаду. На скільки відсотків фірма повинна підвищити ціну короб­ки шоколаду, якщо на цю акцію не планується виділяти додаткових коштів?

А. На 9%. Б. На 10%.  В. На 11 %.  Г. Інша відповідь.

10.    Квадрат поділили на 100 однакових ма­леньких квадратиків. Чи можна розмістити в квадратиках числа 1,2,3 так, щоб суми чисел у рядках, стовпцях і двох діагоналях були різними?

11.    Футбольний суддя пробіг під час матчу від лінії одних воріт до лінії інших, причому маршрутом його була така ламана, що прямі, паралельні сторонам поля, перетинали марш­рут не більш ніж в одній точці. Доведіть, що довжина маршруту не перевищує півперимет-ра поля.

ДРУГА ЧАСТИНА ЗАВДАНЬ

1. У квадраті зі стороною 1 км міститься дру­гий квадрат, вершинами якого є середини  сторін першого. У другому квадраті міститься третій квадрат, вершинами якого є середини сторін другого, і т. д.

а) У чого більше шансів: навмання взята точ­ка першого квадрата лежить у другому квадраті, чи за межами його?

б) Які шанси того, що навмання взята точка першого квадрата є точкою третього квадрата?

в) Чи поміститься на п'ятнадцятому квадраті коло з радіусом 1,5 см?

2.  Добуток двох двоцифрових чисел є трицифровим чи чотирицифровим числом. Яких чисел більше?

3.  Двоє по черзі беруть з купи камінці. До­зволяється брати 1,2,4, 8,..., (будь-яку степінь двійки) камінців. Той, хто взяв останній камі­нець, виграє. Хто переможе в грі?

4.     Чи можна натуральне число п, сума цифр якого дорівнює 2006, подати як квадрат деяко­го натурального числа а?

5.   Відомо, що ціле число п має  всього 2 непарних дільників. Яким числам може  дорівнювати добуток  дільника на  дане число ,  якщо  модулі   будь-якого  із  дільників менше, ніж 2?