ЗАВДАННЯ 4-етапу Всеукраїнських МАТЕМАТИЧНИХ ОЛІМПІАД

ЗАВДАННЯ 4-етапу Всеукраїнських МАТЕМАТИЧНИХ ОЛІМПІАД

8 КЛАС

1. Коефіцієнти а, b, с рівняння x³ + ах² + bх + с = 0 за абсолют­ною величиною не перевищують числа 1980. Чи може це рівняння мати корінь, більший ніж 1981?

2. Довести, що два прямокутники з паралельними сторонами подібні тоді і тільки тоді, коли одна із діагоналей одного прямокутника па­ралельна або перпендикулярна одній із діагоналей іншого.

3. Довести, що множину чисел 1, 2, 3,..., 1413, 1414 можна роз­бити на групи так, щоб сума чисел у кожній групі дорівнювала 1981.

4. Знайти довжину сторони найменшого квадрата, у який можна помістити без накладання три круги радіусами 1, 2^0,5, 2.

5. Всередині даного кута задано дві точки А і В. Побудувати па­ралелограм, у якого дві протилежні вершини збігаються з точками А і В, а дві інші - лежать на сторонах кута.

6. Чи можна розставити по колу цифри від 0 до 9 так, щоб cума будь-яких трьох цифр, що стоять поряд, не перевищувала: а) 14? б) 15?

7. В автомат кидають мідні монети на суму n копійок. Нехай а_n кількість способів, якими це можна зробити (з урахуванням порядку сліду­вання монет різної вартості). Довести, що останні цифри чисел а_n періо­дично повторюються.

8. Довести, що для будь-яких чисел р і q сума довжин відрізків осі Ох, на яких виконується нерівність |х² + pх + q| =< 2 , не перевищує 4.

Математичний тренінг до  математичних олімпіад

№ 7                                  

1. У Вінні- Пуха є 8 горшків меду вагою 1, 2, 3, …, 8 кг  (на кожному горшку написана його вага), при цьому в один горшок підклали кусок сиру вагою 1 кг. Як за допомогою двох зважувань на терезах без гир знайти горшечок із сиром?

2. Скількома способами можна набрати суму в 10 гривень, користуючись монетами 5 і 10 коп?

3. Місто зветься великим північним, якщо у порівнянні з кожним з інших міст виявиться, що воно або велике або північне. ( або і те, і інше). Аналогічно визначається маленьке південне місто. В тридев’ятому царстві усі міста, крім Казкограду, є і великим північним і малим південним одночасно. Доведіть, що Казкоград – також велике північне і при цьому також мале південне місто.

4. Знайдіть всі цілі корені рівняння ( а : 7)  +(с :13) = 1 : 91.

5. На медогляд прийшли хлопчики вагою 39 кг і дівчатка вагою 40 кг, всього не більше 50 чоловік. Нещодавно вони обіцяли принести на медогляд своїх хом’ячків( кожний хом’ячок вагою 1 кг). На медогляді виявилось, що хлопчики важать у сумі стільки ж, стільки дівчата. Довести, що або хтось із хлопчиків приніс хом’ячка, або дівчатка принесли що найменше 15 хом’ячків.

6. Сума всіх трицифрових чисел без деяких двох в 600 раз більше одного з цих чисел. Знайдіть ці два числа.
7. Дано натуральне число n. Дозволяється стерти в даному числі дві цифри, що стоять поряд і відмінні на 1( наприклад, із 245984 можна отримати 2984 або 2454). Дмитро виконав декілька таких операцій1 і отримав із числа n число 611, а Сашко за допомогою декількох операцій отримав із числа n число 556. Доведіть, що число n містить хоча б дві цифри 6.
8. Хтось купив 30 птахів за 30 монет, сплативши за кожні 3 горобці по 1 монеті, за кожні 2 шпака – теж по 1 монеті, а за кожного голуба – по 2 монети. Скільки куплено птахів кожного виду?
9. Два мільйонера  грають в наступну гру. На столі на початку ігри лежать 1000 купок сірників, по одному сірничку в кожній купці. Гравець може за один хід скласти будь-які дві купки разом, при цьому суперник дає йому стільки гривень, скільки було сірничків у великій купці. Виграє той, хто в кінці гри(коли всі купки стануть однією) отримає прибуток. Хто виграє при правільній грі і який найбільший виграш він може себе забезпечити?

Математичний тренінг № 8

1. На складі стояли діжечки з медом вагою 1000, 1001, …, 2004 грами, при цьому на кожній діжечці було написано його вагу. На склад залетіло декілька джмелів і потонули у діжечках.
2. Сашко написав 26 послідовних натуральних чисел і вибрав десять із них. Сума вибраних чисел виявилася простим числом. Чи може бути так, що сума останніх 16 чисел — також просте число?
3. Кожним пострілом по мішені Федір вибив 8, 9 та 10 очок. Він зробив більше, ніж 11 пострілів і вибив рівно сто очок. Скільки Федір зробив пострілів і з яким результатом?
4. В місто, де проживають тільки рицарі(говорять тільки правду) і брехуни(тільки обманюють), приїхав Фантомас. Деякі жителі поспілкувалися з Фатомасом, а деякі з тих, що поспілкувалися навіть запросили його в гості. На питання «Хто розмовляв з Фантомасом?» позитивно відповіли половина жителів, а на питання «Хто запросив у гості Фантомаса?» — 60% жителів. Кого більше серед тих, хто розмовляв з Фантомасом, але не запросив його в гості, — рицарів чи брехунів?
5. На площині намальовано шість відрізків, при цьому ніякі два з них не лежать на одній прямій. Відмічені всі точки перетину відрізків. Виявилось, що кожна відмічена точка належить рівно двом відрізкам. На першому відрізку відмічено три точки, на другому — 4 точки, на трьох наступних — по 5 точок. Скільки точок відмічено на шостому відрізку?
6. Скільки розв’язків рівняння 19х+96у = 5ху існує в натуральних числах?
7. Сума двох десяти цифрових чисел, записаних тільки одиницями і дев’ятками, починається з двійки. Доведіть, що в запису суми кількість трійок рівно сумі кількості нулів і кількості вісімок.
8. Є  таблиця 2х8( 2- по вертикалі) та карточки з числами від 1 до 16. Двоє гравців по черзі кладуть по одній карточці на вільні клітинки таблиці. Коли всі карточки розкладені, гравці відмічають в кожному стовбці найменше число і знаходять суму усіх відмічених чисел. Якщо ця сума ділиться на 7 — виграє той, хто робить хід першим, а якщо не ділиться, то – його суперник. Хто виграє при правільній грі?
9. Руда містить 40%  домішок, а виплавлений з неї метал — 4% домішок. Чи досить 24 т руди, щоб отримати 15 т металу?
10. До трицифрового числа зліва приписали цифру 3 і воно збільшилося втричі. Яке це число?
11. Яких чисел більше: парних трицифрових чисел, що діляться на 3, чи непарних трицифрових чисел, що діляться на 3?
12.  Цукор подешевшав на 20%. На скільки відсотків більше можна купити цукру на ту ж саму  суму?
13.  На залізниці від Парижу до Києва є 200 вокзалів разом кінцевими. Потяг від Києва до Парижу їде так, що для будь-яких двох вокзалів існує потяг, що зупиняється на них, проте не зупиняється між ними. Яка найменша кількість потягів може ходити по маршруту Париж-Київ?

Математичний тренінг  № 9

1.      Баба доручила діду купити до Нового року 1 торт, 3 пляшки, і 20 фужерів. Замість цього дід на ті ж гроші купив 1 фужер, 3 торти, 20 пляшок. Відомо, що торот дешевше пляшки. Що коштує дорожче, пляшка чи фужер?

2.      На дошці було написане число 141. Кожну хвилину в написаному числі знаходять добуток усіх цифр і отримане число або додають до числа, або віднімають від нього, а результат записують на дошці замість попереднього числа. Довести, що число 141 ніколи не з’явиться на дошці.

3.      Петрик і Василько написали на 100 картках числа від 0 до 99, після чого розділили їх між собою. Кожний з них виклав свої картки на стіл в ряд і отримав  багатоцифрове число. Чи можуть числа Петрика і Василька співпасти?

4.      У кожної  істоти планети БУБАБУ три руки і декілька антен. Кожна така істота взяла за руки трьох інших так, що усі руки виявились зайняті. Згодом з’ясувалось, що у будь-яких двох з істот, що взялись за руки, кількість антен відмінна рівно в 6 раз. Чи може сумарне число антен в  істот планети БУБАБУ дорівнювати рівно 2006?

5.      Чи існує натуральне число N > 20062006 таке, що всі натуральні дільники числа N розбиті на дві групи з рівними сумами?

6.      Гравці ставлять по черзі ферзів на шахову дошку: перший гравець – білих, другий гравець — чорних. Забороняється ставити свою ферзь під бій ферзя противника. Програє той, хто не може зробити свій хід. Хто виграє, якщо правильно гратиме?

7.      Вася написав число,  а згодом побачив, що воно ділиться на свою останню цифру, і Вася знову на неї поділив і так виконував декілька разів. Після 100 ділень Вася отримав 1, при цьому до цього всі результати ділень були більше 1. Яке число у нього могло бути на початку? Знайди всі можливі відповіді і довести, що інших немає.

8. Розвязати рівняння в цілих числах  ху +2у-2х =3

9. Дід Мороз подарував кожному із 102 дітей по 100 цукерок. Цукерки були трьох кольорів: жовті, блакитні і помаранчеві. Довести, що існує дві дитини, у яких набори цукерок або повністю однакові, або повністю різні. Два набори цукерок вважаються рівними, якщо в них порівно цукерок кожного кольору, і повністю різними, якщо ніякого виду цукерок в них не порівну.

10.  Гуртківці розмалювали на пам’ять великий шматок паперу і розрізали його на шматки. Згодом знову кожний шматок паперу вони розрізали на шматки, і так далі. Чи можна усі отримані шматочки розділити порівно між 16 гуртківцями, якщо розрізали кожний шматок або на 3  або  5 частин?