Задачі на дослідження властивостей паралелограма

1.       Чи існує паралелограм, у якого сума двох протилежних кутів  рівна різниці двох сусідніх кутів? Обгрунтуйте свою відповідь.  

Відповідь: Так існує, наприклад паралелограм з кутами: 135⁰, 45⁰, 135⁰, 45⁰. Можливо два випадки: або 2b = b - a ,  або 2b = a -  b.  У першому випадку   отримаємо, b =  - a , що неможливо для додатніх чисел, а у другому випадку отримаємо 3b =   a,  тоді  сума сусідніх кутів паралелограма b + a = 3b + b = 180⁰,  звідки b= 45⁰, a = 135⁰.

2.       У чотирикутника  ABCD протилежні кути рівні: ÐА = ÐС = a,  ÐВ = ÐD = b.  Чи вірно, що у цього чотирикутника сума  будь-яких двох протилежних кутів рівна 180⁰?

Відповідь: Так вірно. Адже ÐА + ÐС = 2a,  ÐВ +ÐD = 2b.  ÐА + ÐС +  ÐВ +ÐD = 2b + 2a = 360⁰. Поділивши на два обидві частини рівності, отримаємо b + a = 180⁰.

3.       У чотирикутника  ABCD протилежні сторони рівні: АВ = СD ,  CВ = AD.  Чи вірно, що у такого чотирикутника сума  будь-яких двох cусідніх кутів рівна 180⁰?

Відповідь: Так вірно. Проведемо діагональ  АС.Тоді  DАВС = DСВА за трьома рівними сторонами.  Отже у цих трикутніків рівні відповідні кути.  А при січній АС маємо рівні різносторонні внутрішні кути, тому АВ½½CD,  CВ½½AD,  отже,  за ознакою паралельності ÐА + ÐD = ÐВ +ÐC= ÐА + ÐB = ÐC +ÐD = 180⁰.

4.       Чи існує паралелограм, у якого сума двох протилежних кутів  у півтори рази менша  різниці двох сусідніх кутів? Обгрунтуйте свою відповідь.

Відповідь: Так існує, наприклад паралелограм з кутами: 144⁰, 36⁰, 144⁰, 36⁰.  Можливо два випадки: або 1,5(2b) = b - a ,  або 1,5(2b) = a -  b.  У першому випадку   отримаємо, 2b =  - a , що неможливо для додатніх чисел, а у другому випадку отримаємо 4b =   a,  тоді  сума сусідніх кутів паралелограма b + a = 4b + b = 180⁰,  звідки b= 36⁰, a = 144⁰.

5.       Чи вірно, що кут між висотами паралелограма, що проведені з вершини тупого кута, дорівнює одному з кутів паралелограма? Відповідь свою  обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно.

6.       Чи вірно, що висота паралелограма, що проведена  з вершини тупого кута, дорівнює одній із діагоналей  паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно, проте не завжди. Наприклад складіть паралелограм з двох рівних рівнобедрених прямокутних трикутників.

7.       Чи вірно, що висота паралелограма, що проведена  з вершини тупого кута, дорівнює одній із сторін паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно, проте не завжди. Наприклад, це виконується, якщо  скласти  паралелограм з двох рівних рівнобедрених прямокутних трикутників.

8.       Чи вірно, що бісектириса паралелограма, що проведена  з вершини тупого кута, дорівнює одній із сторін паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно, проте не завжди. Наприклад, це виконується, якщо  скласти  паралелограм з двох рівних рівносторонніх трикутників.

9.       Чи вірно, що бісектириса паралелограма, що проведена  з вершини тупого кута, перетинає більшу сторону паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно, проте незавжди, у ромба( або квадрата) вона претинає обидві сторони у вершині ромба.

10.   Чи вірно, що діагоналі паралелограма утворюють кути,  які дорівнюють  кутам паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно, проте незавжди, наприклад,  у квадрата дві діагоналі претинаються під прямим кутом.

11.   Чи вірно, що дві бісектириси паралелограма, що проведена  з вершин  тупого і гострого  кута,  перпендикулярні і мають точку перетину  тільки на стороні паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.

Відповідь: Так вірно, проте незавжди, наприклад,  у ромба( або квадрата) бісектриси претинаються всередині ромба.

12.   Чи вірно, що існує безліч різних паралелограмів, у яких рівні сторони, проте не рівні кути.

Відповідь: Так вірно.