Задача-гра Вінницького

Задача. Двоє учнів грають у таку гру. На дошці записано ряд чисел:

2005 * 20062006 * 2007 * 20082008.

За кожним ходом учень замінює один знак «*»  або на знак «+»  або на знак «-». Після того, як  розставлені усі знаки, знаходять значення утвореного виразу. Якщо  значення утвореного виразу при діленні  на 4 дає остачу 2, то виграє починаючий. Якщо  значення утвореного виразу ділиться  націло на 4, то виграє суперник починаючого. Якщо  значення утвореного виразу при діленні  на 4 дає або остачу 1 або остачу 3, то вважається, учні зіграли в нічию.

Чи зможе у цій гра суперник починаючого грати так, щоб не програвати? Обґрунтуйте відповідь.

Розв’язання.  Парність значення утворених виразів  залежить не від розстановки  знаків «+»  або «-», а залежить  від кількості  непарних чисел у даному наборі.  Адже сума або різниця будь-якої кількості парних чисел завжди парна. У даному наборі маємо два непарних числа: 2005 та 2007. Отже, при будь-якій розстановці  знаків «+»  або «-», результат завжди парний. Таким чином, зіграти у нічию у даній грі не можна.

У наборі чисел є число, яке націло ділиться на 4, це 20082008,  останні дві цифри цього числа, утворюють число, яке кратне 4. Отже, це число не впливає на кінцевий результат гри, бо  остача при діленні 20082008 на 4 дорівнює нулю. Значить на результат гри впливає  значення такого виразу

2005 * 200620062006 * 2007.                (1)

Визначимо остачі при діленні даних чисел на 4:  

2005 = 4k  +1;      200620062006 = 4n + 2 ;        2007 = 4m   +3 .

Тут  k, m, n – конкретні натуральні числа, які легко знайти.

Розглянемо усі можливі випадки( їх рівно 2∙2=4) розстановки  знаків «+»  або «-» в останньому виразі (1):

1) якщо  утворений  вираз  

2005 + 200620062006 + 2007,

то, враховуючи, що

4k  + 1 + (4n + 2) + (4m  + 3)  = 4t + 2,  де t  -натуральне,

в цьому випадку виграє починаючий гру;

2) якщо  утворений  вираз  

2005 - 200620062006 + 2007,

то, враховуючи, що

4k  + 1 - (4n + 2) + (4m  + 3)  = 4s + 2, де s   -натуральне,

в цьому випадку виграє починаючий гру;

3) якщо  утворений  вираз  

2005 + 200620062006 - 2007,

то, враховуючи, що

4k  + 1 + (4n + 2) - (4m  + 3)  = 4 t, де t   -натуральне,

в цьому випадку виграє суперник починаючого гру;

4) якщо  утворений  вираз  

2005 - 200620062006 - 2007,

то, враховуючи, що

4k  + 1 - (4n + 2) - (4m  + 3)  = 4s, де s   -натуральне,

в цьому випадку виграє суперник починаючого гру;

Таким чином, у цій грі має виграшну стратегію починаючий. Йому, для того, щоб завжди перемагати, достатньо за першим ходом  поставити перед числом 2007  знак «+», а всі наступні ходи ставити довільні знаки на довільних місцях..

Відповідь. У цій грі суперник починаючого не зможе забезпечити собі виграшу та нічиєї.

Задача. На дошці записано ряд чисел:

2001 * 20022002 * 2003 * 20042004 * 2005 * 20062006 * 2007 * 20082008.

Чи можна замінити усі зірочки «*»  або на знак «+»  або на знак «-» так, щоб значення утвореного виразу дорівнювало непарному числу? Обґрунтуйте відповідь.

Відповідь: не можна, бо значення утворених виразів  залежить не від розстановки  знаків «+»  або «-», а залежить  від кількості  непарних чисел у даному наборі, а їх парне число. 

Задача. Двоє учнів грають у таку гру. На дошці записано ряд чисел:

2001 * 20022002 * 2003 * 20042004 * 2005 * 20062006 * 2007 * 20082008.

За кожним ходом учень замінює  одну зірочку «*»  або на знак «+»  або на знак «-». Після того, як  розставлені усі знаки, знаходять значення утвореного виразу. Якщо  значення утвореного виразу парне, то виграє починаючий. Якщо  значення утвореного виразу  непарне, то виграє суперник починаючого.  Чи зможе у цій гра починаючий грати так, щоб не програвати? Обґрунтуйте відповідь.

Відповідь: не зможе, бо значення утворених виразів  залежить не від розстановки  знаків «+»  або «-», а залежить  від кількості  непарних чисел у даному наборі, а їх парне число.