Жемчужина алгебры. Задача о четырех кубах
(1. цитата харди)
Введение. С чего все началось. Мои встречи с математиком А.Н.Колмогоровым
В школьной библиотеке я брал чаще не фантастику, а популярные книги по математике и уяснил для себя следующее. Исторически сложилось так, что алгебре предшествовала арифметика. Если вначале люди учились считать количество вещей, деньги, километры и так далее, то потом появилась потребность однотипные вычисления сводить к общим формулам с буквенными параметрами. Обобщенные выражения заключали в себе уже серию арифметических вариантов, иногда даже бесконечную. Например, формула Пифагора для прямоугольного треугольника включает в себя три буквенных параметра. Задаваясь размерами двух катетов, всегда стало возможным вычислить гипотенузу. Или наоборот: зная гипотенузу, можно выявить великое множество различных катетов.
Будучи старшеклассником, я в 1967 году решил закрепить знания математики не при помощи репетитора, а путем посещения подготовительных курсов, проводимых в Политехническом музее, что на Новой площади в Москве. Готовился к поступлению в институт. Лекции читали очень хорошие учителя школ, ВУЗов и даже выдающиеся математики. Однажды очередную лекцию провел Андрей Николаевич Колмогоров.
(2. фото колмогорова)
Мне он не был знаком, и, честно говоря, впечатления не произвел. Излагал материал сумбурно, сбивчиво, дикция четко не отработана. Речь шла о методе аналогий, о системе понятий и системе решений, из которых я мало что понял. В конце занятия со мной произошел такой казус: я уронил карандаш и никак не мог найти его на полу. Как сквозь землю провалился. В результате все слушатели вышли из комнаты, а я все ищу, недоумевая, куда он мог закатиться. Андрей Николаевич (так он представился нам перед лекцией) поинтересовался, что я тут потерял. Я покраснел и ответил, что карандаш. После он спросил, понравился ли мне урок. Я совсем засмущался, еще больше покраснел, так как пришлось соврать. Он, конечно, все понял, и попросил разрешения полистать мой конспект. Тут нужно отметить мою привычку: писал лекции только на нечетных страницах, а оборотные стороны оставлял пустыми. Так мне советовала мама. Потому что иногда возникали вопросы, новые мысли, рассуждения по теме, а порой и вовсе из другой области. Для этого четные страницы оказывали важную услугу. Как раз эти страницы и привлекли внимание Андрея Николаевича. Там были записи моего наивного "доказательства" теоремы Ферма, попытки разработать способы построения магических квадратов, различные преобразования уравнения Эйлера с четырьмя кубами и многое другое. Последняя из названных проблем в то время меня больше всех интересовала. С какой-то книги я выписал решение.
Лектор, вдруг заулыбался, просветлел и неожиданно предложил пойти к нему домой со словами: где-то у меня есть нечто похожее: кажется, в письмах Линника. Я, естественно, ничего не понял, но любопытство взяло свое и согласился. Совершенно не помню, как и на чем добирались, но вот мы у него дома(подъезд корпуса "Л" здания Московского университета кв.10). В кабинете огромная библиотека, на столе кипа журналов и печатная машинка, на диване листы, листы и листы. Андрей Николаевич вытащил из ящика стола внушительную кипу писем. У меня глаза разгорелись, когда увидел на конвертах красочные марки с иностранными буквами. Про себя подумал: хорошо бы иметь их и собрать для коллекции эти перфорированные прямоугольнички! Наконец, он нашел нужный конверт протянул мне. Прочитал на нем: от Линника Юрия Владимировича. Вытащил длинное письмо на трех листах. И где-то в середине увидел действительно похожие выражения.
- Видишь, заметил лектор, - почти одно и то же, но степени побольше в два раза.
Я попросил разрешения переписать формулы в свою тетрадь, что с волнением и сделал. Благо, писал авторучкой с открытым пером (естественно, китайской), которую Андрей Николаевич мне любезно одолжил. Правда, позже (уже у себя дома) обнаружил, что допустил две опечатки в двух последних формулах и это мне стоило больших потуг, чтобы восстановить структуру выражений, при которых уравнение Эйлера строго соблюдалось.
На другой странице оказались еще две серии решений задачи о четырех кубах, но значительно более закрученные и непонятно как выведенные.
Их я списал более внимательно опечаток, к счастью, не сделал.
-Вот что, молодой человек, - уважительно сказал Андрей Николаевич, - проверьте правильность решений, попробуйте выяснить, являются ли формулы достаточными, чтобы выявить все четверки Эйлера, или же они покрывают только часть множества числовых вариантов. И еще: чем бы вам хотелось заниматься в сфере математики?
Я ответил, что пока не определился и пробую рассматривать несложные для понимания, но еще нерешенные проблемы. Например, проблему Гольдбаха. Еще пытаюсь выяснить: существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение.
Лектор лишь усмехнулся и пожелал успехов.
Только спустя некоторое время я узнал, что судьба свела меня с двумя великими математиками: Андреем Николаевичем Колмогоровым и Юрием Владимировичем Линником. Более того - они определили мое хобби на всю жизнь, так как серьезно увлекся задачей о четырех кубах. Вот уж сорок шесть лет она не дает мне покоя.
Вторая встреча с Колмогоровым произошла уже в студенческие годы. Волей судьбы я оказался на лекции в МГУ. Было это примерно в 1971 году. Колмогоров популярно рассказывал о результатах нововведения в школьных учебниках и о журнале "Квант". После лекции я осмелился к нему подойти. Надо сказать, что у Колмогорова была прекрасная память и он сразу меня узнал, даже вспомнил дату нашей первой беседы у него дома. Я ему признался, что сильно увлекся уравнением Эйлера и нашел несколько вариантов, похожих на квадратичные представления Рамануджана. К сожалению, черновики с собой у меня не было, и беседа наша ограничилась лишь общими фразами. Он предложил опять встретиться на днях у него дома, но обстоятельства не сложились и больше мы не виделись. Зато он часто мелькал на экране телевизора и публиковал статьи в средствах массовой информации. А совсем недавно увидел в интернете его замечательные слова:
(3. цитата колмогорова)
Это крылатое выражение и стало ориентиром моей дальнейшей научной деятельности. Формулы, о которых я говорил выше, будут главными героями данной книги.
Глава 1. Немного о математике А.Н.Колмогорове.
Если совсем коротко, то об этом гиганте можно написать так.
Величайший русский математик двадцатого века, создатель современной теории вероятностей, автор классических результатов в теории функций, в математической логике, топологии, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, в теории турбулентности, теории гамильтоновых систем. Созданные им школы в теории вероятностей, теории функций, функциональном анализе и теории гамильтоновых систем определили развитие этих направлений математики в ХХ столетии. В истории российской науки его имя стоит рядом с такими именами, как М.В. Ломоносов и Д.И. Менделеев - учёных, всей своей жизнью прославивших Россию.
Сам Андрей Николаевич вспоминал, что с теорией чисел столкнулся еще в дошкольном возрасте, когда неожиданно для себя самостоятельно открыл удивительное свойство нечетных чисел:
(4. сумма нечетных чисел)
В 1978 году он в содружестве с А.П.Юшкевичем написал фундаментальный популярный исторический труд "Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей". У меня всегда под рукой Большой энциклопедический словарь "Математика", изданный в 1988 году, введение к которому написал Андрей Николаевич Колмогоров.
Глава 2. Уравнение Эйлера. Решение Эйлера и Бине
В данной работе речь пойдет об уравнении в целых числах, которое предложил более двух веков назад Леонард Эйлер:
(5. уравнение эйлера)
(6.фото эйлера)
Леонард Эйлер (1707—1783 гг.) - математик, механик, физик и астроном, ученый необычайной широты интересов, автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки. По происхождению швейцарец.
В 1726 г. был приглашен работать в Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию, в 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской академии наук. В 1741—1766 гг. работал в Берлине, оставаясь почетным членом Петербургской Академии наук.
Он считал, что математика была и будет самой удивительной наукой, рожденной в головах многих выдающихся личностей. Она возникла и совершенствовалась в соответствии с нуждами практики, но оказалась настолько цельной и гармоничной, что сама явилась объектом тщательных исследований. Величайшие умы человечества, иногда по крупицам, а иногда и гейзером идей, открывали все новые и новые грани теории чисел, статистического анализа, изучения функций, дифференциального и интегрального исчислений, рядов, геометрии, тригонометрии, графов, топологии и т.д. и т.п. Основной целью математики чаще всего было нахождение области допустимых решений нужной задачи. Когда та или иная сложная проблема вдруг стопорилась, приходилось искать иные подходы, методы и даже создавать новые направления, которые позволяли преодолевать пробелы в математических знаниях. Так происходил прогресс науки о порядке...
Эти мысли гения математики актуальны и сегодня. Наиболее ярким примером сказанному служит, конечно же, Великая Теорема Ферма. Потребовалось целых 358 лет, чтобы ее безошибочно доказать!
Задача о четырех кубах тоже оказалась непростой. Но если в ВТФ требовалось доказать полное отсутствие решений, то в нашем случае, наоборот, нужно было найти систему выражений для x, y, z ,w которая давала бы все примитивные четверки Эйлера. Четверка Эйлера (x,y,z,w) называется примитивной, если она не может быть получена из какой-то другой четверки Эйлера, то есть x, y, z, w являются взаимно простыми числами.
Леонард Эйлер сам приложил немало усилий, чтобы найти формулы, генерирующие все примитивные четверки целых чисел
Проблема эта чисто алгебраическая и совсем непростая. Вспоминаю такой эпизод в моей жизни. Еще в школе прочитал решение Пифагора, при помощи которого можно находить все примитивные тройки чисел в задаче о трех квадратах:
Года через три мне понадобились эти формулы, но я их совершенно забыл, а учебников под рукой не оказалось. Оставалось только самому вывести знаменитые соотношения. И что же? Промучился два часа, но так и не удалось повторить подвиг Пифагора. И это с квадратами! С кубами же такая задача на порядок сложней. Даже Эйлеру оказалось по силам вывести лишь зависимости, дающие хотя бесконечную, но далеко не полную серию x, y, z ,w . Он предположил, что параметры имеют вид следующих полиномов:
(7. полиномы в общем виде)
где a и b - любые целые числа, а коэффициенты с индексами должны быть такими, чтобы удовлетворялось исходное уравнение с четырьмя кубами. Каким-то образом Эйлеру удалось установить, что:
(8. полиномы с коэффициентами)
Далее Эйлер упростил эти алгебраические связи таким образом, чтобы единственными целочисленными коэффициентами оказались тройка и единица. Окончательный вид выражений:
(9. решение эйлера)
Проверим эффективность работы данных формул. Простая программа на языке Yabasic :
open #1,"340.txt","r"
open #2,"EULER2.txt","w"
dim x(10)
n=8:n0=4:s1=0.00001
rem Считываем примитивные четверки Эйлера
for v=1 to 340
input #1 r,x0,y0,z0,w0
k=0
for a=-n to n
for b=-n to n
x(1)=abs(1-(a-3*b)*(a^2+3*b^2))
x(2)=abs(-1+(a+3*b)*(a^2+3*b^2))
x(3)=abs(-a-3*b+(a^2+3*b^2)^2)
x(4)=abs(-a+3*b+(a^2+3*b^2)^2)
rem Распределяем массив чисел по возрастанию
for j=1 to n0-1
for i=1 to n0-j
if x(i)>x(i+1) then
t=x(i):x(i)=x(i+1):x(i+1)=t
fi
next i
next j
x=x(1):y=x(2):z=x(3):w=x(4)
rem Исключаем тривиальные и нелинейные варианты
if abs(x)<>abs(y) then
if abs(x)<>abs(z) then
if abs(x)<>abs(w) then
if abs(y)<>abs(z) then
if abs(y)<>abs(w) then
if abs(z)<>abs(w) then
if abs(x/x0-y/y0) < s1 then
if abs(x/x0-z/z0) < s1 then
if abs(x/x0-w/w0) < s1 then
if k=0 then s=s+1: print s,x0,y0,z0,w0;
print " -> ";
print #2, s,x0,y0,z0,w0;:print #2, " -> ";
print a,b:print #2, a,b:k=1:fi
fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi
next b
next a
next v
позволила установить, что из 340 известных числовых решений задачи о четырех кубах система Эйлера выявляет всего 25 решений, то есть меньше 10%.
Результаты счета следующие:
(10. 25 решений из 340 эйлера)
Почти через сто лет такой же результат получил Бине.
(25. фото бине)
Жак Филлип Мари Бине — французский математик и астроном, родился в Ренне 2 февраля 1786 г., умер в Париже 12 мая 1856 г. Окончив Политехническую школу, он был назначен в ней профессором механики и впоследствии главным инспектором. В 1823 г. Бине занял кафедру астрономии в College de France после Деламбра. В 1843 г. он был избран членом Академии наук на место Лакруа. Бине принял участие в новом издании «Mecanique analytique» Лагранжа. Напечатал массу статей по механике, чистой и прикладной математике и астрономии. Бине одним из первых пришёл к идеям матричной алгебры и первым опубликовал в 1812 году правило умножения матриц. С его именем связана формула Бине для чисел Фибоначчи, хотя эту формулу столетием ранее получил Абрахам де Муавр. Независимо от Эйлера нашел частное решение задачи о четырех кубах (формулы Эйлера и Бине). Бине принадлежит также ряд важных теорем в механике вращающихся тел.
Глава 3. Решения Рамануджана
(17. фото рамануджана)
Фигура Рамануджана как математика тем более удивительна, что его формальное образование было весьма ограниченным. Он родился 22 декабря 1887 г. в небогатой семье касты браминов в местечке Эрод на юге Индии и вырос в городке Кумбаконаме, где его отец служил бухгалтером в небольшой текстильной лавке. Его математический талант был замечен очень рано, и в возрасте 7 лет он получил право на стипендию для учёбы в средней школе Кумбаконама. Он поражал одноклассников тем, что помнил наизусть сложные математические формулы и много знаков числа π. В 12 лет Рамануджан изучил обширный труд С. Л. Лоуни «Плоская тригонометрия», включая рассмотренные там суммы и произведения бесконечных последовательностей, которым суждено было занять важное место в его последующих работах. Через три года Рамануджан достал книгу «Сборник элементарных результатов чистой математики» (Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics), содержащий свыше 6000 теорем (большей частью без доказательств) и составленный преподавателем Кембриджского университета Дж. Ш. Карром. Две эти книги и стали основой математической подготовки Рамануджана. В 1903 г. Рамануджан был принят в местный колледж (входивший в состав Мадрасского университета. – Перев.). Однако поглощённый своими математическими изысканиями в ущерб всему остальному, он провалился на экзаменах; то же самое повторилось четыре года спустя в другом колледже в Мадрасе. После женитьбы в 1909 г. Рамануджан на время оставил своё увлечение и попробовал найти работу. К счастью, в 1910 г. по pекомендации многих сочувствующих Рамануджану индийских математиков на него обратил внимание богатый любитель и покровитель математики Р. Рамачандра Рао. Под впечатлением открытий, законспектированных Рамануджаном в его «Тетрадях», Рамачандра Рао предоставил ему ежемесячное пособие. В 1912 г., желая всё-таки иметь работу, Рамануджан устроился бухгалтером в Трест мадрасского порта, который возглавлял английский инженер Френсис Спринг. Вместе с основателем Индийского математического общества В. Рамасвами Айяром они уговорили Рамануджана сообщить свои результаты трём известным английским математикам. Двое из них, по-видимому, не отозвались. Третьим был Г. Г. Харди из Кембриджского университета, признанный теперь самым выдающимся английским математиком того времени. Харди, привыкший к письмам от всякого рода «умников», получив послание Рамануджана 16 января 1913 г., сначала был склонен его проигнорировать. Однако вечером того же дня он решил вместе с коллегой и близким другом Джоном И. Литлвудом поломать голову над списком из 120 формул и теорем, которые Рамануджан приложил к своему письму. Через несколько часов они «вынесли приговор» – перед ними работа не маньяка, а гения. (По составленной Харди позднее «шкале чистого таланта» для математиков Рамануджан получил 100 баллов, Литлвуд – 30, а себе Харди поставил 25. Немецкий математик Давид Гильберт, самая влиятельная фигура в математике того времени, заслужил только 80.) Этот эпизод и то, что за ним последовало, по словам Харди, было единственным романтическим событием его жизни. Он писал, что некоторые формулы Рамануджана его совершенно ошеломили, но тем не менее «они, несомненно, верны, ибо если бы они были неверны, ни у кого не хватило бы воображения их выдумать». Харди немедленно пригласил Рамануджана приехать в Кембридж. Но серьезные возражения со стороны матери и собственные колебания задержали его отъезд до марта 1914 г. В течение следующих пяти лет Харди и Рамануджан работали совместно в Тринити-Колледже Кембриджского университета. Сочетание блестящего мастерства Харди-аналитика и фантастической интуиции Рамануджана привело к необычайно плодотворному сотрудничеству. Они опубликовали серию основополагающих работ о свойствах различных теоретико-числовых функций, открывавших путь для ответа на вопросы типа: каково наиболее вероятное число простых делителей у данного целого числа? Сколькими способами можно выразить натуральное число в виде суммы меньших натуральных чисел? В 1917 г. Рамануджан стал действительным членом Лондонского королевского общества и профессором Кембриджского университета. Впервые индиец был удостоен того и другого звания. Слава его росла, однако здоровье резко ухудшилось. В военное время, когда в Великобритании остро ощущалась нехватка продовольствия, трудно было придерживаться вегетарианской диеты, которую он строго соблюдал. Рамануджан не раз попадал в больницу, но поток его новых результатов не иссякал. В 1919 г., когда война закончилась и путешествия за границу снова стали безопасными, он вернулся в Индию. Ставший кумиром молодых индийских интеллектуалов 32-летний Рамануджан умер 26 апреля 1920 г. http://ega-math.narod.ru/Rama/Rama3.h
Коснулся он и задачи о четырех кубах. Его решения, как всегда, изящны, хотя, как сам с сожалением констатировал, являются далеко не полными:
(18. формулы рамануджана)
В первой модели значения параметров a и b по абсолютной величине пришлось принимать больше 16 , число вариантов 39 из 340 .
Во второй модели соответственно 19 и 28
В третьей модели соответственно 12 и 39
Глава 4. Решение Харди и Райт
(26. фото харди)
Годфри Харолд Харди — английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе.
Родился 7 февраля 1877 в небольшом городке на юге Англии в семье учителей, оба родителя имели склонность к математике, хотя и преподавали другие предметы. Математические способности самого Харди начали проявляться еще в возрасте двух лет.
В 1896 году он поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета. Всего после двух лет учебы он занял четвертое место на конкурсе выпускников.
В 1900 году Харди становится сотрудником факультета, а с 1906 года становится лектором с нагрузкой в 6 часов в неделю, что давало много свободного времени для собственных исследований. В 1919 году он занял пост профессора математики в Оксфордском университете. В 1931 году Харди вернулся в Кембридж, где пробыл на посту профессора до 1942 года.
Одним из самых своих больших открытий сам Харди называл открытие индийского математика Рамануджана, с которым впоследствии написал много работ.
Начиная с 1911 года Харди очень плодотворно сотрудничает с Джоном Литлвудом. Большинство работ Харди написано именно в сооавторстве с Литлвудом. Ходила даже шутка, что в Англии живёт три великих математика — Харди, Литлвуд и Харди-Литлвуд, причем третий из них самый великий.
Умер 1 декабря 1947 в Кембридже.
(28. фото райт)
Сьюэл Райт (1889-1988), американский генетик, родился в штате Иллинойс (США).Его ранние экспериментальные работы посвящены проблемам в области физиологической генетики и генетики развития. Райт одним из первых обратил внимание на связь между генами и ферментами (белками) (Wright, 1917). Он не печатал свои работы в виде монографий до конца 60-х годов. Внес фундаментальный вклад в популяционную генетику. Генетический дрейф иногда называют эффектом Сьюэла Райта. Ввел ряд простых математических методов для описания факторов, влияющих на эволюционно-генетические процессы в популяции. Увлекался задачами из теории чисел. В современной психогенетике широко применяется метод анализа путей Райта.
Харди и Райт принадлежит такое интересное решение задачи о четырех кубах:
(27. формулы харди и райт)
Эти формулы равноценны и дают одинаковые частные решения. Значения параметров a и b по абсолютной величине пришлось принимать больше 4 , число вариантов 12 из 340 . То есть всего 3.5%.
(11. фото линника)
Юрий Владимирович Линник (26 декабря 1914 (8 января 1915) — 30 июня 1972) — советский математик в области теории вероятностей, математической статистики и теории чисел.
В области теории чисел дал элементарное решение проблемы Варинга, доказал, что каждое большое натуральное число есть сумма семи кубов натуральных чисел, установил, что почти для всех модулей верна гипотеза И. М. Виноградова о наименьшем квадратичном невычете; созданный Линником при этом метод большого решета нашел важные применения в аддитивной теории чисел.
В теории вероятностей и математической статистике Ю. В. Линнику принадлежат предельные теоремы для независимых случайных величин и неоднородных цепей Маркова, теория проверки сложных гипотез и теории оценивания, работы по теории метода наименьших квадратов (продолжил исследования А. А. Маркова и А. Н. Колмогорова, давших строгое обоснование и установление границ содержательной применимости метода наименьших квадратов).
(12. формулы линника)
(13. фото брауна)
David Rodney "Roger" Heath-Brown F.R.S. (born 12 October 1952), is a British mathematician working in the field of analytic number theory.
He was an undergraduate and graduate student of Trinity College, Cambridge; his research supervisor was Alan Baker. In 1979 he moved to the University of Oxford, where since 1999 he has held a professorship in pure mathematics.
Heath-Brown is known for many striking results. These include an approximate solution to Artin's conjecture on primitive roots, to the effect that out of 3, 5, 7 (or any three similar multiplicatively-independent square-free integers), one at least is a primitive root modulo p, for infinitely many prime numbers p. He also proved that there are infinitely many prime numbers of the form x3 + 2y3. In collaboration with S. J. Patterson in 1978 he proved the Kummer conjecture on cubic Gauss sums in its equidistribution form. He has applied Burgess's method on character sums to the ranks of elliptic curves in families. He proved that every non-singular cubic form over the rational numbers in at least ten variables represents 0. Heath-Brown also showed that Linnik's constant is less than or equal to 5.5.
http://en.wikipedia.org/wiki/Roger_Heat
(14. формулы брауна)
(15. фото морделла)
Луис Джоэл Морделл (англ. Louis Joel Mordell; 28 января 1888, Филадельфия, США — 12 марта 1972, Кембридж, Великобритания) — английский математик.
Автор трудов по алгебре, теории диофантовых уравнений, тригонометрическим рядам. Обосновал проблему для функциональных полей, названную его именем. Доказал формулы Эйнштейна в области теории квадратичных форм (1918).
Его имя связано с анализом диофантова уравнения
y2=x3+k ,
где k — целое число. Соответствующая ему эллиптическая кривая ныне называется кривой Морделла.
В 1922 году Л. Морделл связал множество решений диофантова алгебраического уравнения с геометрическим родом кривой, задаваемой этим уравнением. Он пришел к выводу, что если степень уравнения достаточно велика (больше двух), то размерность пространства решений выражается через род кривой, и потому эта размерность конечна. Для меньших степеней это может не так — уравнение Пифагора степени 2 имеет бесконечное семейство решений. Эта гипотеза была доказана лишь в 1983 году немецким математиком Фальтингсом.
Выдающихся успехов Л. Морделл добился и в геометрии. Например, в 1937 году он доказал неравенство Эрдёша — Морделла, утверждающее, что для всякой точки M внутри заданного треугольника сумма расстояний от нее до вершин не менее удвоенной суммы расстояний от точки до сторон треугольника, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний и точка M — его центр.
В 1956 году Л. Морделл нашел красивое частное решение задачи о четырех кубах.
Морделл — автор 270 публикаций. Основная его монография — «Диофантовы уравнения» (1969).
В 1971 году Морделл участвовал в теоретической конференции в Москве и затем был приглашен в Ленинград для чтения лекций.
(16. решения морделла)
(19. фото лемера)
Derrick Henry "Dick" Lehmer (February 23, 1905 – May 22, 1991) was an American mathematician who refined Édouard Lucas' work in the 1930s and devised the Lucas–Lehmer test for Mersenne primes. Lehmer's peripatetic career as a number theorist, with he and his wife taking numerous types of work in the United States and abroad to support themselves during the Great Depression, fortuitously brought him into the center of research into early electronic computing.
Lehmer was born in Berkeley, California, to Derrick Norman Lehmer, a professor of mathematics at the University of California, Berkeley, and Clara Eunice Mitchell.
He studied physics and earned a Bachelor degree from UC Berkeley, and continued with graduate studies at the University of Chicago.
He and his father worked together on Lehmer sieves.
During his studies at Berkeley, Lehmer met Emma Markovna Trotskaia, a Russian student of his father's, who had begun with work toward an engineering degree but had subsequently switched focus to mathematics, earning her B.A. in 1928. Later that same year, Lehmer married Emma and, following a tour of Northern California and a trip to Japan to meet Emma's family, they moved by car to Providence, Rhode Island, after Brown University offered him an instructorship.
Lehmer received a Master's degree and a Ph.D., both from Brown University, in 1929 and 1930, respectively; his wife obtained a Master's degree in 1930 as well, coaching mathematics to supplement the family income, while also helping her husband type his Ph.D. thesis, An Extended Theory of Lucas' Functions, which he wrote under Jacob Tamarkin.
Lehmer became a National Research Fellow, allowing him to take positions at the California Institute of Technology from 1930 to 1931 and at Stanford University from 1931 to 1932. In the latter year, the couple's first child Laura was born.
After being awarded a second National Research Fellowship, the Lehmers moved on to Princeton, New Jersey between 1932 and 1934, where Dick spent a short time at the Institute for Advanced Study.
He worked at Lehigh University in Pennsylvania from 1934 until 1938. Their son Donald was born in 1934 while Dick and Emma were at Lehigh.
The year 1938-1939 was spent in England on a Guggenheim Fellowship visiting both the University of Cambridge and the University of Manchester, meeting G. H. Hardy, John Edensor Littlewood, Harold Davenport, Kurt Mahler, Louis Mordell, and Paul Erdős. The Lehmers returned to America by ship with second child Donald just before the beginning of the Battle of the Atlantic.
Lehmer continued at Lehigh University for the 1939-1940 academic year.
In 1940, Lehmer accepted a position back at the mathematics department of UC Berkeley. At some point in his career there, he developed the Linear congruential generator (pseudorandom number generator), which is frequently referred to as a Lehmer random number generator. The Lehmers also assisted Harry Vandiver with his work on Fermat's Last Theorem, computing many Bernoulli numbers required.
Lehmer was chairman of the Department of Mathematics at University of California, Berkeley from 1954 until 1957. He continued working at UC Berkeley until 1972, the year he became professor emeritus.
From 1945-1946, Lehmer served on the Computations Committee at Aberdeen Proving Grounds in Maryland, a group established as part of the Ballistics Research Laboratory to prepare the ENIAC for utilization following its completion at the University of Pennsylvania's Moore School of Electrical Engineering; the other Computations Committee members were Haskell Curry, Leland Cunningham, and Franz Alt. It was during this short tenure that the Lehmers ran some of the first test programs on the ENIAC—according to their academic interests, these tests involved number theory, especially sieve methods, but also pseudorandom number generation. When they could arrange child care, the Lehmers spent weekends staying up all night running such problems, the first over the Thanksgiving weekend of 1945. (Such tests were run without cost, since the ENIAC would have been left powered on anyway in the interest of minimizing vacuum tube failures.) The problem run during the 3-day Independence Day weekend of July 4, 1946, with John Mauchly serving as computer operator, ran around the clock without interruption or failure. The following Tuesday, July 9, 1946, Lehmer delivered the talk "Computing Machines for Pure Mathematics" as part of the Moore School Lectures, in which he introduced computing as an experimental science, and demonstrated the wit and humor typical of his teaching lectures.
Lehmer would remain active in computing developments for the remainder of his career. Upon his return to Berkeley, he made plans for building the California Digital Computer (CALDIC) with Paul Morton and Leland Cunningham.
In 1950, Lehmer was one of 31 University of California faculty fired after refusing to sign a loyalty oath, a policy initiated by the Board of Regents of the State of California in 1950 during the Communist scare personified by Senator Joseph McCarthy. Lehmer took a post as Director of the National Bureau of Standards' Institute for Numerical Analysis (INA), working with the Standards Western Automatic Computer (SWAC). On October 17, 1952, the State Supreme Court proclaimed the oath unconstitutional, and Lehmer returned to Berkeley shortly thereafter.
Lehmer continued to be active for many years and would certainly qualify as a dotagy, Paul Erdos's term for someone active in their dotage. When John Selfridge was at Northern Illinois University he twice invited Lehmer and Emma to spend a semester there. One year Selfridge arranged that Erdos and Lehmer taught a course together on Research Problems in the Theory of Numbers. Lehmer taught the first eight weeks and then Erdos taught the remainder. Erdos didn't often teach a course, and he said "You know it wasn't that difficult. The only problem was being there."
Lehmer had quite a wit. On the occasion of the first Asilomar number theory conference, which became an annual event (now called West Coast Number Theory), Lehmer, as the organizer, was inspecting the facilities of the Asilomar Conference Grounds—basically a wooden building on the beach. Someone said they couldn't find a blackboard and Lehmer spotted some curtains in the middle of the wall. Moving the curtains aside revealed a very small blackboard, whereupon Lehmer said "Well, I guess we won't be doing any analytic number theory!"
In addition to his significant contributions to number theory algorithms for multiprecision integers, such as factoring, Euclid's algorithm, long division, and proof of primality, he also formulated Lehmer's conjecture and participated in the Cunningham project.
His father Derrick Norman Lehmer, known mainly as a pioneer in number theory computing, also made major contributions to combinatorial computing[citation needed], having devised algorithms for efficiently generating all the permutations on n elements.
D. H. Lehmer continued his father's interest in combinatorial computing and in fact wrote the article "Machine tools of Computation," which is chapter one in the book "Applied Combinatorial Mathematics," by Edwin Beckenbach, 1964. It describes methods for producing permutations, combinations etc. This was a uniquely valuable resource and has only been rivaled recently by Volume 4 of Donald Knuth's series.
Lehmer died in Berkeley on May 22, 1991.
http://en.wikipedia.org/wiki/Derrick_He
(20. формулы лемера)
(21. фото лабковского)
(22. формулы лабковского)
(29. решение из алгебраической геометрии)
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_cub
(30. решение неизвестного 1825)
Глава 10. Мои исследования и решения
(31. фото александрова)
Я поступил в институт в 1968 году. Лекции по математике читали совсем молодой Гаухман и Марк Иванович Сканави ( http://allformgsu.ru/news/mark_ivanovic
(31a. фото Сканави)
Но знал я его и раньше. Дело в том, что по телевидению открыли канал, в котором лучшие советские педагоги читали лекции для старшеклассников, абитуриентов и студентов по различным областям. Я в основном слушал физику и математику. Как дополнения к лекциям в Политехническом музее. Математику, как мне помнится, читал только Сканави. Язык его ясный и сочный, дикция великолепная, формулы на доске и чертежи делал блистательно. Ну, а в годы моего студенчества он живьем проводил в институте довольно регулярно коллоквиумы и конференции. Любой желающий мог на них выступать со своими задачами и решениями. Я выступил с задачей о четырех кубах. К тому времени уже нашел в литературе четыре варианта различных формул даже рассказал о своей попытке дать свой вариант. К сожалению, неудачный. Сканави быстро нашел ошибку в рассуждениях и предложил упростить подход. Он обратил внимание на первую модель Рамануджана и посоветовал внимательно к нему присмотреться и "поиграть" похожими схемами, но с иными числовыми коэффициентами. "Думаю, тут есть надежда развить алгебру" - таков был вердикт великого педагога и человека.
Кстати, В.А.Гаухман помогал Сканави в составлении задачника по математике http://math-portal.ru/izdatelstvo/1
Потом судьба распорядилась так, что Гаухман уехал в Израиль. В интернете я случайно обнаружил краткую стенограмму заседания кафедры высшей математики Московского инженерно-строительного института им.
Куйбышева от 26 октября 1971 г. ( http://hr2.memo.ru/wiki/3080 )
Повесткой дня является вопрос о выдаче характеристики в ОВИР сотруднику кафедры - доценту, кандидату физ.-мат. наук В.А.ГАУХМАНУ. Небольшие отрывки из выступлений коллег В.А.ГАУХМАНА не требуют комментариев:
"Сейчас он совершил антипатриотический антисоветский поступок, достойный самого сурового осуждения. Поступок, несовместимый с высоким званием преподавателя высшего учебного заведения" (зав. кафедрой, проф., доктор физ.-мат. наук С.Я.ХАВИНСОН).
"Главное в его платформе - национализм. Хорошо известно, что национализм ведет к фашизму и кончается газовыми камерами и крематориями" (В.В.ЗОРИН).
"Этот поступок перекликается с бандитскими выстрелами по детям в здании советского представительства при ООН" (Л.Я.ЦЛАФ).
И одна из присутствовавших на собрании: "Я считаю поступок В.А.ГАУХМАНА проявлением принципиальности, честности и гражданского мужества".
Ответ В.А.ГАУХМАНА: "Я - еврей, хочу жить среди моего народа в еврейском государстве и принять участие в созидательном труде на благо своей родины... Мое сердце и моя совесть говорят мне, что я должен жить и трудиться в Израиле, на своей исторической и национальной родине".
Решение заседания:
1. Гневно осудить поступок В.А.ГАУХМАНА как антипатриотический и антисоветский.
2. Уволить В.А.ГАУХМАНА с работы как идеологически чуждого человека и ходатайствовать о лишении его звания доцента и звания учителя.
3. Единогласно исключить из членов профсоюза.
Вот так в мои молодые времена политика грубо и бесчеловечно расправлялась с яркими талантами.
С Гаухманом я встречался не только на лекциях и практических занятиях. Так однажды случилось, что он увидел мой красивый почерк и попросил помочь написать формулы в рукописи его серьезной книги "О почти комплексных структурах на многообразии касательных векторов". В 1971 году сей труд вышел в свет (http://www.mathnet.ru/links/e1dd44d619
Но возвращаюсь к нашей задаче. Стал анализировать структуру Рамануджана. С этой целью составил программу на ЭВМ "Наири-2". Целую неделю допотопная машина крутила мою программу, но ничего, кроме рамануджановских коэффициентов так и не выдала. То есть ничего, кроме такого:
(31b. первая модель рамануджана)
Тогда мне пришла в голову мысль рассмотреть несколько иные модели. После месяца мучительных поисков пришла долгожданная удача. Я нашел еще три модели, в причем в каждой из них не одно, а несколько вариантов. Вот вторая модель:
(32. решение 2 александрова)
Здесь структура несколько иная, нежели у Рамануджана. Вот почему по его модели получаем единственное решение, а по второй моей модели вариантов много - это, прямо скажу, - загадка.
Третья модель тоже дала несколько решений. Привожу некоторые из них:
(33. решение 3 александрова)
И, наконец, четвертая модель тоже оказалась плодотворной:
(34. решение 4 александрова)
Но несмотря на обилие структур, они все же не охватывают полное множество четверок Эйлера.
(1. цитата харди)
Введение. С чего все началось. Мои встречи с математиком А.Н.Колмогоровым
В школьной библиотеке я брал чаще не фантастику, а популярные книги по математике и уяснил для себя следующее. Исторически сложилось так, что алгебре предшествовала арифметика. Если вначале люди учились считать количество вещей, деньги, километры и так далее, то потом появилась потребность однотипные вычисления сводить к общим формулам с буквенными параметрами. Обобщенные выражения заключали в себе уже серию арифметических вариантов, иногда даже бесконечную. Например, формула Пифагора для прямоугольного треугольника включает в себя три буквенных параметра. Задаваясь размерами двух катетов, всегда стало возможным вычислить гипотенузу. Или наоборот: зная гипотенузу, можно выявить великое множество различных катетов.
Будучи старшеклассником, я в 1967 году решил закрепить знания математики не при помощи репетитора, а путем посещения подготовительных курсов, проводимых в Политехническом музее, что на Новой площади в Москве. Готовился к поступлению в институт. Лекции читали очень хорошие учителя школ, ВУЗов и даже выдающиеся математики. Однажды очередную лекцию провел Андрей Николаевич Колмогоров.
(2. фото колмогорова)
Мне он не был знаком, и, честно говоря, впечатления не произвел. Излагал материал сумбурно, сбивчиво, дикция четко не отработана. Речь шла о методе аналогий, о системе понятий и системе решений, из которых я мало что понял. В конце занятия со мной произошел такой казус: я уронил карандаш и никак не мог найти его на полу. Как сквозь землю провалился. В результате все слушатели вышли из комнаты, а я все ищу, недоумевая, куда он мог закатиться. Андрей Николаевич (так он представился нам перед лекцией) поинтересовался, что я тут потерял. Я покраснел и ответил, что карандаш. После он спросил, понравился ли мне урок. Я совсем засмущался, еще больше покраснел, так как пришлось соврать. Он, конечно, все понял, и попросил разрешения полистать мой конспект. Тут нужно отметить мою привычку: писал лекции только на нечетных страницах, а оборотные стороны оставлял пустыми. Так мне советовала мама. Потому что иногда возникали вопросы, новые мысли, рассуждения по теме, а порой и вовсе из другой области. Для этого четные страницы оказывали важную услугу. Как раз эти страницы и привлекли внимание Андрея Николаевича. Там были записи моего наивного "доказательства" теоремы Ферма, попытки разработать способы построения магических квадратов, различные преобразования уравнения Эйлера с четырьмя кубами и многое другое. Последняя из названных проблем в то время меня больше всех интересовала. С какой-то книги я выписал решение.
Лектор, вдруг заулыбался, просветлел и неожиданно предложил пойти к нему домой со словами: где-то у меня есть нечто похожее: кажется, в письмах Линника. Я, естественно, ничего не понял, но любопытство взяло свое и согласился. Совершенно не помню, как и на чем добирались, но вот мы у него дома(подъезд корпуса "Л" здания Московского университета кв.10). В кабинете огромная библиотека, на столе кипа журналов и печатная машинка, на диване листы, листы и листы. Андрей Николаевич вытащил из ящика стола внушительную кипу писем. У меня глаза разгорелись, когда увидел на конвертах красочные марки с иностранными буквами. Про себя подумал: хорошо бы иметь их и собрать для коллекции эти перфорированные прямоугольнички! Наконец, он нашел нужный конверт протянул мне. Прочитал на нем: от Линника Юрия Владимировича. Вытащил длинное письмо на трех листах. И где-то в середине увидел действительно похожие выражения.
- Видишь, заметил лектор, - почти одно и то же, но степени побольше в два раза.
Я попросил разрешения переписать формулы в свою тетрадь, что с волнением и сделал. Благо, писал авторучкой с открытым пером (естественно, китайской), которую Андрей Николаевич мне любезно одолжил. Правда, позже (уже у себя дома) обнаружил, что допустил две опечатки в двух последних формулах и это мне стоило больших потуг, чтобы восстановить структуру выражений, при которых уравнение Эйлера строго соблюдалось.
На другой странице оказались еще две серии решений задачи о четырех кубах, но значительно более закрученные и непонятно как выведенные.
Их я списал более внимательно опечаток, к счастью, не сделал.
-Вот что, молодой человек, - уважительно сказал Андрей Николаевич, - проверьте правильность решений, попробуйте выяснить, являются ли формулы достаточными, чтобы выявить все четверки Эйлера, или же они покрывают только часть множества числовых вариантов. И еще: чем бы вам хотелось заниматься в сфере математики?
Я ответил, что пока не определился и пробую рассматривать несложные для понимания, но еще нерешенные проблемы. Например, проблему Гольдбаха. Еще пытаюсь выяснить: существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение.
Лектор лишь усмехнулся и пожелал успехов.
Только спустя некоторое время я узнал, что судьба свела меня с двумя великими математиками: Андреем Николаевичем Колмогоровым и Юрием Владимировичем Линником. Более того - они определили мое хобби на всю жизнь, так как серьезно увлекся задачей о четырех кубах. Вот уж сорок шесть лет она не дает мне покоя.
Вторая встреча с Колмогоровым произошла уже в студенческие годы. Волей судьбы я оказался на лекции в МГУ. Было это примерно в 1971 году. Колмогоров популярно рассказывал о результатах нововведения в школьных учебниках и о журнале "Квант". После лекции я осмелился к нему подойти. Надо сказать, что у Колмогорова была прекрасная память и он сразу меня узнал, даже вспомнил дату нашей первой беседы у него дома. Я ему признался, что сильно увлекся уравнением Эйлера и нашел несколько вариантов, похожих на квадратичные представления Рамануджана. К сожалению, черновики с собой у меня не было, и беседа наша ограничилась лишь общими фразами. Он предложил опять встретиться на днях у него дома, но обстоятельства не сложились и больше мы не виделись. Зато он часто мелькал на экране телевизора и публиковал статьи в средствах массовой информации. А совсем недавно увидел в интернете его замечательные слова:
(3. цитата колмогорова)
Это крылатое выражение и стало ориентиром моей дальнейшей научной деятельности. Формулы, о которых я говорил выше, будут главными героями данной книги.
Глава 1. Немного о математике А.Н.Колмогорове.
Если совсем коротко, то об этом гиганте можно написать так.
Величайший русский математик двадцатого века, создатель современной теории вероятностей, автор классических результатов в теории функций, в математической логике, топологии, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, в теории турбулентности, теории гамильтоновых систем. Созданные им школы в теории вероятностей, теории функций, функциональном анализе и теории гамильтоновых систем определили развитие этих направлений математики в ХХ столетии. В истории российской науки его имя стоит рядом с такими именами, как М.В. Ломоносов и Д.И. Менделеев - учёных, всей своей жизнью прославивших Россию.
Сам Андрей Николаевич вспоминал, что с теорией чисел столкнулся еще в дошкольном возрасте, когда неожиданно для себя самостоятельно открыл удивительное свойство нечетных чисел:
(4. сумма нечетных чисел)
В 1978 году он в содружестве с А.П.Юшкевичем написал фундаментальный популярный исторический труд "Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей". У меня всегда под рукой Большой энциклопедический словарь "Математика", изданный в 1988 году, введение к которому написал Андрей Николаевич Колмогоров.
Глава 2. Уравнение Эйлера. Решение Эйлера и Бине
В данной работе речь пойдет об уравнении в целых числах, которое предложил более двух веков назад Леонард Эйлер:
(5. уравнение эйлера)
(6.фото эйлера)
Леонард Эйлер (1707—1783 гг.) - математик, механик, физик и астроном, ученый необычайной широты интересов, автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки. По происхождению швейцарец.
В 1726 г. был приглашен работать в Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию, в 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской академии наук. В 1741—1766 гг. работал в Берлине, оставаясь почетным членом Петербургской Академии наук.
Он считал, что математика была и будет самой удивительной наукой, рожденной в головах многих выдающихся личностей. Она возникла и совершенствовалась в соответствии с нуждами практики, но оказалась настолько цельной и гармоничной, что сама явилась объектом тщательных исследований. Величайшие умы человечества, иногда по крупицам, а иногда и гейзером идей, открывали все новые и новые грани теории чисел, статистического анализа, изучения функций, дифференциального и интегрального исчислений, рядов, геометрии, тригонометрии, графов, топологии и т.д. и т.п. Основной целью математики чаще всего было нахождение области допустимых решений нужной задачи. Когда та или иная сложная проблема вдруг стопорилась, приходилось искать иные подходы, методы и даже создавать новые направления, которые позволяли преодолевать пробелы в математических знаниях. Так происходил прогресс науки о порядке...
Эти мысли гения математики актуальны и сегодня. Наиболее ярким примером сказанному служит, конечно же, Великая Теорема Ферма. Потребовалось целых 358 лет, чтобы ее безошибочно доказать!
Задача о четырех кубах тоже оказалась непростой. Но если в ВТФ требовалось доказать полное отсутствие решений, то в нашем случае, наоборот, нужно было найти систему выражений для x, y, z ,w которая давала бы все примитивные четверки Эйлера. Четверка Эйлера (x,y,z,w) называется примитивной, если она не может быть получена из какой-то другой четверки Эйлера, то есть x, y, z, w являются взаимно простыми числами.
Леонард Эйлер сам приложил немало усилий, чтобы найти формулы, генерирующие все примитивные четверки целых чисел
Проблема эта чисто алгебраическая и совсем непростая. Вспоминаю такой эпизод в моей жизни. Еще в школе прочитал решение Пифагора, при помощи которого можно находить все примитивные тройки чисел в задаче о трех квадратах:
Года через три мне понадобились эти формулы, но я их совершенно забыл, а учебников под рукой не оказалось. Оставалось только самому вывести знаменитые соотношения. И что же? Промучился два часа, но так и не удалось повторить подвиг Пифагора. И это с квадратами! С кубами же такая задача на порядок сложней. Даже Эйлеру оказалось по силам вывести лишь зависимости, дающие хотя бесконечную, но далеко не полную серию x, y, z ,w . Он предположил, что параметры имеют вид следующих полиномов:
(7. полиномы в общем виде)
где a и b - любые целые числа, а коэффициенты с индексами должны быть такими, чтобы удовлетворялось исходное уравнение с четырьмя кубами. Каким-то образом Эйлеру удалось установить, что:
(8. полиномы с коэффициентами)
Далее Эйлер упростил эти алгебраические связи таким образом, чтобы единственными целочисленными коэффициентами оказались тройка и единица. Окончательный вид выражений:
(9. решение эйлера)
Проверим эффективность работы данных формул. Простая программа на языке Yabasic :
open #1,"340.txt","r"
open #2,"EULER2.txt","w"
dim x(10)
n=8:n0=4:s1=0.00001
rem Считываем примитивные четверки Эйлера
for v=1 to 340
input #1 r,x0,y0,z0,w0
k=0
for a=-n to n
for b=-n to n
x(1)=abs(1-(a-3*b)*(a^2+3*b^2))
x(2)=abs(-1+(a+3*b)*(a^2+3*b^2))
x(3)=abs(-a-3*b+(a^2+3*b^2)^2)
x(4)=abs(-a+3*b+(a^2+3*b^2)^2)
rem Распределяем массив чисел по возрастанию
for j=1 to n0-1
for i=1 to n0-j
if x(i)>x(i+1) then
t=x(i):x(i)=x(i+1):x(i+1)=t
fi
next i
next j
x=x(1):y=x(2):z=x(3):w=x(4)
rem Исключаем тривиальные и нелинейные варианты
if abs(x)<>abs(y) then
if abs(x)<>abs(z) then
if abs(x)<>abs(w) then
if abs(y)<>abs(z) then
if abs(y)<>abs(w) then
if abs(z)<>abs(w) then
if abs(x/x0-y/y0) < s1 then
if abs(x/x0-z/z0) < s1 then
if abs(x/x0-w/w0) < s1 then
if k=0 then s=s+1: print s,x0,y0,z0,w0;
print " -> ";
print #2, s,x0,y0,z0,w0;:print #2, " -> ";
print a,b:print #2, a,b:k=1:fi
fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi:fi
next b
next a
next v
позволила установить, что из 340 известных числовых решений задачи о четырех кубах система Эйлера выявляет всего 25 решений, то есть меньше 10%.
Результаты счета следующие:
(10. 25 решений из 340 эйлера)
Почти через сто лет такой же результат получил Бине.
(25. фото бине)
Жак Филлип Мари Бине — французский математик и астроном, родился в Ренне 2 февраля 1786 г., умер в Париже 12 мая 1856 г. Окончив Политехническую школу, он был назначен в ней профессором механики и впоследствии главным инспектором. В 1823 г. Бине занял кафедру астрономии в College de France после Деламбра. В 1843 г. он был избран членом Академии наук на место Лакруа. Бине принял участие в новом издании «Mecanique analytique» Лагранжа. Напечатал массу статей по механике, чистой и прикладной математике и астрономии. Бине одним из первых пришёл к идеям матричной алгебры и первым опубликовал в 1812 году правило умножения матриц. С его именем связана формула Бине для чисел Фибоначчи, хотя эту формулу столетием ранее получил Абрахам де Муавр. Независимо от Эйлера нашел частное решение задачи о четырех кубах (формулы Эйлера и Бине). Бине принадлежит также ряд важных теорем в механике вращающихся тел.
Глава 3. Решения Рамануджана
(17. фото рамануджана)
Фигура Рамануджана как математика тем более удивительна, что его формальное образование было весьма ограниченным. Он родился 22 декабря 1887 г. в небогатой семье касты браминов в местечке Эрод на юге Индии и вырос в городке Кумбаконаме, где его отец служил бухгалтером в небольшой текстильной лавке. Его математический талант был замечен очень рано, и в возрасте 7 лет он получил право на стипендию для учёбы в средней школе Кумбаконама. Он поражал одноклассников тем, что помнил наизусть сложные математические формулы и много знаков числа π. В 12 лет Рамануджан изучил обширный труд С. Л. Лоуни «Плоская тригонометрия», включая рассмотренные там суммы и произведения бесконечных последовательностей, которым суждено было занять важное место в его последующих работах. Через три года Рамануджан достал книгу «Сборник элементарных результатов чистой математики» (Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics), содержащий свыше 6000 теорем (большей частью без доказательств) и составленный преподавателем Кембриджского университета Дж. Ш. Карром. Две эти книги и стали основой математической подготовки Рамануджана. В 1903 г. Рамануджан был принят в местный колледж (входивший в состав Мадрасского университета. – Перев.). Однако поглощённый своими математическими изысканиями в ущерб всему остальному, он провалился на экзаменах; то же самое повторилось четыре года спустя в другом колледже в Мадрасе. После женитьбы в 1909 г. Рамануджан на время оставил своё увлечение и попробовал найти работу. К счастью, в 1910 г. по pекомендации многих сочувствующих Рамануджану индийских математиков на него обратил внимание богатый любитель и покровитель математики Р. Рамачандра Рао. Под впечатлением открытий, законспектированных Рамануджаном в его «Тетрадях», Рамачандра Рао предоставил ему ежемесячное пособие. В 1912 г., желая всё-таки иметь работу, Рамануджан устроился бухгалтером в Трест мадрасского порта, который возглавлял английский инженер Френсис Спринг. Вместе с основателем Индийского математического общества В. Рамасвами Айяром они уговорили Рамануджана сообщить свои результаты трём известным английским математикам. Двое из них, по-видимому, не отозвались. Третьим был Г. Г. Харди из Кембриджского университета, признанный теперь самым выдающимся английским математиком того времени. Харди, привыкший к письмам от всякого рода «умников», получив послание Рамануджана 16 января 1913 г., сначала был склонен его проигнорировать. Однако вечером того же дня он решил вместе с коллегой и близким другом Джоном И. Литлвудом поломать голову над списком из 120 формул и теорем, которые Рамануджан приложил к своему письму. Через несколько часов они «вынесли приговор» – перед ними работа не маньяка, а гения. (По составленной Харди позднее «шкале чистого таланта» для математиков Рамануджан получил 100 баллов, Литлвуд – 30, а себе Харди поставил 25. Немецкий математик Давид Гильберт, самая влиятельная фигура в математике того времени, заслужил только 80.) Этот эпизод и то, что за ним последовало, по словам Харди, было единственным романтическим событием его жизни. Он писал, что некоторые формулы Рамануджана его совершенно ошеломили, но тем не менее «они, несомненно, верны, ибо если бы они были неверны, ни у кого не хватило бы воображения их выдумать». Харди немедленно пригласил Рамануджана приехать в Кембридж. Но серьезные возражения со стороны матери и собственные колебания задержали его отъезд до марта 1914 г. В течение следующих пяти лет Харди и Рамануджан работали совместно в Тринити-Колледже Кембриджского университета. Сочетание блестящего мастерства Харди-аналитика и фантастической интуиции Рамануджана привело к необычайно плодотворному сотрудничеству. Они опубликовали серию основополагающих работ о свойствах различных теоретико-числовых функций, открывавших путь для ответа на вопросы типа: каково наиболее вероятное число простых делителей у данного целого числа? Сколькими способами можно выразить натуральное число в виде суммы меньших натуральных чисел? В 1917 г. Рамануджан стал действительным членом Лондонского королевского общества и профессором Кембриджского университета. Впервые индиец был удостоен того и другого звания. Слава его росла, однако здоровье резко ухудшилось. В военное время, когда в Великобритании остро ощущалась нехватка продовольствия, трудно было придерживаться вегетарианской диеты, которую он строго соблюдал. Рамануджан не раз попадал в больницу, но поток его новых результатов не иссякал. В 1919 г., когда война закончилась и путешествия за границу снова стали безопасными, он вернулся в Индию. Ставший кумиром молодых индийских интеллектуалов 32-летний Рамануджан умер 26 апреля 1920 г. http://ega-math.narod.ru/Rama/Rama3.h
Коснулся он и задачи о четырех кубах. Его решения, как всегда, изящны, хотя, как сам с сожалением констатировал, являются далеко не полными:
(18. формулы рамануджана)
В первой модели значения параметров a и b по абсолютной величине пришлось принимать больше 16 , число вариантов 39 из 340 .
Во второй модели соответственно 19 и 28
В третьей модели соответственно 12 и 39
Глава 4. Решение Харди и Райт
(26. фото харди)
Годфри Харолд Харди — английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе.
Родился 7 февраля 1877 в небольшом городке на юге Англии в семье учителей, оба родителя имели склонность к математике, хотя и преподавали другие предметы. Математические способности самого Харди начали проявляться еще в возрасте двух лет.
В 1896 году он поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета. Всего после двух лет учебы он занял четвертое место на конкурсе выпускников.
В 1900 году Харди становится сотрудником факультета, а с 1906 года становится лектором с нагрузкой в 6 часов в неделю, что давало много свободного времени для собственных исследований. В 1919 году он занял пост профессора математики в Оксфордском университете. В 1931 году Харди вернулся в Кембридж, где пробыл на посту профессора до 1942 года.
Одним из самых своих больших открытий сам Харди называл открытие индийского математика Рамануджана, с которым впоследствии написал много работ.
Начиная с 1911 года Харди очень плодотворно сотрудничает с Джоном Литлвудом. Большинство работ Харди написано именно в сооавторстве с Литлвудом. Ходила даже шутка, что в Англии живёт три великих математика — Харди, Литлвуд и Харди-Литлвуд, причем третий из них самый великий.
Умер 1 декабря 1947 в Кембридже.
(28. фото райт)
Сьюэл Райт (1889-1988), американский генетик, родился в штате Иллинойс (США).Его ранние экспериментальные работы посвящены проблемам в области физиологической генетики и генетики развития. Райт одним из первых обратил внимание на связь между генами и ферментами (белками) (Wright, 1917). Он не печатал свои работы в виде монографий до конца 60-х годов. Внес фундаментальный вклад в популяционную генетику. Генетический дрейф иногда называют эффектом Сьюэла Райта. Ввел ряд простых математических методов для описания факторов, влияющих на эволюционно-генетические процессы в популяции. Увлекался задачами из теории чисел. В современной психогенетике широко применяется метод анализа путей Райта.
Харди и Райт принадлежит такое интересное решение задачи о четырех кубах:
(27. формулы харди и райт)
Эти формулы равноценны и дают одинаковые частные решения. Значения параметров a и b по абсолютной величине пришлось принимать больше 4 , число вариантов 12 из 340 . То есть всего 3.5%.
(11. фото линника)
Юрий Владимирович Линник (26 декабря 1914 (8 января 1915) — 30 июня 1972) — советский математик в области теории вероятностей, математической статистики и теории чисел.
В области теории чисел дал элементарное решение проблемы Варинга, доказал, что каждое большое натуральное число есть сумма семи кубов натуральных чисел, установил, что почти для всех модулей верна гипотеза И. М. Виноградова о наименьшем квадратичном невычете; созданный Линником при этом метод большого решета нашел важные применения в аддитивной теории чисел.
В теории вероятностей и математической статистике Ю. В. Линнику принадлежат предельные теоремы для независимых случайных величин и неоднородных цепей Маркова, теория проверки сложных гипотез и теории оценивания, работы по теории метода наименьших квадратов (продолжил исследования А. А. Маркова и А. Н. Колмогорова, давших строгое обоснование и установление границ содержательной применимости метода наименьших квадратов).
(12. формулы линника)
(13. фото брауна)
David Rodney "Roger" Heath-Brown F.R.S. (born 12 October 1952), is a British mathematician working in the field of analytic number theory.
He was an undergraduate and graduate student of Trinity College, Cambridge; his research supervisor was Alan Baker. In 1979 he moved to the University of Oxford, where since 1999 he has held a professorship in pure mathematics.
Heath-Brown is known for many striking results. These include an approximate solution to Artin's conjecture on primitive roots, to the effect that out of 3, 5, 7 (or any three similar multiplicatively-independent square-free integers), one at least is a primitive root modulo p, for infinitely many prime numbers p. He also proved that there are infinitely many prime numbers of the form x3 + 2y3. In collaboration with S. J. Patterson in 1978 he proved the Kummer conjecture on cubic Gauss sums in its equidistribution form. He has applied Burgess's method on character sums to the ranks of elliptic curves in families. He proved that every non-singular cubic form over the rational numbers in at least ten variables represents 0. Heath-Brown also showed that Linnik's constant is less than or equal to 5.5.
http://en.wikipedia.org/wiki/Roger_Heat
(14. формулы брауна)
(15. фото морделла)
Луис Джоэл Морделл (англ. Louis Joel Mordell; 28 января 1888, Филадельфия, США — 12 марта 1972, Кембридж, Великобритания) — английский математик.
Автор трудов по алгебре, теории диофантовых уравнений, тригонометрическим рядам. Обосновал проблему для функциональных полей, названную его именем. Доказал формулы Эйнштейна в области теории квадратичных форм (1918).
Его имя связано с анализом диофантова уравнения
y2=x3+k ,
где k — целое число. Соответствующая ему эллиптическая кривая ныне называется кривой Морделла.
В 1922 году Л. Морделл связал множество решений диофантова алгебраического уравнения с геометрическим родом кривой, задаваемой этим уравнением. Он пришел к выводу, что если степень уравнения достаточно велика (больше двух), то размерность пространства решений выражается через род кривой, и потому эта размерность конечна. Для меньших степеней это может не так — уравнение Пифагора степени 2 имеет бесконечное семейство решений. Эта гипотеза была доказана лишь в 1983 году немецким математиком Фальтингсом.
Выдающихся успехов Л. Морделл добился и в геометрии. Например, в 1937 году он доказал неравенство Эрдёша — Морделла, утверждающее, что для всякой точки M внутри заданного треугольника сумма расстояний от нее до вершин не менее удвоенной суммы расстояний от точки до сторон треугольника, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний и точка M — его центр.
В 1956 году Л. Морделл нашел красивое частное решение задачи о четырех кубах.
Морделл — автор 270 публикаций. Основная его монография — «Диофантовы уравнения» (1969).
В 1971 году Морделл участвовал в теоретической конференции в Москве и затем был приглашен в Ленинград для чтения лекций.
(16. решения морделла)
(19. фото лемера)
Derrick Henry "Dick" Lehmer (February 23, 1905 – May 22, 1991) was an American mathematician who refined Édouard Lucas' work in the 1930s and devised the Lucas–Lehmer test for Mersenne primes. Lehmer's peripatetic career as a number theorist, with he and his wife taking numerous types of work in the United States and abroad to support themselves during the Great Depression, fortuitously brought him into the center of research into early electronic computing.
Lehmer was born in Berkeley, California, to Derrick Norman Lehmer, a professor of mathematics at the University of California, Berkeley, and Clara Eunice Mitchell.
He studied physics and earned a Bachelor degree from UC Berkeley, and continued with graduate studies at the University of Chicago.
He and his father worked together on Lehmer sieves.
During his studies at Berkeley, Lehmer met Emma Markovna Trotskaia, a Russian student of his father's, who had begun with work toward an engineering degree but had subsequently switched focus to mathematics, earning her B.A. in 1928. Later that same year, Lehmer married Emma and, following a tour of Northern California and a trip to Japan to meet Emma's family, they moved by car to Providence, Rhode Island, after Brown University offered him an instructorship.
Lehmer received a Master's degree and a Ph.D., both from Brown University, in 1929 and 1930, respectively; his wife obtained a Master's degree in 1930 as well, coaching mathematics to supplement the family income, while also helping her husband type his Ph.D. thesis, An Extended Theory of Lucas' Functions, which he wrote under Jacob Tamarkin.
Lehmer became a National Research Fellow, allowing him to take positions at the California Institute of Technology from 1930 to 1931 and at Stanford University from 1931 to 1932. In the latter year, the couple's first child Laura was born.
After being awarded a second National Research Fellowship, the Lehmers moved on to Princeton, New Jersey between 1932 and 1934, where Dick spent a short time at the Institute for Advanced Study.
He worked at Lehigh University in Pennsylvania from 1934 until 1938. Their son Donald was born in 1934 while Dick and Emma were at Lehigh.
The year 1938-1939 was spent in England on a Guggenheim Fellowship visiting both the University of Cambridge and the University of Manchester, meeting G. H. Hardy, John Edensor Littlewood, Harold Davenport, Kurt Mahler, Louis Mordell, and Paul Erdős. The Lehmers returned to America by ship with second child Donald just before the beginning of the Battle of the Atlantic.
Lehmer continued at Lehigh University for the 1939-1940 academic year.
In 1940, Lehmer accepted a position back at the mathematics department of UC Berkeley. At some point in his career there, he developed the Linear congruential generator (pseudorandom number generator), which is frequently referred to as a Lehmer random number generator. The Lehmers also assisted Harry Vandiver with his work on Fermat's Last Theorem, computing many Bernoulli numbers required.
Lehmer was chairman of the Department of Mathematics at University of California, Berkeley from 1954 until 1957. He continued working at UC Berkeley until 1972, the year he became professor emeritus.
From 1945-1946, Lehmer served on the Computations Committee at Aberdeen Proving Grounds in Maryland, a group established as part of the Ballistics Research Laboratory to prepare the ENIAC for utilization following its completion at the University of Pennsylvania's Moore School of Electrical Engineering; the other Computations Committee members were Haskell Curry, Leland Cunningham, and Franz Alt. It was during this short tenure that the Lehmers ran some of the first test programs on the ENIAC—according to their academic interests, these tests involved number theory, especially sieve methods, but also pseudorandom number generation. When they could arrange child care, the Lehmers spent weekends staying up all night running such problems, the first over the Thanksgiving weekend of 1945. (Such tests were run without cost, since the ENIAC would have been left powered on anyway in the interest of minimizing vacuum tube failures.) The problem run during the 3-day Independence Day weekend of July 4, 1946, with John Mauchly serving as computer operator, ran around the clock without interruption or failure. The following Tuesday, July 9, 1946, Lehmer delivered the talk "Computing Machines for Pure Mathematics" as part of the Moore School Lectures, in which he introduced computing as an experimental science, and demonstrated the wit and humor typical of his teaching lectures.
Lehmer would remain active in computing developments for the remainder of his career. Upon his return to Berkeley, he made plans for building the California Digital Computer (CALDIC) with Paul Morton and Leland Cunningham.
In 1950, Lehmer was one of 31 University of California faculty fired after refusing to sign a loyalty oath, a policy initiated by the Board of Regents of the State of California in 1950 during the Communist scare personified by Senator Joseph McCarthy. Lehmer took a post as Director of the National Bureau of Standards' Institute for Numerical Analysis (INA), working with the Standards Western Automatic Computer (SWAC). On October 17, 1952, the State Supreme Court proclaimed the oath unconstitutional, and Lehmer returned to Berkeley shortly thereafter.
Lehmer continued to be active for many years and would certainly qualify as a dotagy, Paul Erdos's term for someone active in their dotage. When John Selfridge was at Northern Illinois University he twice invited Lehmer and Emma to spend a semester there. One year Selfridge arranged that Erdos and Lehmer taught a course together on Research Problems in the Theory of Numbers. Lehmer taught the first eight weeks and then Erdos taught the remainder. Erdos didn't often teach a course, and he said "You know it wasn't that difficult. The only problem was being there."
Lehmer had quite a wit. On the occasion of the first Asilomar number theory conference, which became an annual event (now called West Coast Number Theory), Lehmer, as the organizer, was inspecting the facilities of the Asilomar Conference Grounds—basically a wooden building on the beach. Someone said they couldn't find a blackboard and Lehmer spotted some curtains in the middle of the wall. Moving the curtains aside revealed a very small blackboard, whereupon Lehmer said "Well, I guess we won't be doing any analytic number theory!"
In addition to his significant contributions to number theory algorithms for multiprecision integers, such as factoring, Euclid's algorithm, long division, and proof of primality, he also formulated Lehmer's conjecture and participated in the Cunningham project.
His father Derrick Norman Lehmer, known mainly as a pioneer in number theory computing, also made major contributions to combinatorial computing[citation needed], having devised algorithms for efficiently generating all the permutations on n elements.
D. H. Lehmer continued his father's interest in combinatorial computing and in fact wrote the article "Machine tools of Computation," which is chapter one in the book "Applied Combinatorial Mathematics," by Edwin Beckenbach, 1964. It describes methods for producing permutations, combinations etc. This was a uniquely valuable resource and has only been rivaled recently by Volume 4 of Donald Knuth's series.
Lehmer died in Berkeley on May 22, 1991.
http://en.wikipedia.org/wiki/Derrick_He
(20. формулы лемера)
(21. фото лабковского)
(22. формулы лабковского)
(29. решение из алгебраической геометрии)
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_cub
(30. решение неизвестного 1825)
Глава 10. Мои исследования и решения
(31. фото александрова)
Я поступил в институт в 1968 году. Лекции по математике читали совсем молодой Гаухман и Марк Иванович Сканави ( http://allformgsu.ru/news/mark_ivanovic
(31a. фото Сканави)
Но знал я его и раньше. Дело в том, что по телевидению открыли канал, в котором лучшие советские педагоги читали лекции для старшеклассников, абитуриентов и студентов по различным областям. Я в основном слушал физику и математику. Как дополнения к лекциям в Политехническом музее. Математику, как мне помнится, читал только Сканави. Язык его ясный и сочный, дикция великолепная, формулы на доске и чертежи делал блистательно. Ну, а в годы моего студенчества он живьем проводил в институте довольно регулярно коллоквиумы и конференции. Любой желающий мог на них выступать со своими задачами и решениями. Я выступил с задачей о четырех кубах. К тому времени уже нашел в литературе четыре варианта различных формул даже рассказал о своей попытке дать свой вариант. К сожалению, неудачный. Сканави быстро нашел ошибку в рассуждениях и предложил упростить подход. Он обратил внимание на первую модель Рамануджана и посоветовал внимательно к нему присмотреться и "поиграть" похожими схемами, но с иными числовыми коэффициентами. "Думаю, тут есть надежда развить алгебру" - таков был вердикт великого педагога и человека.
Кстати, В.А.Гаухман помогал Сканави в составлении задачника по математике http://math-portal.ru/izdatelstvo/1
Потом судьба распорядилась так, что Гаухман уехал в Израиль. В интернете я случайно обнаружил краткую стенограмму заседания кафедры высшей математики Московского инженерно-строительного института им.
Куйбышева от 26 октября 1971 г. ( http://hr2.memo.ru/wiki/3080 )
Повесткой дня является вопрос о выдаче характеристики в ОВИР сотруднику кафедры - доценту, кандидату физ.-мат. наук В.А.ГАУХМАНУ. Небольшие отрывки из выступлений коллег В.А.ГАУХМАНА не требуют комментариев:
"Сейчас он совершил антипатриотический антисоветский поступок, достойный самого сурового осуждения. Поступок, несовместимый с высоким званием преподавателя высшего учебного заведения" (зав. кафедрой, проф., доктор физ.-мат. наук С.Я.ХАВИНСОН).
"Главное в его платформе - национализм. Хорошо известно, что национализм ведет к фашизму и кончается газовыми камерами и крематориями" (В.В.ЗОРИН).
"Этот поступок перекликается с бандитскими выстрелами по детям в здании советского представительства при ООН" (Л.Я.ЦЛАФ).
И одна из присутствовавших на собрании: "Я считаю поступок В.А.ГАУХМАНА проявлением принципиальности, честности и гражданского мужества".
Ответ В.А.ГАУХМАНА: "Я - еврей, хочу жить среди моего народа в еврейском государстве и принять участие в созидательном труде на благо своей родины... Мое сердце и моя совесть говорят мне, что я должен жить и трудиться в Израиле, на своей исторической и национальной родине".
Решение заседания:
1. Гневно осудить поступок В.А.ГАУХМАНА как антипатриотический и антисоветский.
2. Уволить В.А.ГАУХМАНА с работы как идеологически чуждого человека и ходатайствовать о лишении его звания доцента и звания учителя.
3. Единогласно исключить из членов профсоюза.
Вот так в мои молодые времена политика грубо и бесчеловечно расправлялась с яркими талантами.
С Гаухманом я встречался не только на лекциях и практических занятиях. Так однажды случилось, что он увидел мой красивый почерк и попросил помочь написать формулы в рукописи его серьезной книги "О почти комплексных структурах на многообразии касательных векторов". В 1971 году сей труд вышел в свет (http://www.mathnet.ru/links/e1dd44d619
Но возвращаюсь к нашей задаче. Стал анализировать структуру Рамануджана. С этой целью составил программу на ЭВМ "Наири-2". Целую неделю допотопная машина крутила мою программу, но ничего, кроме рамануджановских коэффициентов так и не выдала. То есть ничего, кроме такого:
(31b. первая модель рамануджана)
Тогда мне пришла в голову мысль рассмотреть несколько иные модели. После месяца мучительных поисков пришла долгожданная удача. Я нашел еще три модели, в причем в каждой из них не одно, а несколько вариантов. Вот вторая модель:
(32. решение 2 александрова)
Здесь структура несколько иная, нежели у Рамануджана. Вот почему по его модели получаем единственное решение, а по второй моей модели вариантов много - это, прямо скажу, - загадка.
Третья модель тоже дала несколько решений. Привожу некоторые из них:
(33. решение 3 александрова)
И, наконец, четвертая модель тоже оказалась плодотворной:
(34. решение 4 александрова)
Но несмотря на обилие структур, они все же не охватывают полное множество четверок Эйлера.
Несколько вариантов четверок Эйлера
ВідповістиВидалити1 1 6 8 9
2 1 71 138 144
3 1 135 138 172
4 2 17 40 41
5 3 4 5 6
6 3 10 18 19
7 3 34 114 115
8 3 36 37 46
9 3 121 131 159
10 3 214 309 340
11 3 245 340 378
12 4 17 22 25
13 4 57 248 249
14 5 76 123 132
15 5 86 460 461
16 5 163 164 206
17 5 216 436 453
18 5 232 307 346
19 6 32 33 41
20 6 127 180 199
Добрый день.
ВідповістиВидалитиПрошу прощения, что комментарий не соответствует теме статьи. Я обратил внимание на то, что Вы серьезно занимаетесь задачей Эйлера о четырех кубах.
Я написал небольшую программу, которая нашла мне все числа в диапазоне 1... 1 млн., которые обладают следующим свойством.
a^3+b^3=c^3+d^3.
Таких чисел, которые можно представить суммой кубов, разными способами оказалось 40. Когда я проверил остатки от деления этих чисел на 9, то обнаружил, что в остатках отсутствует двойка . Не могу понять - это свойство самих чисел или это следствие малой выборки.
Буду Вам благодарен за помощь в этом вопросе.