10-11 класи. ЗАДАЧІ НА ОБЧИСЛЕННЯ З ТЕМИ «ПАРАЛЕЛЕПІПЕДИ»

Банк задач з теми «Паралелепіпеди. Куб».

1.Наведіть приклади тіл, які мають форму паралелепіпеда, з навколишнього середовища.

2.Чи вірно, що довільні три сусідні вершини куба задають площину грані куба?

3.Чи вірно, що два довільні бічних ребра куба задають грань куба?

4.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба і паралельне до нього  ребро верхньої основи куба задають грань куба?

5.Чи вірно, що грань нижньої основи куба являється перпендикулярною до бічних граней куба?

6.Чи вірно, що дві бічні ребра куба утворюють перпендикулярні грані куба?

7.Чи вірно, що сусідні вершини куба – це вершини, які являються кінцями одного ребра куба?

8.Чи вірно, що усі бічні ребра куба являються паралельними?

9.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються паралельним до усіх ребер верхньої основи куба?

10.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються мимобіжним до деяких ребер верхньої основи куба?

11.Чи вірно, що деякі бічні ребра куба являються перпендикулярними?

12. Три грані паралелепіпеда - прямокутники. Чи випливає з цього, що даний паралелепіпед прямокутний?

13.Три грані паралелепіпеда - квадрати. Чи випливає з цього, що даний паралелепіпед куб?

14. Три грані многогранника - трикутника. Чи випливає з цього, що це призма?

15. Чи можна, знаючи положення п’яти будь-яких вершин куба, однозначно можна визначити положення інших трьох вершин куба у просторі?

16. Чи можна, знаючи положення довільних чотирьох вершин  куба, однозначно можна визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі?

17. Чи можна, знаючи чотири вершини куба, що являються кінцями трьох вимірів: ширини, довжини, висоти куба, які виходять з однієї точки, то можна однозначно визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі?

18. Скільки відрізків, що задані на поверхні куба, належать до ребер куба?

19. Скільки відрізків, що задані на поверхні куба, належать до діагоналей граней куба?

20. Скільки відрізків, кінці яких лежать на поверхні  куба належать до діагоналей куба?

21. Скільки різних площин, що утворюються на множині восьми вершин куба (кожна з цих площин містить хоч а б три вершини  куба)?

22. Скільки діагональних перерізів має куб?

23. Скільки січних площин(рівносторонні трикутні перерізи куба), кожна з яких містить в собі тільки три вершини куба?

24. Чи можна отримати в перерізи куба площиною: а)правильний трикутник; а)правильний чотирикутник; а)правильний п’ятикутник; а)правильний шестикутник?

25. Скільки різних (рівних) правильних тетраедрів можна побудувати на восьми вершинах куба?

26. Скільки різних (рівних) чотирикутних пірамід можна побудувати на восьми вершинах куба?

27. Яке відношення між числом граней, числом вершин, та числом ребер має місце для многогранника?

28. Чи можна провести площину, яка перетинає тригранний кут куба, так, щоб у перерізі утворився тупокутний трикутник?

29. Чи завжди  можна провести площину, яка перетинає чотиригранний кут, так, щоб у перерізі утворився паралелограм? 

30. Чи можна куб перетнути площиною так, щоб отримати в перерізі: а) прямокутний або тупокутний трикутник; б) квадрат; в) прямокутник; г) ромб, відмінний від квадрата; д) паралелограм, відмінний від ромба; е) трапецію; є) правильний п'ятикутник; ж) який-небудь семикутник?

31. Чи існує многогранник з п’ятьма ребрами?

32. Чи існує многогранник з шістьма ребрами?

33. Чи існує многогранник з сімома ребрами?

34. Чи може призма мати вісім ребер?

35. Яка фігура утвориться в перетині поверхні куба площиною, що проходить через центр куба перпендикулярно його діагоналі?

36. Яка фігура утвориться в перетині поверхні куба площиною, яка визначається кінцями трійки ребер куба, що виходять із однієї вершини?

37. Чи існує многогранник  з непарним числом граней, кожна з яких містить непарне число сторін?

37. Як треба провести площину, щоб вона перетинала поверхню правильного тетраедра по квадрату?

38. Який многокутник утворюється при перетині поверхні правильного тетраедра площиною, паралельною двом його протилежним ребрах? Чи вірно, що периметр цього перерізу не залежить від вибору такої січної площини.

39. Як треба провести площину, щоб вона перетинала поверхню куба по правильному шестикутнику?

40. Чи можна куб перетнути площиною так, щоб отримати в перерізі: а) прямокутний або тупокутний трикутник; б) квадрат; в) прямокутник; г) ромб, відмінний від квадрата; д) паралелограм, відмінний від ромба; е) трапецію; є) правильний п'ятикутник; ж) який-небудь семикутник?

41.Покажіть, що існує тетраедр (тобто трикутна піраміда), висоти якого не перетинаються в одній точці.

42. Покажіть,, що кожна трикутна піраміда володіє плоским перерізом у формі ромба.

ЗАДАЧІ НА ОБЧИСЛЕННЯ З ТЕМИ «ПАРАЛЕЛЕПІПЕДИ»

1.Виміри прямокутного паралелепіпеда, виміри 9 см, 12 см і 20 см. Знайдіть:

1) площу повної поверхні прямокутного паралелепіпеда;

2) суму усіх ребер паралелепіпеда;

3) об’єм паралелепіпеда;

4) площу діагональних перерізів паралелепіпеда;

5) кількість різних трикутних пірамід, з вершинами паралелепіпеда та їх об’єми, та ня

6) кількість різних чотирикутних пірамід, з вершинами паралелепіпеда та їх об’єми та поверхні;

7) кількість способів, якими можна дістатися найкоротшим шляхом, якщо дозволено рухатися тільки по ребрам паралелепіпеда від однієї вершини до протилежної вершини; 

8) кількість центрів симетрій паралелепіпеда;

9) кількість осей симетрій паралелепіпеда;

10) кількість площин симетрій паралелепіпеда;

11) площу поверхні сфери, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда;

12) об’єм кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда;

13) кількість відрізків, з кінцями у вершинах паралелепіпеда.

14)

2.Знайдіть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 3 см, 12 см і 4 см.

Знайдіть:

а) площі усіх діагональних перерізів;

б) площу бічної поверхні;

в) площу повної поверхні;

г) діагональ паралелепіпеда; 

д) кут між двома мимобіжними ребрами;

е) довжини усіх діагоналей основи;

є) довжини усіх діагоналей бічної грані;

ж) кут між двома діагоналями однієї основи;

з) кут між двома діагоналями однієї бічної  грані;

и) кут між двома діагоналями двох  бічних граней;

і) кут між бічним ребром і діагоналлю однієї бічної грані;

ї) кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней;

к) кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней;

л) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і площиною основи;

м) кут між діагоналлю паралелепіпеда і бічним ребром;

н) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і мимобіжною діагоналлю грані.

о) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами основи;

п) відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней

р) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами несуміжних граней;

с) найкоротша відстань між двома непаралельними і немимобіжними ребрами;

т) кут між двома мимобіжними ребрами;

у) кут між двома суміжними ребрами основи;

ф) найкоротшу відстань між діагоналлю паралелепіпеда і мимобіжною до неї діагоналлю основи;

х) найкоротшу відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней;

ц) найкоротшу відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней.

3.В основі прямого паралелепіпеда з висотою 5 см лежить ромб з діагоналями 6 см і 8 см. Знайдіть:

а) площі усіх діагональних перерізів;

б) площу бічної поверхні;

в) площу повної поверхні;

г) діагональ паралелепіпеда; 

д) кут між двома мимобіжними ребрами;

е) довжини усіх діагоналей основи;

є) довжини усіх діагоналей бічної грані;

ж) кут між двома діагоналями однієї основи;

з) кут між двома діагоналями однієї бічної  грані;

и) кут між двома діагоналями двох  бічних граней;

і) кут між бічним ребром і діагоналлю однієї бічної грані;

ї) кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней;

к) кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней;

л) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і площиною основи;

м) кут між діагоналлю паралелепіпеда і бічним ребром;

н) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і мимобіжною діагоналлю грані.

о) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами основи;

п) відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней

р) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами несуміжних граней;

с) найкоротша відстань між двома непаралельними і немимобіжними ребрами;

т) кут між двома мимобіжними ребрами;

у) кут між двома суміжними ребрами основи;

ф) найкоротшу відстань між діагоналлю паралелепіпеда і мимобіжною до неї діагоналлю основи;

х) найкоротшу відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней;

ц) найкоротшу відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней.

1.           Знайдіть діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 3 см, 4 см і 12 см.

2.           Дано паралелепіпед, кожна грань якого - ромб зі сторо­ною а і кутом а. Знайдіть площу його поверхні.

3.           АВСDА₁В₁С₁D₁ - прямий паралелепіпед, а К, L, М -середини ребер АВ, А₁В₁, В₁С₁ відповідно. Побудуйте пе­реріз паралелепіпеда площиною, яка проходить через точки К, L, М. Знайдіть площу перерізу, якщо АА₁ = 3 см, а КМ = 5 см.

4.           АВСDА₁В₁С₁D₁ - похилий паралелепіпед, М - середина його ребра D₁В₁. Побудуйте переріз паралелепіпеда пло­щиною, яка проходить через точки В, D, М.

5.           Побудуйте переріз паралелепіпеда АВСВА₁В₁С₁В₁ площи­ною, яка проходить через середини ребер АВ, СВ, ВВ₁ Визначте вид перерізу, якщо паралелепіпед:

              а) прямокутний;       б) прямий;       в) похилий.

7.           Виміри прямокутного паралелепіпеда 3, 4 і 5. Під яким кутом нахилена діагональ паралелепіпеда до площини найменшої його грані?

8.           Як зв'язані між собою виміри а, 6, с прямокутного пара­лелепіпеда, якщо його діагональний переріз - квадрат?

9.           Знайдіть виміри прямокутного паралелепіпеда, якщо площі трьох його граней 42 см², 72 см² і 84 см².

10.  Знайдіть площі діагональних перерізів прямого паралеле­піпеда, якщо сторони його основи дорівнюють 2,3 м і 1,1 м, кут між ними 60°, а бічне ребро їм.