Шкільна математична олімпіада. 8-9 клас

1.Розкрийте магію чисел!

37037 x 1 = 37037 37037 x 3 = 111111	37037 x 2 = 74074 74074 x 3 = 222222	37037 x 3 = 111111 111111 x 3 = 333333
37037 x 4 = 148148 148148 x 3 =444444	37037 x 5 = 185185 185185x 3 = 555555	37037 x 6 = 222222 222222 x 3 = 666666
37037 x 7 = 259259 259259 x 3 =777777	37037 x 8 = 296296 296296 x 3 = 888888	37037 x 9 = 333333 333333 x 3 = 999999

2.Розпізнайте магію чисел!



9 клас

Математична олімпіада № 1

1. Відомо, що в опуклому чотирикутнику значення його кутів ста­новлять ціле число градусів і один з них дорівнює добутку значень трьох інших. Довести, що цей чотирикутник - паралелограм або тра­пеція.

2. У кожній клітинці дошки розміром 9x9 сидить по одному жуку. Щодня всі жуки одночасно переповзають зі своєї клітинки в одну з чотирьох сусідніх (сусідніми називаються клітинки, що мають спіль­ну сторону. При цьому жоден жук не використовує ні напрям, у яко­му він повз учора, ні протилежний напрям. Якщо після переповзання на одній клітинці опиняються декілька жуків, то один залишається, а решта відлітає з дошки. Яка найбільша кількість жуків може залиши­тися на дошці наприкінці 2001-го дня?

3. Два рівних квадрати утворюють при перетині восьмикутник. Дві діагоналі цього восьмикутника поділяють його на 4 чотирикутники. Довести, що ці діагоналі взаємно перпендикулярні.

4. За допомогою якої мінімальної кількості доданків, що містять у своєму записі лише цифри 3, можна отримати в сумі число 111111?

5. Чи існує натуральне число, десятковий запис якого складається тільки з двійок та яке можна подати у вигляді суми кубів деяких трьох послідовних натуральних чисел?

6. В ряд виписано послідовні натуральні числа від 1 до 2000. Двоє грають у таку гру. Вони по черзі вписують між цими числами знак додавання «+» або знак множення «х» (всього буде вписано 1999 зна­ків). Якщо значення одержаного наприкінці виразу буде ділитися на З, то виграє гравець, який робив перший хід. В іншому разі виграє його суперник. Хто з гравців може забезпечити собі виграш? Вказати для нього виграшну стратегію.

7. Довести, що число 19991999 + 19991998 ∙19991999 ∙19992000 є кубом цілого числа.

8. На дошці в рядок записано 1999 натуральних чисел. Довести, що можна витерти одне з них так, що сума чисел, які залишилися, буде парною. Чи правильно це буде для 2000 чисел?

9. Запишемо рівність n - m = k, в якій n, m, k - натуральні числа, причому n - п'ятизначне число. Довести, що в такому запису при­наймні одна цифра повториться.

Математична олімпіада № 2

1. Кожну точку прямої зафарбовано у синій або червоний колір. Довести, що на цій прямій знайдуться три різні точки: А, В, С, що ма­ють один колір і такі, що точка С - середина відрізка АВ.

2. Довести, що число 9999999 + 1999000 - складене.

3. Чи можна в клітинки таблиці 7x7 записати цілі числа так, щоб сума чисел у будь-яких квадратах 2 х 2 і 3 х 3 таблиці ділилась на 1999; а сума усіх чисел таблиці не ділилась на 1999?

4. Чи існує 2000-значне число n, яке є квадратом натурального чи­сла і в його десятковому записі принаймні 1999 п'ятірок?

5. У країні n  міст, розташованих у вигляді квадрата  nхn, причому відстань між сусідніми містами дорівнює 10 км. Міста з'єднані систе­мою доріг, що складається з прямолінійних ділянок, паралельних сто­ронам квадрата. Яка найменша можлива довжина цієї системи доріг, якщо відомо, що з довільного міста можна дістатися до довільного іншого?

6. Знайти всі трійки дійсних чисел х, у, z, що задовольняють умову х+ уz = у + zх = z + ху= 6.

7. Нехай О - центр кола, вписаного у довільний трикутник АВС, S – центр кола, описаного навколо трикутника АОС. Довести, що точки В, О, S лежать на одній прямій.

8. Три цілих числа а, b, с записати в ряд а, b, с. Під цими числами записати нову трійку: а - b, b - с, с - а   і т. д. Довести, що серед чисел рядків, які розташовані нижче від сьомого, не може зустрітись ні 1999, ні 2000.

9. Дано трапецію АВСD, AD || ВС. Відомо, що бісектриса кута АВС перетинає середню лінію трапеції в точці Р, а основу АD - в точці Q. Знайти кут АРQ.

10. Дано 1999 чисел. Відомо, що сума будь-яких 99 з цих чисел  до­датна. Довести, що сума всіх чисел є додатна..