МАТЕМАТИЧНІ ШКІЛЬНІ ОЛІМПІАДИ.: вересня 2014

неділя, 28 вересня 2014 р.

Задачі на подільність цілих чисел

Вільний художник настільки ж обмежений оточуючою його природою, настільки природа обмежена своїми вічними, сталими законами.

Тарас Шевченко

ПОДІЛЬНІСТЬ. ТЕКСТОВІ ЗАДАЧІ - 5

Анотація

Задачі на вивчення чисел дають невичерпний матеріал для розвитку творчих та математичних здібностей учнів. Їх особливість у тому, що теоретичні основи багатьох понять зрозумілі уже в 5 чи 6 класі і можуть стати тою базою, на основі якої Учитель може почати формувати майбутнього вченого.
Ця книжка містить матеріал по поглибленому вивченню у 5-6 класах ознак подільності чисел. Як вступ до цього розділу, вивчаються умовні висловлювання, поняття про необхідну та достатню умови. Посібник містить також збірку текстових задач, які доцільно запропонувати учням для самостійного розв'язування під час літніх канікул. Для п'ятикласника текстові задачі містять у собі практично весь багаж його математичних знань і навичок, і дуже добре час від часу його відновлювати.

Цей матеріал був апробований учителем у класі і вивчався на авторському семінарі в 1999-2000 навчальному році.

Призначено учням загальноосвітніх шкіл, гімназій, ліцеїв, а також учителям, які їх навчають.

Зміст

Замість вступу
Необхідна та достатня умови
Подільність
1. Поняття подільності
2. Парні та непарні натуральні числа
3. Подільність на 4
4. Подільність на 8
5. Подільність на 3 та на 9
6. Подільність на 10 та на 5
7. Взаємно прості числа
8. Подільність на 7, 11 та 13
Задача Ньютона
Текстові задачі на літо

АЛГОРИТМ ЕВКЛІДА. ДІОФАНТОВІ РІВНЯННЯ

Анотація

Проблеми теорії чисел дають невичерпний матеріал для розвитку творчих та математичних здібностей учнів. Їх особливість у тому, що теоретичні основи багатьох понять зрозумілі уже в 5 чи 6 класі і можуть стати тою базою, на основі якої Учитель може почати формувати майбутнього вченого. Ця книжка містить матеріал по поглибленому вивченню у 6-7 класах подільності чисел та пов'язаних з нею таких більш глибоких розділів математики - НОК, НОД та алгоритм Евкліда, діофантові рівняння, ланцюгові дроби. Ці розділи відносяться до першоджерел математики і, одночасно, вони пов'язані з найновітнішими комп'ютерними технологіями. Цей матеріал був неодноразово апробований учителем у класі і щорічно вивчається на авторському семінарі Н.Стрельченко.

Призначено учням загальноосвітніх шкіл, гімназій, ліцеїв, а також учителям, які їх навчають.

Зміст

Замість вступу
Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне
1. Найбільший спільний дільник
2. Найменше спільне кратне
3. НСК та НСД у текстових задачах
li> Діофантові рівняння
1. Поняття про діофантові рівняння
2. Алгоритм знаходження розв'язків
Ланцюгові дроби
1. Визначення
2. Наближені ланцюгові дроби
3. Ланцюгові дроби в літочисленні
4. Наближення числа µ ланцюговими дробами
5. Діофантові рівняння та ланцюгові дроби
Задачі для самостійного розв'язування

субота, 27 вересня 2014 р.

книга про властивості цілих чисел

Читайте тут книгу про властивості цілих чисел WholeNumber.pdf

ЦІЛА ЧАСТИНА. МОДУЛЬ. ЛИШКИ

Анотація

Ця книжечка містить матеріал по поглибленому вивченню в 5-7 класах таких важливих понять математики, як ціла та дробова частина числа, модуль раціонального числа (про існування ірраціональних чисел учні взнають набагато пізніше), теорію лишків та її застосування для розв'язування багатьох типів цікавих задач, часто досить складних, але зрозумілих уже в 5-6 класі.
Цей матеріал був апробований учителем у класі і вивчався на авторському семінарі Н.Стрельченко в 1999-2000 навчальному році.

Призначено учням загальноосвітніх шкіл, гімназій, ліцеїв, а також учителям, які їх навчають.

Зміст

Замість вступу
Ціла та дробова частина числа
1. Координатна пряма
  1. Проміжки на координатній прямій
  2. Раціональні числа на координатній прямій
2. Ціла частина числа
3. Дробова частина числа
  1. Визначення
  2. Знаходження дробової частини числа
4. Щільність раціональних чисел на проміжку
5. Координатна пряма і ціла частина раціонального числа
6. Задачі на побудову
Модуль раціонального числа
1. Основні поняття
2. Рівняння з модулями
3. Розв'язування рівнянь за допомогою перевірки підстановкою
4. Розв'язування рівнянь на основі визначення модуля
5. Координатна пряма і модуль
Лишки

Основні поняття
1. Ділення з остачею натуральних чисел
2. Ділення з остачею цілих чисел
Дільник. Властивості подільності
Порівняння за модулем
Розв'язування задач
Ознаки подільності
Задачі для самостійного розв'язування

Геометрія для учня-оліміадника

КОЛО ЕЙЛЕРА ТА ІНВЕРСІЯ

Анотація

Існування кола та прямої Ейлера відносяться до тих вражаючих фактів, які відкриває нам елементарна геометрія. Саме такі відкриття створюють її красу, що тисячоліттями притягує до себе увагу мільйонів шанувальників у всьому світі.

Гомотетія та інверсія, яким присвячена ця книжечка, лежать в основі методів розв’язування багатьох олімпіадних і конкурсних задач поглибленої складності. З іншого боку, це – розділ геометрії, який відкриває читачам шлях для подальших пошуків та узагальнень.

Призначено учням загальноосвітніх шкіл, гімназій, ліцеїв, а також учителям, які їх навчають.

Зміст

Слово до вчителів
Мій семінар
Велике коло дев'яти точок
1. Серединний перпендикуляр
  1. Визначення
  2. Серединні перпендикуляри
  3. Ортоцентр
2. Ортоцентр і симетрія
  1. Симетрія відносно прямої та точки
  2. Лема про кути, утворені висотами
  3. Симетрія ортоцентра відносно сторін
  4. Симетрія ортоцентра відносно середин сторін
  5. Резюме
Коло Ейлера та пряма Ейлера
1. Гомотетія
2. Коло Ейлера
3. Медіани та гомотетія
4. Резюме
5. Пряма Ейлера
Інверсія
1. Дотична до кола
  1. Визначення
  2. Побудова дотичної до кола
  3. Наслідки з теореми Піфагора
2. Інверсія
  1. Визначення
  2. Побудова
  3. Властивості
  4. Чотирикутник, вписаний у коло
  5. Кут між кривими
3. Коло Ейлера та інверсія
4. Формула Ейлера
  1. Три рівні кола, що проходять через одну точку
  2. Формула Ейлера
Задачі для самостійного розв'язування
Література

____________________________________

Пропонується книга для тих, хто вивчає математику та готується до математичних олімпіад і поглиблено планіметрію, зокрема геометрію трикутника

Тут є повне обгрунтування існування Великого кола дев’яти точок довільного трикутника.

неділя, 7 вересня 2014 р.

11 клас. Інтегрування частинами.

Трикутник Піфагора і Трапеція Александрова

Трикутник Піфагора і Трапеція Александрова

ТП: 3² + 4² = 5²

ТА: 3³ + 4³ + 5³ = 6³

1) 1, 6 , 8 , 9 (гипотенуза 10 )
2) 3 , 4 , 5 , 6 (гипотенуза 5 )
3) 18 , 19 , 21 , 28 (гипотенуза 35 )
4) 34 , 39 , 65 , 72 (гипотенуза 97 )
5) 22 , 75 , 140 , 147 (гипотенуза 203 )
6) 29 , 75 , 96 , 110 (гипотенуза 146 )
7) 65 , 87 , 142 , 156 (гипотенуза 169 )

Вариант 7):

a x + b y + c = 0

приблизно 51.8 градусів.

Синуси та косинуси кратних кутів

Синуси та косинуси кратних кутів

Сума довжин відрізків ℓ + m + n від внутр. точки до сторін 3-кутника дорівнює висоті рівностороннього трикутник

"Сума довжин відрізків ℓ + m + n дорівнює висоті рівностороннього трикутника".

- А як звучить ця теорема для довільного трикутника?
- Немає проблем! Пошук в Інтернеті.