Задачі для математичних шкільних олімпіад

1. Знайти три попарно взаємно прості числа такі, що сума будь-яких двох з них ділиться на третє.

2. Мандрівник виходить з готелю о 15-й годині дня і повертається о 21-й годині вечора тим самим маршрутом. Відомо, що рівними ді­лянками шляху він іде зі швидкістю 4 км/год, вгору - 3 км/год і вниз -6 км/год. Знайти відстань, яку пройшов мандрівник, якщо він ішов без відпочинку.

3. Картки послідовно пронумеровано натуральними числами від 1 до 2n + 1. Яку найбільшу кількість карток можна дібрати так, щоб жоден з номерів не дорівнював сумі якихось двох інших номерів карток?

4. Знайти всі трійки натуральних чисел, що мають таку властивість: добуток будь-яких двох з цих чисел у сумі з 1 ділиться на третє число.

5.  Ваня, Андрій і Олексій грали в теніс. Той, хто програв партію, щоразу звільняв місце тому, хто в ній не брав участі. За день Ваня зі­грав 10 партій, Андрій - 21 партію. Скільки партій зіграв Олексій?

6.  Довести, що при даній сумі додатних чисел їх добуток макси­мальний тоді, коли всі вони рівні між собою.

7. Квадрат 8x8 складений із кісточок доміно 1х2. Довести, що якісь дві з них утворюють квадрат 2x2.

8. По колу записано 100 різних чисел, що не дорівнюють нулю. Довести, що серед цих чисел  знайдуться такі три числа а, b, с, які йдуть поспіль, що b(а - с) > 0.

9.  Чи існують такі натуральні а і b, що аb(а - b) = 45045 ?

10.  Що більше: 2³⁰⁰ чи 3²⁰⁰?

11. Чи існують такі натуральні а і b, що аb(а - b) +аb(а + b) = 4900049?

12.  Пряму пофарбовано в два кольори. Довести, що на ній знай­деться відрізок ненульової довжини, середина і кінці якого пофарбо­вано в один колір.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

13.  Чи можна розташувати по колу 15 цілих чисел так, щоб сума будь-яких чотирьох чисел поспіль дорівнювала 1 або 3?

14. Знайти два звичайних дроби - один зі знаменником 8, а другий зі знаменником 13 - такі, що вони не дорівнюють нулю, а їх додатня різниця найменша.

15.  Довести, що довільні 10 точок на площині є кінцями п'яти відрізків, що не перетинаються.

16. Чи існує натуральне число, добуток цифр якого дорівнює 2006?

17.  Довести, що натуральне число, десятковий запис якого склада­ється з однієї одиниці, двох двійок, трьох трійок,..., дев'яти дев'яток, не може бути точним квадратом.

18.  У краплину води, яка містить 1000 бактерій, потрапив один ві­рус. Щохвилини кожен вірус знищує одну бактерію, після чого кожна бактерія ділиться на дві бактерії, а кожен вірус - на два віруси. Чи правильно, що через деякий час не залишиться жодної бактерії?

19.  Прямокутний трикутник, у якого дві менші сторони відносяться 1:2, розрізати прямими на 5 рівних прямокутних трикутників.

20. У клітинковому квадраті 5х5 розмістити якнайбільше п’ятиклітинкових «прямих кутиків».

21. Довести, що коли число ділиться на 99, то сума його цифр не менша від 18.

22. Президент акціонерного товариства на зборах акціонерів ска­зав, що за кожні п'ять послідовних місяців витрати фірми перевищували прибутки,  але за весь рік прибуток перевищує витрати. Чи можуть акціонери подати на нього до суду?

23.  Число х отримано перестановкою цифр числа  у. Довести, що сума цифр числа 5х  дорівнює 5у.

24. Чи може десятковий запис степеня двійки закінчуватися чо­тирма однаковими цифрами?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

25.  Довести, що серед будь-яких 39 послідовних натуральних чисел знайдеться одне, сума цифр якого ділиться на 11.

26.  Король за хід може поставити по хрестику в будь-які дві вільні клітинки нескінченного аркуша паперу. Міністр за  хід може постави­ти нулик у будь-яку вільну клітинку. Чи може король поставити 100 хрестиків у ряд?

27.  У клітинки прямокутної таблиці записано  довільні числа. Дозво­ляється одним ходом змінити знак у всіх чисел, що стоять у будь-якому рядку чи будь-якому стовпчику. Довести, що такими операція­ми можна добитись того, щоб сума чисел у таблиці була невід'ємною.

28.   Довести, що при непарному натуральному k сума (1k + 2k +...+ + nk) ділиться на (1 +2+...+ n).

29.  Пофарбований куб із ребром завдовжки 12 см розрізали на куби­ки із ребром 2 см. Скільки   кубиків мають пофарбовані три грані? Cкільки   дві? A у скількох пофарбована лише одна грань? Скільки
кубиків не пофарбовані зовсім?

30.  Свіжі ягоди малини містять за масою 90 % води, а сухі - 12 %. Скільки вийде сухих ягід із 11 кг свіжих?

31.  На скільки частин можна розбити площину чотирма прямими? Розглянути всі можливі випадки і для кожного виконати рисунок.

32. Шахіст зіграв 40 партій у шахи й отримав у сумі 25 очок (кожн перемога - це 1 очко, нічия - 0,5 очка, поразка - 0 очок). Знайти різницю між кількістю його перемог та кількістю його поразок.

33. Кожне з двох кіл, що дотикаються зовнішньо, дотикається третього кола внутрішньо. Діаметр найбільшого кола 1 м. Знайти периметр трикутника, вершинами якого є центри всіх трьох кіл.

34. Віні-Пух та П'ятачок сіли за стіл трішки підкріпитися та почали одночасно їсти мед з одного горщика, не розмовляючи. Якщо б Віні-Пух їв зі швидкістю П'ятачка, то процес їжі продовжувався на 4 хв довше, а якщо б, навпаки, П'ятачок їв зі швидкістю Віні-Пуха — то час їжі скоротився на 1 хв. За який час вони з'їли мед повністю?

35. На шахівниці розставлено 15 фігур так, що в кожному горизонтально­ му і в кожному вертикальному ряду стоїть хоча б одна фігура. До­ ведіть, що з дошки можна прибрати одну фігуру так, що фігури, які залишились, також задовольняють умову: у кожному горизонтально­ му та в кожному вертикальному ряду є хоча б одна фігура.

36. Розшифруйте арифметичний ребус. Однакові букви цифри, а різні букви —  це різні цифри: КОРОВА + ТРАВА + ДОЯРКА = МОЛОКО.

-----------------------------------------------------------------------------------

37. У чотирикутнику АВСD сума кутів АВD і ВLС дорівнює 180°, а сторони АВ  ВС рівні між собою. Доведіть, що кути при вершинах А і С цього чотирикутника рівні.

38. Миколка заплатив 12 к за один зошит, 2 олівці та гумку. Сашко — 27 к за 2 зошити, 3 олівці та 3 гумки. Скільки заплатив Антон за 2 зоши­ти, 5 олівців та 1 гумку?

39. На дошці записано 10 одиниць і 10 двійок. За хід дозво­ляється стерти дві будь-які цифри, а, якщо вони однакові, написати двійку, а якщо різні – одиницю. Якщо остання цифра, що залишилася на дошці одиниця, виграв перший гравець, якщо двійка — то другий. Чому у цій грі завжди перемагає гравець, який не розпочинає гру?

40. Певну кількість фішок розташовано в ряд. Два гравці по черзі забирають довільні одну або дві фішки, які стоять поруч, переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

41. Певну кількість фішок розташовано по колу. Два гравці по черзі забирають довільні одну або дві фішки, які стоять поруч. Переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

42. На початку гри є k груп предметів. Двоє гравців по черзі  ділять кожну групу, що містить більше одного предмета, на дві менші групи. Переможцем вважається той, хто виконає останній поділ. Хто забезпечить собі перемогу?

43. Два гравці по черзі виймають зі скриньки предмети, кількість яких не перевищує половини наявних у скриньці. Програє той,  хто візьме останній предмет. Хто забезпечить собі перемогу?

44. Є дві купи предметів. Два гравці по черзі забирають одну купу, а іншу ділять на дві частини (обидві дії виконує один і той самий гравець). Переможцем вважається той, хто останнім ходом залишить дві купки по одному камінцю. Хто забезпечить собі перемогу?

45. Є 15 шашок, розташованих в ряд. Двоє гравців ходять по черзі. Першим ходом перевертається будь-яка шашка, а кожним наступним – будь-які одна або дві сусідні ще не перевернуті шашки. Переможцем вважається той, хто примусить суперника зробити останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

46. Якщо першу цифру трицифрового числа збільшити на n, а другу і третю цифру зменшити на n, то отримаємо число в n раз більше даного. Знайти n і дане число.

47. У першому ящику на 6 горіхів менше, ніж у двох інших разом, а в другому — на 10 менше, ніж у першому і третьому разом. Скільки горіхів у третьому ящику?

48. У трицифровому числі закреслили цифру сотень, отримане двоцифрове число помножили на 7 і отримали дане трицифрове число. Яке це число?

--------------------------------------------------------------------

49. Яке число в 19 разів більше від числа його одиниць?

50. Про два прості числа відомо, що якщо від першого відняти половину другого, а від другого відняти половину першого, то перша різниця буде в 5 разів більша, ніж друга. Знайти ці числа.

51. У кінці 1969 року онук виявив, що коли між цифрами його року народження послідовно вставити знаки ∙, +, ∙, то в результаті отримається число, яке дорівнює його віку. Коли він це сказав за обідом, то дід зауважив, що він може сказати про себе те саме. На скільки років дід старший за онука?

52. Два покупці купили відповідно 5 та 31 однакових блокнотів. Перший дав касирові 5 гривень, другий — купюру в 25 гривень. Касир помилково дав здачу першого другому, а другого — першому. Визначити, скільки коштує блокнот і яку суму перший покупець повинен передати другому?

53. Добуток п'яти послідовних натуральних чисел у 120 разів більший від числа аbаbаb. Знайти ці числа.

54. Добуток трьох послідовних непарних чисел у 5 разів менший від числа bаbаbа. Знайти ці непарні числа.

55. У трицифровому числі закреслили середню цифру. Отримане двоцифро­ве число в 6 разів менше даного трицифрового. Знайти це трицифрове число.