Задача Вінницького про просте число

Задача Вінницького про просте число

Довести, що будь-яке просте число, більше двійки, можна записати у вигляді суми добутку та суми двох  натуральних чисел.

Доведення: Нехай р – просте число, більше двійки. Тоді для деяких натуральних чисел х та у запишемо рівняння в  цілих числах:

xy + x + y =  р_.

Виконаємо такі перетворення:

xy + x + y+1 =  р + 1_.

х(y + 1) + (y + 1) =  р + 1_.

(х + 1)(y + 1) =  р + 1_.

Права та ліва частина рівняння  це парні натуральні числа, отже, існує такий розклад на множники р + 1 = 2 ∙ (р + 1)/2. Враховуючи це знайдемо один із один із можливих натуральних розв’язків цього рівняння:

х + 1 = 2,  звідси  х = 1

     та 

у + 1 =   (р + 1)/2, звідси  у =   (р – 1)/2.

Отже, будь-яке просте число р, більше двійки, можна записати у вигляді суми добутку та суми натуральних таких  чисел 1 та (р – 1)/2. До речі,

Число 2 не можна записати  у вигляді натуральних чисел: xy + x + y;

для чисел 3 це пара (1; 1);

для числа 5 це пара (1; 2) або (1;2);

для числа 7 це пара (1; 3) або (3; 1);

для числа 11 це пара (1; 5) або (5;1) або (2; 3) або (3; 2);

для числа 13 це пара (1; 6) або (6; 1);

для числа 17 це пара (1; 8) або (8; 1) або (2; 5) або (5; 2);

для числа 19 це пара (1; 9) або (9; 1) або (3; 4) або (4; 3);

для числа 23 це пара (1; 11) або (11; 1) або (2; 7) або (7; 2) або (3; 5) або (5; 3);

для числа 29 це пара (1; 14) або (14; 1) або (2; 9) або (9; 2) або (4; 5) або (5; 4);

для числа 31 це пара (1; 15) або (15; 1) або (3; 7) або (7; 3);

для числа 37 це пара (1; 18) або (18; 1);

для числа 41 це пара (1; 20) або (20; 1) або (2; 13) або (13; 2) або (5; 6) або (6; 5).