Властивості многочленів. Завдання з олімпіад

АЛГЕБРАЇЧНІ  ЗАДАЧІ ОЛІМПІАД  З МАТЕМАТИКИ

1. Чи вірно, що  рівняння

А) (n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 455 = 0;

Б) (k - 2)(k + 1)k(k - 1) - 24  = 0;

В) (m - 7)(m + 1)(m + 7)(m - 1) + 432 = 0;

Г) (a - 3)(a + 1)(a + 3)(a - 1) - 105 = 0

мають єдиний розв’язок в натуральних числах?

2. Які цілі вирази  

А) (n - 7)(n + 1)(n + 7)(n - 1) + 576;

Б) (m- 2)(m + 1)m(m - 1) + 1;

В) (k - 3)(k + 1)(k + 3)(k - 1) + 16;

Г) (p - 4)(p + 2)(p + 4)(p - 2) + 36;

Д) (t - 5)(t + 3)(t + 5)(t - 3) + 64;

Е) (x - 1)(x + 3)(x + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 3) + 36;

Є) (y - 5)(y + 1)(y + 5)(y - 1) + 144

являються точними квадратами цілих виразів з цілими коефіцієнтами?

3. Невід’ємні цілі числа x, y, z задовольняють рівність

30х + 32у + 33z = 447. Знайдіть  значення виразу х + у + z.

Властивість 1.  Два   многочлени  Р_n(х) і Q_m(x)

Р_n(х) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀

Q_m(x) = b_mx^m + b_m-1x^m-1 + b_m-2x^m-2 + …..+ b₁x  + b₀

 рівні (тобто співпадають як функції) тоді й тільки тоді, коли виконуються дві такі  умови:

1) n = m

(обидва многочлени мають однакову найбільшу степінь),

 і   коефіцієнти рівні при рівних степенях змінної:

2) а₀ = b₀, а₁ = b₁,  ..., а_n = b_n.

Приклади:

А) Два многочлени рівні між собою:

Р₃(х) = 5x³ + 3аx² -  9m – кубічний многочлен стандартного вигляду.

Р₃(х) = 5x³ + 3аx² +  0×x  - 9m – кубічний многчлен стандартного вигляду.

Б) Два многочлени  не рівні між собою:

Р₃(х) = 5nx³ +3аx² -  9m – кубічний многочлен стандартного вигляду.

Р₃(х) = 5bx³ + 3x² - 9m – кубічний многчлен стандартного вигляду.

Властивість 2. Нехай є два  довільні многочлени  Р_n(х) і Q_m(x)

Р_n(х) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀,

Q_m(x) = b_mx^m + b_m-1x^m-1 + b_m-2x^m-2 + …..+ b₁x  + b₀.

Тоді сума цих многочленів Р_n(х) + Q_m(x) = S_k (х) є також многочленом, причому

степінь k не перевищує найбільше значення серед  двох чисел: n  та  m.

Але,  якщо  n  ¹  m, тоді  k дорівнює найбільшому  значенню серед двох чисел: n  та  m.

Приклади:

А) Два многочлени:

Р₂(х) = 3аx² -  9m – квадратний многочлен стандартного вигляду.

Р₃(х) = 5x³ + 3аx² – кубічний многчлен стандартного вигляду.

Сума Р₂(х) + Р₃(х) = (5x³ + 3аx²) + (3аx² -  9m) =  5x³ + 6аx² – 9m -  кубічний многoчлен стандартного вигляду.

Б) Два многочлени:

Р₄(х) = 3x⁴ -  9m –  многочлен четвертого степеня стандартного вигляду.

Р₃(х) = 5x³ + 3а – кубічний многчлен стандартного вигляду.

Різниця Р₄(х) –1× Р₃(х) = (5x⁴ – 9m) – (3x³ + 3a) =  5x⁴ – 9m – 3x³ – 3a –   многoчлен четвертого степеня стандартного вигляду.

Властивість 3. Нехай є два  довільні многочлени  Р_n(х) і Q_m(x), які тотожно не дорівнюють нулю, тобто:

Р_n(х) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀,

Q_m(x) = b_mx^m + b_m-1x^m-1 + b_m-2x^m-2 + …..+ b₁x  + b₀.

Тоді добуток цих многочленів Р_n(х) × Q_m(x) = D_k (х) є також  многочленом, який тотожно не дорівнює нулю,  причому  степінь k дорівнює сумі двох чисел: n  та  m.

k = n + m.

Приклад.  Два многочлени:

Р_n(х) = x² – 1 –  квадратний многочлен стандартного вигляду.

Q_m(x) = x – 2 – лінійний многочлен стандартного вигляду.

Тоді добуток цих многочленів

Р_n(х) × Q_m(x) = (x² - 1)(x – 2) =  x² × (x – 2)  -1× (x – 2) = x³ – 2x² – x + 2 – кубічний многочлен стандартного вигляду.  

Властивість 4. Многочлени, так само як і цілі числа, можна поділити один на один із остачею.

Приклад.  x³ – 2x² – x + 2  ½x – 2

                   x³ – 2x²              ½x² - 1

                                – x + 2        

                                – x + 2  

                                        0

Говорять, що многочлен x³ – 2x² – x + 2  ділиться на многочлен x – 2 без остачі.

Властивість 5. Нехай дано два довільних многочлени Р_n(х) і Q_m(x) причому Q_m(x) ¹0.
Тоді існують єдині многочлени S(х)(його називають неповна частка) і R(х)(його називають остача) що задовольняють дві умови:
а)Р_n(х) = S_i(х)×Q_m(x)  + R_k(х)

б) де k < m або R_k(х) º 0.

Властивість 6. Якщо коефіцієнти многочлена Р_n(х) і Q_m(x) в умовах ділення дійсні, то коефіцієнти многочленів S_i(х)  та R_k(х) також дійсні. Якщо коефіцієнти мною членів Р_n(х) і Q_m(x) раціональні, то коефіцієнти многочленів S_i(х)  та R_k(х)  також раціональні. 

Якщо  коефіцієнти  многочлена  Q_m(x)  при  старшому члені дорівнюють 1 або -1, то коефіцієнти многочленів S_i(х)  та R_k(х)  – також цілі числа

Властивість 7. Теорема Безу: Остача від ділення многочлена Р_n(х) на лінійний многочлен х-х₀ дорівнює числу Р_n(х₀).

З теореми Безу випливає наступне твердження.

Властивість 8. Многочлен Р_n(х) ділиться на лінійний многочлен х-х₀ тоді й тільки тоді, коли число х₀ є його коренем.

Означення . Число х₀ називається коренем многочлена Р_n(х) кратності k(k Î N), якщо многочлен Р(х) ділиться на  многочлен

(х- х₀)^k ,

але не ділиться на многочлен

(х- х₀)^k+1.

Кажуть, що многочлен Р_n(х)  має корені

х₁, ... , х_п,

якщо кожний з ко­ренів многочлена Р(х) повторюється в наборі

(х₁, … , х_n)

стільки разів, яка його кратність, і ніяке число, відсутнє в наборі, не є коренем.

Властивість 9. Основна теорема алгебри. Будь-який многочлен степеня п > 1 має рівно п комплексних ко­ренів.

Як наслідки одержуємо такі властивості.

Властивість 10. Якщо значення двох многочленів степеня не вище п співпадають у п +1 різних точках, то ці многочлени рівні.

Властивість 11. Будь-який многочлен Р(х) степеня п > 0 єдиним чином (з точністю до перестановки співмножників) можна подати у вигляді

Р_n(х) = а_п ( х – х₁)( х – х₂) ... (х- х_n),

де а_п – старший коефіцієнт многочлена Р_n(х) , а  х₁, х₂,..., х_n – його корені.

Властивість 12. Теорма Вієта.

Нехай 

Р_n(х) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀,

Має корені х₁, х₂,..., х_n . Тоді справведливі рівності:

х₁ + х₂  +  ...  + х_n  = ,

х₁х₂  + х₂х₃ + ...   + х_n-2 х_n +  х_n-1 х_n  = ,

х₁х₂ х₃ + х₁х₂х₄ + ...   + х_n-3х_n-1 х_n + х_n-2  х_n-1 х_n  = ,

х₁х₂ х₃х₄х₅ …._.х_n-3х_n-2  х_n-1 х_n    = .

Зокрема, для повного квадратного тричлена

Р₂(х) =  ax² + bx + c,

який має корені х₁, х₂ ,  формули Вієта мають вигляд:

х₁ + х₂  =,

х₁х₂  = .

Для зведеного квадратного тричлена

Р₂(х) =    x² + px + q ,

який має корені х₁, х₂ ,   формули Вієта мають вигляд:

х₁ + х₂  =  – p,

х₁х₂  = q.

Для повного кубічного многочлена

Р₃(х) =    ax³ + bx² + cх + d,

який має корені х₁, х₂ ,  х₃ ,  формули Вієта мають вигляд:

х₁ + х₂  + х₃  = ,

х₁х₂  + х₁х₃ + х₂х₃ = ,

х₁х₂ х₃  = ,

Для зведеного кубічного многочлена

Р₃(х) =  x³ +   kx² + nx + m,

який має корені х₁, х₂ ,  х₃ , формули Вієта мають вигляд:

х₁ + х₂  + х₃  = ,

х₁х₂  + х₁х₃ + х₂х₃ = ,

х₁х₂ х₃  = .

Для повного  многочлена четвертого степеня

Р₄(х) =    ax⁴ + bx³ + cх² + dх + е,

який має корені х₁, х₂ ,  х₃ , х₄ ,  формули Вієта мають вигляд:

х₁ + х₂  + х₃  + х₄  = ,

х₁х₂  + х₁х₃ + х₂х₃  + х₃х₄ + х₁х₄  + х₂х₄= ,

х₁х₂ х₃  + х₁х₂ х₄  + х₂х₃х₄ +  х₁х₃х₄ = ,

х₁х₂х₃х₄ = .

Для зведеного многочлена четвертого степеня

Р₄(х) =  x⁴  + px³ +   kx² + nx + m,

який має корені х₁, х₂ ,  х₃ , х₄ ,  формули Вієта мають вигляд:

х₁ + х₂  + х₃  + х₄  = ,

х₁х₂  + х₁х₃ + х₂х₃  + х₃х₄ + х₁х₄  + х₂х₄ = ,

х₁х₂ х₃  + х₁х₂ х₄  + х₂х₃х₄ +  х₁х₃х₄ = ,

х₁х₂х₃х₄ = .

Властивість 13. Обернена теорема Вієта

Нехай числа х₁, х₂,..., х_n , задовольняють систему рівнянь

х₁ + х₂  +  ...  + х_n  = ,

х₁х₂  + х₂х₃ + ...   + х_n-2 х_n +  х_n-1 х_n  = ,

х₁х₂ х₃ + х₁х₂х₄ + ...   + х_n-3х_n-1 х_n + х_n-2  х_n-1 х_n  = ,

х₁х₂ х₃х₄х₅ …._.х_n-3х_n-2  х_n-1 х_n    = .

Тоді числа х₁, х₂,..., х_n  являються коренями  многочлена

Р_n(х) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀,

Отже, за коренями можна повністю відновити стандартний вигляд многочлена.

Властивість 14. Якщо

Р_n(х) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀  –

многочлен з дійсними коефіцієнтами і комплексне число z = a + bi, з ненульовою уявною чатиною b ¹ 0 є його коренем, то cпряжене комплексне число  = a - bi,  також є коренем причому тієї ж кратності.

Зокрема, многочлен Р_n(х)  ділиться на многочлен

(х – (a + bi))^k(х – (a – bi))^k = (х² – 2х Re z +|z|),

де k – кратність коренів z = a + bi,  та  = a – bi.

 Властивість 17.  Довільний многочлен

Р_n(х) =  a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀  –

многочлен з дійсними коефіцієнтами степеня n і комплексне число z = a + bi, з ненульовою уявною чатиною b ¹ 0 є його коренем, то cпряжене комплексне число  = a - bi,  також є коренем причому тієї ж кратності.

Зокрема, многочлен Р_n(х)  ділиться на многочлен

(х – (a + bi))^k(х – (a – bi))^k = (х² – 2х Re z +|z|),

де k – кратність коренів z = a + bi,  та  = a – bi.

Властивість 18.  Довільний многочлен Р_n(х) з дійсними коефіцієнтами степеня n

єдиним чином (з точністю до перестановки співмножників) можна подати

у вигляді добутку лінійних та квадратних многочленів:

Р_n(х) = а_n(х-х₁)×...×(х-х_m)(х² + 2b₁х+с₁)×...×(х² + 2b_kх+с_k)

 де m, k > 0, m + 2k = n,

а_n – старший коефіцієнт многoчлена Р_n(х),

 х₁...,х_m являються дійсними коренями Р_n(х) з урахуванням їхньої кратности,

b₁ , b₂ , ….,  b_k є  дійсними числами,

с₁ , с₂ , ….,  с_k є  дійсними числами,

причому   квадратні   тричлени  

(х² + 2b₁х+с₁),  ... , (х² + 2b_kх+с_k)

не мають дійсних  коренів, тобто

b₁² < с₁ , … , b_k² < с_k.

Властивість 19.  

Якщо на кінцях деякого відрізку

[k; m]

значення многочлена

Р_n(k) = a_nkⁿ + a_n-1k^n-1 + a_n-2k^n-2 + …..+ a₁k  + a₀

та

Р_n(m) = a_nmⁿ + a_n-1m^n-1 + a_n-2m^n-2 + …..+ a₁m  + a_{0 ,}

має різні знаки, тобто,  добуток цих значень

Р_n(k)×Р_n(m) –  від’ємне число,

то на інтервалі 

(k; m)

існує хоча б один корінь х₀ цього многочлена Р_n(х),  тобто,

х₀ Î(k; m).

Властивість 20.  Якщо раціональне число

,

де НСД(р,q) = 1, є коренем многочлена

Р_n(х) =  a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀   

з цілими коефіцієнтами, то

а₀ ділиться без остачі на р,

a_n  ділиться без остачі на q.

З цієї властивості  випливають наступні твердження.

Властивість 21.  Кожен корінь зведеного многочлена

Р_n(х) =  xⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀   

з цілими коефіцієнтами є або, ціле число, або ірраціональне.

Властивість 22.   Якщо а та n являються натуральними числами, то число   є цілим, або ірраціональним.

Властивість 23.   (інтерполяційна формула Лагранжа) Нехай   задано   різні  комплексні числа  

b₀, b₁ , b₂ , ….,  b_k

і  довільні  комплексні  значення

c₀, с₁ , с₂ , ….,  с_k

Тоді існує єдиний многочлен Р(х) степені не вище за k, що задовольняє рівності

Р(b₀) = с₀;  Р(b₁) = с₁;  Р(b₂) = с₂; …;  Р(b_k-1) = с_k-1;  Р(b_k) = с_k.

Цей многочлен має такий вигляд:

.

Укажемо зв'язок між коефіцієнтами многочлена і його похідних.

Властивість 24.   Нехай даний многочлен

Р_n(х) =  xⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀ . 

Тоді

Р(0) = a₀, Р'(0) = а₁, Р"(0) = 1×2×а₂, ...,  Р⁽ⁿ⁾ = n!×а_n

і вихідний многочлен можна записати у вигляді

Р_n(х) = .

Властивість 25.   Для того щоб нескоротний дріб

,

був коренем многочлена

Р_n(х) =  a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀

З цілими коефіцієнтами, необхідно і достатньо, щоб число р було дільником вільного члена a₀, а число q було дільником старшого коефіцієнта.

До речі, якщо многочлен

Р_n(х) =  a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀ 

має цілі коефіцієнти і a_n = 1, то раціональні корені такого многочлена можуть бути тільки цілочисельні дільники вільного члена a₀.

Властивість 26.   Многочлен непарного степеня  Р_2n-1(х) має хоча б один дійсний корінь.

Властивість 27.   Многочлен довільного степеня  Р_n(х) має небільше n  дійсних коренів.

Знаходження коренів многочлена являє собою в загальному випадку не просту задачу. Проте в окремих випадках, коли многочлен розкладний на множники многочленів, степінь кожного з яких не більше 2, цю задачу вдається розв’язати повністю.

Властивість 28.   Множина коренів  {х₁, х₂,..., х_n} ,

усіх дільників

Q₁(х), Q₂(х)  , …, Q_r(х)

 многочлена

Р_n(х) =  a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …..+ a₁x  + a₀ = Q₁(х)×Q₂(х)×…×Q_r(х)

    

співпадає з множиною коренів  {х₁, х₂,..., х_n} многочлена Р_n(х).

Можливість  виділення з многочлена  лінійних множників пов’язана з наявністю у цього многочлена дійсних коренів.

Завдання

1. Розкласти на множники многочлени:

P₄ (х) = x⁴ – 2x³ – 24х² + 50х – 25;

Q₄(x) = 4х⁴ – 24x³ + 29x² + 42x –  63;

G₄(x) = 6х⁴ + 5х³ – 95x² – 80x – 16.

2. Знайти  a та  b з тотожних рівностей:

2x³ – 8x² +9x -9 = (x—3) (2x² + ax + b);

3x⁴ – 7x³ + 4x² – 7x + 6 = (x – 2)(3x³ – x² + ах + b)

2x⁴ + 5x³ + 3x² – 2x – 8 = (x² + x – 2)(2x² + ax + b);

x⁴ – 4x³ – 13x² + 64x– 48 = (x² – 7x +12)(x² + ax + b);

x⁵ – 5x³ + 4x² – 3x – 2 = (x – 2) (x⁴ + ax³ + bx² + 2x – 1);

3. Многочлен P(x) ділиться нaціло на Q (x). Методом ділення кутиком знайти частку.

P₃(х) = 2x³ + 7x² + 7x + 2,     Q₁(x) = x +2;

Р₄(x) = 3x⁴ – 8x³ + 2x² + 5x – 2,     Q₁(х) = х – 2;

P₅(x) = 5x⁵ – 6х⁴ – x² + x + 1,            Q₁(х) = х – 1;

4. Многочлен P(x) ділиться нaціло на Q (x). Методом невизначених коефіцієнтів знайти частку.

P₃(х) = x³ – 19x² – 30,  Q₂(x) = x² + 1;

Р₄(x) = 5x⁴ – x³ – x – 4,          Q₁(х) = x² – 4;

5. Знайти корені многочленів:

P₃(x) = 5х³ + 18х² – 10x  – 8;

P₃(x) = 2х³ – 5х² – 8x +20;

Р₄(x) = 3x⁴ + 5x³ – 9x² – 9х + 10,

Р₄(x) = x⁴ – 3x² + 2,

Р₄(x) = x⁴ – 4x³ + 8x² – 16x +16,

Р₄(x) = x⁴ – 2x³ + 2x