ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 8 клас

                                МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА  8 клас

1.     Доведіть, що добуток трьох послідовних натуральних чисел, складений з другим із них, є кубом другого числа.

Розв’язання. Нехай друге число х. Тоді  (х-1)х(х+1) = х³ +х+х = х³.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Складання правильного алгебраїчного виразу за відсутності подальших просувань або наявність помилки в перетвореннях - 3 бали. Отримання результату  без подальших просувань - 4 бали.

2.     Є лист паперу в клітинку і олівці 6 кольорів. Зафарбуйте найменше число клітин так, щоб для будь-яких двох кольорів знайшлося дві клітини цих кольорів, що граничать по стороні. Доведіть, що менше число клітин зафарбувати не можна.

Відповідь: 12 клітин.

 Розв’язання.  З умови випливає, що існують клітини кожного кольору. Якщо якогось кольору буде тільки одна клітина, то в неї має бути 5 різнокольорових сусідів, що неможливо. Отже, кожного кольору хоча б по дві клітини, а всього - не менше 12 клітин. Приклад (не єдиний).

1	2	3	4
3	4	5	6
6	1	5	2

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Лише оцінка або лише приклад - 3 бали.

                    Відповідь - 1 бал.

3.     На острові проживають 2010 мешканців, кожен з яких або лицар (завжди говорить   правду), або брехун (завжди бреше). Одного разу всі жителі острова розбилися на пари, і кожен про свого напарника сказав одну із фраз: «він лицар» або «він брехун». Чи могло виявитися так, що тих і інших фраз було виголошено порівну?

   Відповідь: ні.

Розв’язання.  Якщо в парі стоять два лицарі або два брехуни, то вони один про одного скажуть «він лицар». Якщо в парі стоять лицар і брехун, то вони обидва скажуть «він брехун». Таким чином, кожна фраза виголошена парне число разів. Якби цих фраз було порівну, то кожна фраза пролунала б по 2010: 2 = 1005 разів.

А це число непарне.

Коментар. Повне розв’язання  - 7 балів. Відповідь - 0 балів. Якщо доведено одне з тверджень про пари лицар-лицар або брехун-брехун або брехун-лицар - 1 бал за кожне. Всі твердження разом - 3 бали.

4.     ABCD - квадрат, AD = ВЕ = СЕ. Знайдіть кут AED.

Відповідь: 30 °, 150 °.

Розв’язання.  Трикутник ВСЕ - рівносторонній. Можливі два випадки його розташування - усередині квадрата і зовні.

У першому випадку кут АВЕ = 90 ° +60 ° = 150 °,

 кут ВАЕ = кут ВЕА = 15 °,

кут ЕАD = кут EDA = 90 ° - 15 ° = 75 °,

 кут AED = 180 ° - 2 · 75 ° = =30 °.

В другому випадку

кут АВЕ = 90 ° - 60 ° = 30 °,

кут ВАЕ = кут ВЕА = 75 °,

кут ЕАD = кут EDA = =90 ° - 75 ° = 15 °,

кут AED = 180 ° - 2 · 15 ° = 150 °.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Якщо розглянуто один випадок - 3 бали. Якщо наведено тільки відповідь (обидва випадки) - 1 бал. Якщо одну правильну відповіді – 0 балів.

5.     Є числа 1, 2, 4, 6. Дозволяється вибрати будь-які два з наявних чисел і помножити їх на одне і те ж натуральне число. Чи можна за кілька

     таких операцій зробити всі числа рівними?

Відповідь: ні.

Розв’язання: Розглянемо добуток даних чисел. Спочатку він дорівнює 48. Зауважимо, що число 48 не є квадратом натурального числа. Якщо якісь два з даних чисел множаться на деяке натуральне число n, добуток даних чисел множиться на . Отже, якщо воно не було квадратом натурального числа, воно їм і не стане. Але якщо всі наявні числа стануть рівними між собою, то їх добуток буде квадратом. Тому, такими операціями не можна вирівняти наявні числа.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Часткові просування або помилки оцінюються в залежності від їх величини та значущості.

                                     

                                                 9 клас

1.     Ціна квитка на стадіон була 200 грн.  Після зниження цін на квитки, кількість глядачів на стадіоні збільшилася на 50%, а виручка з проданих квитків збільшилася на 14%. Скільки став коштувати квиток на стадіон після зниження  ціни?

      Відповідь. 152.

  Розв’язання. Нехай х - кількість глядачів до зниження ціни, а у - нова ціна квитка. За умовою задачі 1,14 • 200х = 1,5 xy. Звідси у = 152.

Коментар. Правильна відповідь без жодного обґрунтування оцінюється в 1 бал. Правильно записане рівняння, але з помилкою в подальшому розв’язанні - 4 бали.

2.     Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження. «Це число або закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9».  «Це число або ділиться на 12, або менше 21». Знайдіть всі двозначні числа, які задовольняють умовам  задачі.

Відповідь. 84.

Розв’язання: Припустимо, що це число закінчується на 5. Тоді воно не може

закінчуватись на 9, а тому, більше 20. Так як ціле число, більше 20, не може бути менше 21, і шукане  число ділиться на 12. Але число, що ділиться на 12, парне, і тому не може закінчуватися на 5. Протиріччя. Отже, шукане число ділиться на 7. Єдине  двозначне число, що ділиться на 7 і закінчується на 9 - це 49. Але число 49 не ділиться на 12 і більше 21. Протиріччя. Тому шукане число більше 20 і ділиться на 12. Єдине двозначне число, що ділиться на 7 і 12 - це 84.

Коментар. Відповідь без обґрунтування оцінюється в 1 бал. Відповідь з перевіркою того, що він підходить - 2 бали. Якщо для кожного твердження виписані числа, які підходять для них, а потім з незрозумілих причин обрано правильну відповідь, то ставиться 3 бали. При правильній структурі перебору, але з помилкою, що вплинула на хід розв'язання, - 3 бали. Неправильне розуміння умови (тобто логічних зв'язків) - 0 балів.

3.     Знайдіть всі цілі n, при яких число буде точним квадратом.

Відповідь. Розв’язків немає.

Розв’язання:  З  рівняння  випливає, що  є степенем числа 5. Однак  на 5 не ділиться ні за яких, так як при діленні на 5 дає остачі 0 або 1, а при діленні на 5 дає остачі 0, 1 або 4.

Коментар. Відповідь без обґрунтування оцінюється в 1 бал. Правильна відповідь і зауваження, що квадрат числа повинен ділитися на 5-2 бали. Можливі подальші просування в розв’язанні, які слід оцінювати.

4.     Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 120. З середини основи опущено перпендикуляр на бічну сторону. В якому відношенні основа перпендикуляра ділить бічну сторону?

Відповідь. 3: 1, рахуючи від вершини основи.

Розв’язання.    Нехай у трикутнику АВС АВ = АС,

тоді  ВАС = 120. Позначимо: М - середину ВС, K - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на сторону ВС. Так як АМK = АВМ = 30, то , , тобто . Отже,

                                            

Коментар. Відповідь без обґрунтування оцінюється в 1 бал. Доведення  кожного із тверджень  і оцінюється в 1 бал.

5.     У бригаді 101 кабан. Всі вони ходять на город групами їсти  картоплю, причому кожні двоє ходили на город разом рівно по разу, однак вся бригада за один раз на картоплю не ходила. Доведіть, що один з кабанчиків брав участь не менше, ніж у 11 походах за картоплею.

Розв’язання.  Нехай в деякому поході беруть участь не менше 11 кабанчиків. Тоді будь-який з кабанчиків, що не брали участі у цьому поході, сходить за картоплею не менше 11 разів з кожним з учасників. Якщо ж у кожний похід ходило не більше 10 кабанчиків, то будь-який кабанчик брав участь не менш, ніж у 11 походах, так як він повинен сходити разом з кожним із 100 інших кабанчиків.

Коментар. Доведення твердження задачі для випадку, коли в поході беруть участь не менше 11 кабанчиків, оцінюється в 3 бали. Розгляд випадку, коли в кожний похід ходило не більше 10 кабанчиків - 3 бали.