Шкільний етап всеукраїнської олімпіади школярів з
математики.
Загальні
критерії оцінювання завдань наведено в таблиці.
|
7
|
Повне правильне розв’язання
|
|
6-7
|
Повне правильне розв’язання. Є
невеликі недоліки, які в цілому не впливають на розв’язання.
|
|
5-6
|
Розв’язання в цілому вірне.
Однак воно містить ряд помилок, або не розглянуті окремі
випадки, але може стати правильним після невеликих виправлень або
доповнень.
|
|
4
|
Правильно розглянуто один з двох (більш складний)
істотних випадків,
або в задачі типу «оцінка-приклад» вірно отримана оцінка.
|
|
2-3
|
Доведені допоміжні твердження,
що допомагають у розв’язанні задачі.
|
|
0-1
|
Розглянуто окремі важливі випадки за
відсутності розв’язання (або при помилковому розв’язанні).
|
|
0
|
Розв’язання неправильне,
просування відсутні. Розв’язання відсутнє.
|
Не можна
зменшувати кількість балів за те, що розв’язання занадто довге. Виправлення в
роботі (закреслення раніше написаного тексту) також не є підставою для зняття
балів. У той же час будь-як завгодно довгий текст розв’язання, що не містить корисних
просувань, повинен бути оцінений в 0 балів.
5 клас
1. У лютому деякого року
2419200 секунд. Чи високосним був цей рік?
(У високосному році 366
днів, в інших - 365 днів).
Відповідь:
рік не високосний.
Розв’язання. Число 2419200 ділиться на 7 (перевіряється безпосередньо). Отже, у
лютому 28 днів, а рік - звичайний.
Коментар. Повне розв’язання - 7
балів. Можливі розв’язання з повним
обчисленням. У цьому випадку всі викладки повинні бути в розв’язання, тоді
оцінка теж 7 балів. Інакше розв’язання оцінюється в 0 балів. Тільки відповідь -
0 балів.
2. Відновити ребус ВОДА +ВОДА
= ЗАВОД (однаковим літерам відповідають
однакові цифри, різним літерам - різні цифри).
Відповідь:
8947+ 8947 = 17894.
Розв’язання. Зрозуміло, що З = 1 і А ≠ 0 (інакше А = Д = 0). Підставляючи
А = 2, 3,
..., 9, знаходимо єдиний розв’язок 8947 +8947
= 17894.
Коментар. Повне розв’язання - 7
балів. Правильна відповідь - 1 бал. Часткові просування або помилки оцінюються
в залежності від їх величини та значущості. Якщо перебрано не всі варіанти,
оцінка не може бути більшою за 3 балів.
3. Розріжте фігуру на
малюнку 1 по лініях сітки на чотири однакові, що не є
прямокутниками.
|
1
|
Відп. А
|
|||
|
1
|
1
|
1
|
2
|
2
|
|
4
|
4
|
4
|
3
|
2
|
|
4
|
3
|
3
|
3
|
2
|
|
х
|
Мал.. 1
|
|||
|
х
|
х
|
х
|
х
|
х
|
|
х
|
х
|
х
|
х
|
х
|
|
х
|
х
|
х
|
х
|
х
|
|
м
|
Відп. Б
|
|||
|
м
|
а
|
а
|
а
|
с
|
|
м
|
м
|
р
|
а
|
с
|
|
р
|
р
|
р
|
с
|
с
|
Розв’язання. Можливі розв’язання наведені
на малюнку.
Коментар. Приклад розрізання
оцінюється в 7 балів. Доведення, що кожна фігура містить 4 клітинки - 1 бал.
4.Сума
2010 натуральних чисел - непарне число. Яким числом - парним або
непарним
- є добуток цих чисел?
Відповідь: парним.
Розв’язання. Якби всі числа були непарними,
то їх сума була б парною. Отже, серед цих чисел є парне число. Тоді добуток –
парний.
Коментар. Повне розв’язання - 7
балів. Доведення наявності парного
доданку - 3 бали. Будь-яка кількість прикладів - 0 балів. Тільки відповідь - 0
балів.
5. У числі 7 ****** 1 замініть зірочки цифрами
так, щоб сума будь-яких
трьох
сусідніх цифр дорівнювала 11. Знайдіть всі розв’язання і доведіть, що
інших
немає.
Відповідь: 71371371.
Розв’язання. Нехай перша зірочка х, тоді друга 4 - х, третя - 7, четверта знову х,
п'ята 4 - х, шоста 7, сьома - х, і вона дорівнює 1. Значить, х = 1, 4 - х = 3.
Коментар.
Повне розв’язання - 7 балів. Відповідь - 1 бал.
Математична олімпіада 6 клас
1. Чи можна подати число 91
у вигляді суми кількох натуральних чисел, добуток яких також дорівнює 91?
Відповідь: так.
Розв’язання. Можна взяти числа 13 і 7 та сімдесят одну одиницю. І їх добуток, і їх сума рівні 91.
Коментар.
Приклад - 7 балів.
2. Вася склав куб з 27
кубиків, а потім пофарбував його поверхню в синій колір. Потім Петро забрав всі кубики, у яких були
пофарбовані хоча б дві грані. Скільки кубиків взяв собі Петро?
Відповідь: 20.
Розв’язання. З 27
кубиків виходить куб 3 × 3 × 3. Вуглові кубики пофарбовані з трьох сторін (їх 8
штук), кубики, які знаходяться на ребрах, але не в вершинах, пофарбовані з двох
сторін (їх 12 штук - по одному на кожному ребрі). Решта кубики пофарбовані з одного
боку (знаходяться всередині межі)
або не пофарбовані зовсім (центральний кубик). Отже, Петро взяв 8 +12 = 20 кубиків.
Коментар.
Повне розв’язання - 7 балів. Відповідь - 1 бал.
3. Петро і Вася розрізали
два однакових прямокутника. У Петра вийшло два прямокутники з периметром 40 см кожен, а у Васі - два
прямокутники з периметром 50 см кожен. Який периметр
мали початкові прямокутники?
Відповідь: 60 см .
Розв’язання. Якщо сторони вихідного прямокутника a і b, то у Петра вийшли периметри,
рівні 2a+ b = 40, а у Васі - рівні a +2b
= 50. Тоді 3a +3b = 40+ 50 = =90. Звідки
2a+ 2b = 60 - периметри вихідних прямокутників.
Коментар. Повне розв’язання - 7
балів. Якщо складені рівняння - 2 бали.
Відповідь -
1 бал.
4. На прямій відмітили кілька точок. Після цього між кожними двома
сусідніми точками поставили ще по точці.
Таку операцію виконали кілька разів (може бути один раз). В результаті на прямий виявилося 65 точок. Скільки точок могло бути на прямій спочатку?
Відповідь: 2, 3, 5, 9, 17, 33
точок.
Розв’язання. Зауважимо, що коли на прямий відмічено k точок, то проміжків між ними
буде k - 1, і якщо у кожний такий проміжок поставити по точці, то всього точок
стане
k + (k - 1)
= 2k - 1. Тому якщо точок стало 2k - 1 =
65, то перед останньою операцією їх було k = 33. Аналогічно знаходимо, що до
цього їх було 17, потім - 9, 5, 3 і 2. Процес міг починатися з будь-якого з
етапів.
Коментар. Повне розв’язання - 7
балів. Тільки відповідь - 1 бал. При втраті випадків кількість балів від 2 до
6.
5. На острові, населення
якого становлять тільки лицарі, що говорять правду, і брехуни, які завжди брешуть, знаходиться
науково-дослідний інститут (НДІ). Кожний із його співробітників зробив одного разу дві
заяви: а) в інституті немає і десятка
людей, що працюють більше від мене; б)
принаймні сто осіб в інституті отримують зарплату більшу, ніж моя. Відомо, що
навантаження у всіх працівників різне, як і зарплата. Скільки людей працює в
НДІ?
Відповідь: 110 осіб.
Розв’язання. Розглянемо співробітника, який працює більше всіх інших. Тоді першою заяві він не збрехав, тобто він - лицар. Але
тоді і друга його заява - правда, отже, знайдуться 100 чоловік в інституті, які
отримують більше нього. Бачимо, що з одного боку перші 10 співробітників, які
працюють більше, ніж інші - лицарі, а решта - брехуни. З іншого боку, 100
співробітників, які отримують більше за інших - брехуни, а решта - лицарі. Тому
всього лицарів і брехунів 110.
Коментар. Повне розв’язання - 7
балів. Відповідь - 1 бал. Обчислення кількості лицарів або кількості брехунів -
3 бали.
МАТЕМАТИЧНА
ОЛІМПІАДА 7 клас
1. Відновіть ребус КОКА+ КОЛА = ВОДА (однаковим буквам відповідають
однакові цифри, різним буквам - різні цифри).
Відповідь: 3930 + 3980 = 7910.
Розв’язання. Очевидно, що А = 0. Тоді О ≠ 0,отже, О = 9. Тоді К +К +1 = В. Можливі варіанти
1)
К = 1, В = 3, 2) К = 2, В = 5, 3) К = 3, В = 7. К+ Л = 10+ Д (1 переходить в
наступний розряд). Перший варіант не підходить, тому що інакше Л = 9, тоді Л
співпадає з О. Другий варіант не підходить, оскільки інакше Л = 8 (тоді Д = 0 та
А = 0) або Л = 9 (тоді Л збігається з О). У третьому випадку Л = 7, Л = 8, Л = 9. Якщо Л = 7, то Д = 0
і А = 0. Якщо Л = 9, то Л збігається з О. Отже, Л = 8, Д = 1.
Коментар. Повне рішення - 7
балів. Відповідь - 1 бал. Часткові просування або помилки оцінюються в
залежності від їх величини та значущості.
2. Вася задумав три різні
ненульові цифри. Петро записав всі дев'ять можливих двозначних чисел, у
десятковому записі яких використовувалися тільки ці цифри. Сума записаних чисел
дорівнює 231. Знайдіть цифри, задумані Василем.
Відповідь: 1, 2 і 4.
Розв’язання. Нехай a, b, c - задумані цифри. Кожна задумана цифра в кожному розряді використовувалася
по три рази. Отже, сума записаних чисел дорівнює 3*10*(a+b+c) + 3*(a+b+c). Звідси
a+b+c = 7. Будемо вважати, що a < b < c. Тоді a = 1 (так як навіть 2+ 3+ 4 > 7), і b + c = 6. Цій рівності
задовольняє тільки одна пара різних цифр, серед яких немає 1, отже, b = 2, c =
4.
Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Відповідь - 1 бал.
Якщо доведено, що a+b+c =7 - 3 бали.
Якщо разом із цим доведенням подано правильну відповідь без обґрунтування - 4
бали.
3. Знайдіть найменше складене
число, яке не ділиться на жодне із натуральних чисел від 2 до 10.
Відповідь: 121.
Розв’язання. Оскільки число складене, то його можна розкласти на два множники, більших
від 1. Так як воно не ділиться на жодне натуральне число від 2 до 10, то обидва
множники не менші 11, а саме число не менше 121. Залишилось зауважити, що 121
не ділиться ні на одне натуральне число від 2 до 10.
Коментар. Повне розв’язання - 7
балів. Відповідь - 1 бал. Якщо при правильних міркуваннях отримали число 132 –
4 бали.
4 . Вовк
запросив до себе в гості трьох поросят і Червону Шапочку дивитися
мультики.
Після перегляду Вовк перерахував кекси
на кухні і заявив, що
двох
не вистачає. Як Вовку за два зважування
визначити, хто з'їв кекси? Всі
кекси
важать однаково, всі поросята
(принаймні, коли вони тільки
прийшли в гості) - теж. Також відомо, що Червона Шапочка на дієті, тому
могла з'їсти не більше 1 кексу.
Розв’язання.
Очевидно, що іще залишився хоча б один кекс.
Зважуємо двох поросят.
а) Якщо П1
= П2, то можливі випадки:
1) П1 і П2
з'їли по 1 кексу. 2) П3 з'їв 2 кекси. 3) П3 і ЧШ з'їли по 1 кексу.
Друге
зважування: порівнюємо П1 + Кекс і П3. Якщо П1+ К> П3, то 1 випадок, якщо П1
+ К = П3, то 3 випадок, якщо П1+ К <П3, то 2 випадок.
б) Якщо
П1> П2, то можливі випадки:
1) П1 і П3
з'їли по 1 кексу. 2) П1 з'їв 2 кекси. 3) П1 і ЧШ з'їли по 1 кексу.
Друге
зважування: порівнюємо П1 і П3 + К. Якщо П1> П3 +К, то 2 випадок, якщо
П1 = П3 +К,
то 3 випадок, якщо П1 <П3 +К, то 1 випадок.
Коментар. Повне розв’язання - 7
балів. Часткові просування або помилки оцінюються в залежності від їх величини
та значущості. Якщо перебрано не всі варіанти, оцінка не може бути більшою за 3
бали.
Немає коментарів:
Дописати коментар