Таблиця Вінницького(періоди останніх цифр натуральних степенів)

Основа	2	3	4	5	6	7	8	9
Довжина  двоцифрового періоду  ….аb	20(поч. з 04)	20	10	1	6	4	20	10
Довжина  одноцифрового періоду  ….аb	4	4	2	1	1	4	4	2
Критерій парності двох цифр лишку	k & 2n	2k & 2n+1	k & 2n	2k & 2n+1	2k+1&2n	2k & 2n+1	k & 2n	2k & 2n+1
m1	02	03	04	05	06	07	08	09
m2	04	09	16	25	36	49	64	81
m3	08	27	64	25	16	43	12	29
m4	16	81	56	25	96	01	96	61
m5	32	43	24	25	76	07	68	49
m6	64	29	96	25	56	49	44	41
m7	28	87	84	25	36	43	52	69
m8	56	61	36	25	16	01	16	21
m9	12	83	44	25	96	07	28	89
m10	24	49	76	25	76	49	24	01
m11	48	47	04	25	56	43	92	09
m12	96	41	16	25	36	01	36	81
m13	92	23	64	25	16	07	88	29
m14	84	69	56	25	96	49	04	61
m15	68	07	24	25	76	43	32	49
m16	36	21	96	25	56	01	56	41
m17	72	63	84	25	36	07	48	69
m18	44	89	36	25	16	49	84	21
m19	88	67	44	25	96	43	72	89
m20	76	01	76	25	76	01	76	01
m21	52	03	04	25	56	07	08	09

ТАБЛИЦЯ ВІННИЦЬКОГО

Таблиця лишків за модулем 10 та 100 для натуральних степенів

Отже, можливі тільки такі степеневі двоцифрові лишки  для степенів цифр: 00, 01,  02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 12,16, 21,23, 24, 25, 27, 28, 29, 32, 36, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 52,56, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 72,76, 81,83,  84, 88, 89, 92, 96.

ТЕОРЕМИ  ПРО ОСТАЧІ ПРИ ДІЛЕННІ СТЕПЕНІВ НА НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА.

Варто мати на увазі, що квадрати цілих чисел при діленні на 3 або 4 можуть давати остачі лише 0 та 1, куби при діленні на 9 - лише 0,  1 та 8. (Перевірте це са­мостійно). Подібні факти в поєднанні з вдалим вибором числа, остачі при діленні на яке ми розглядаємо, часто допомагають розв'язуванню. З допомогою такого вдалого вибору можна доводити, що число не є простим, можна розв'язувати рівняння в цілих числах.

Квадратні лишки

Остачі при діленні квадратів на натуральні числа.

Якщо квадрат натурального числа, тобто,  m² = m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1

4, то отримаємо остачі 0, 1;

5, то отримаємо остачі 0, 1, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4;

8, то отримаємо остачі  0, 1, 4;

9, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 7;

10, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 5, 6, 9;

11, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4, 5, 9;

12, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 9;

13, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12;

14, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 4, 8, 9;

15, то отримаємо остачі 0, 1,4, 6,  9, 10;

16, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 9;

17, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 8, 9,15.

Кубічні лишки

Остачі при діленні кубів на натуральні числа.

Якщо куб натурального числа, тобто,  m³ = m∙m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1, 2;

4, то отримаємо остачі 0, 1, 3;

5, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 6;

8, то отримаємо остачі  0, 1, 3, 5, 7;

9, то отримаємо остачі  0, 1, 8;

10, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; 6; 7; 8; 9

Таблиця остач при діленні кубів на цифри

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	0	1	1	1	1	1	1	1	1
23	0	0	2	0	3	2	1	0	8
33	0	1	0	3	2	3	6	3	0
43	0	0	1	0	4	4	1	0	1
53	0	1	2	1	0	5	6	5	8
63	0	0	0	0	1	0	6	0	0
73	0	1	1	3	3	1	0	7	1
83	0	0	2	0	2	2	1	0	8
93	0	1	0	1	0	3	1	1	0

Четвіркові лишки

Остачі при діленні четвертих степенів на натуральні числа.

Якщо четверту степінь натурального числа, тобто,  m⁴ = m∙m∙m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1

4, то отримаємо остачі 0, 1;

5, то отримаємо остачі 0, 1;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 3, 4;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4;

8, то отримаємо остачі  0, 1;

9, то отримаємо остачі 0, 1, 4, 7;

10, то отримаємо остачі 0, 1, 5, 6;

П’ятіркові лишки

Остачі при діленні п’ятих степенів на натуральні числа.

Якщо п’яту степінь натурального числа, тобто,  m⁵ = m∙m∙m∙m∙m, поділити на:

2, то отримаємо остачі 0, 1;

3, то отримаємо остачі 0, 1, 2;

4, то отримаємо остачі 0, 1, 3;

5, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4;

6, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5;

7, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6;

8, то отримаємо остачі  0, 1, 3, 5, 7;

9, то отримаємо остачі  0, 1, 2, 4, 5, 7, 8;

10, то отримаємо остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5; 6; 7; 8; 9.