Задача Вінницького про шестикутник

Задача Вінницького.  Дано шестикутник АО₁ВО₂СО₃, у якого є три пари рівних сторін:  АО₁ = О₁В, ВО₂ = О₂С,  СО₃ = АО₃, та різносторонній трикутник АВС, кожна сторона якого утворює з рівними сторонами даного шестикутника третину прямого кута. Довести, що трикутник О₁О₂О₃ – рівносторонній.

Доведення.  Виконаємо такі добудови. На кожній стороні різностороннього трикутника АВС, як на основах побудуємо різні рівносторонні трикутники АС₁В,  СВ₁А, ВА₁С. Точки О₁ , О₂ , О₃  - це центри рівносторонніх трикутників АС₁В,  СВ₁А, ВА₁С.

1. Розглянемо два  трикутники О₁ВО₂  та  АВА₁.  Для них справедливі такі рівності:

• із рівностороннього трикутника АС₁В:  О₁В:АВ = 3 ^-0,5 ;
• із  рівностороннього трикутника ВА₁С:  О₂В: ВА₁ = 3 ^-0,5 ;
• кути О₁ВО₂  та АВА₁  рівні  між собою, бо відповідно  дорівнюють сумі кутів 60⁰ та АВС.

Отже, у цих двох трикутників О₁ВО₂  та  АВА₁ відповідні сторони пропорційні  і кути між цими  сторонами рівні. За ознакою подібності маємо подібність трикутників О₁ВО₂  та  АВА₁. Із цією подібності слідує, що

О₁О₂ = 3 ^-0,5 ∙АА₁.                           (1)

2. Розглянемо два  трикутники О₂СО₃  та  А₁СА.  Для них справедливі такі рівності:

• із рівностороннього трикутника АСВ₁:  О₃В:АС = 3 ^-0,5 ;
• із  рівностороннього трикутника ВА₁С:  О₂С: СА₁ = 3 ^-0,5 ;
• кути О₃СО₂  та АСА₁  рівні  між собою, бо відповідно  дорівнюють сумі кутів 60⁰ та АСВ.

Отже, у цих двох трикутників О₁ВО₂  та  АВА₁ відповідні сторони пропорційні  і кути між цими  сторонами рівні. За ознакою подібності маємо подібність трикутників О₁ВО₂  та  АВА₁. Із цією подібності слідує, що

О₁О₂ = 3 ^-0,5 ∙АА₁.                           (2)

Із рівностей (1) та (2) маємо 

О₁О₂ = О₁О₂.             (*)

3. Аналогічно розглянувши трикутники О₂СО₃ та ВСВ₁, отримаємо, що ці трикутники подібні, а отже

виконується рівність:

О₂О₃ = 3 ^-0,5 ∙ВВ₁.                           (3)

4. Аналогічно розглянувши трикутники О₂АО₃ та ВАВ₁, отримаємо, що ці трикутники подібні, а отже

виконується рівність:

О₁О₃ = 3 ^-0,5 ∙ВВ₁.                           (4)

Із рівностей (3) та (4) маємо 

О₁О₃ = О₁О₃. (**)

Тепер із рівностей (*) та (**) маємо, трикутник О₁О₂О₃ – рівносторонній.

Твердження доведено.