четвер, 5 березня 2015 р.

Завдання з теми «Паралелограми»

Завдання з теми «Паралелограми»

1.       Чи завжди будь-які чотири точки  на площині являються вершинами паралелограма?
        А) завжди; б) ніколи; в) в окремих  випадках.
2.       На двох паралельних прямих взято чотири будь-які точки так, що можна на цих точках побудувати чотирикутник. Чи завжди ці чотири точки  являються вершинами паралелограма?
А) завжди; б) ніколи; в) в окремих  випадках.
3.       Два відрізки різної довжини в точці перетину діляться навпіл.  На кінцях цих відрізків побудовано чотирикутник. Чи завжди ці  чотири точки  являються вершинами паралелограма?
А) завжди; б) ніколи; в) в окремих  випадках.
4.       Дві паралельні прямі перетинають інші дві парлельні прямі. Чи можна вважати, що утворений чотирикутник являється паралелограмом?
А) не можна; б)так, це завжди паралелограм; в) в окремих  випадках можна.
5.       Взято будь-які два тупих кута і будь-які два гострих кута. Чи можна вважати, що утворений чотирикутник цими кутами  являється паралелограмом?
А) не можна; б)так, це завжди паралелограм; в) в окремих  випадках можна.
6.       Взято два рівних відрізки по  1 м, і два рівних відрізки по 2 м. Чи можна вважати, що утворений чотирикутник цими відрізками  являється паралелограмом?
А) не можна; б)так, це завжди паралелограм; в) в окремих  випадках можна.
7.       На папері взято будь-які три точки. Скількома способами можна вибрати ще одну  точку на цій площині так, щоб утворився паралелограм?
А) жодного; б)так, це одна єдина точка в) можна вибрати трьома способами.
8.       Два рівнобедрених трикутника розмістили на папері так, що утворився чотирикутник. Чи можна вважати, що утворений чотирикутник являється паралелограмом?
А) не можна; б)так, це завжди паралелограм; в) в окремих  випадках можна.
9.       У чотирикутника усі сторони рівні. Чи можна вважати, що цей чотирикутник являється паралелограмом?
А) не можна; б)так, це завжди паралелограм; в) в окремих  випадках можна.
10.   У чотирикутника усі кути рівні. Чи можна вважати, що цей чотирикутник являється паралелограмом?
А) не можна; б)так, це завжди паралелограм; в) в окремих  випадках можна.
11.   У чотирикутника діагоналі в точці перетину діляться навпіл. Чи можна вважати, що цей чотирикутник являється паралелограмом?
А) не можна; б)так, це завжди паралелограм; в) в окремих  випадках можна.
12.   Одна діагональ чотирикутника поділила його на два рівних трикутника. Чи можна вважати, що цей чотирикутник являється паралелограмом?
А) не можна; б)так, це завжди паралелограм; в) в окремих  випадках можна.___________________
13.   Одна діагональ чотирикутника  поділила його іншу діагональ навпіл і перетинає її під прямим кутом. Чи можна вважати, що цей чотирикутник являється прямокутником?
А) не можна; б)так, це завжди прямокутник; в) в окремих  випадках можна.
14.   Відстань між двома паралельними сторонами чотирикутника дорівнює відстані між іншими двома паралельними сторонами чотирикутника. Чи можна вважати, що цей чотирикутник являється ромб?
А) не можна; б)так, це завжди ромб; в) в окремих  випадках можна.
15.   Одна діагональ чотирикутника поділила його два кути навпіл. Чи можна вважати, що цей чотирикутник являється ромбом?
А) не можна; б)так, це завжди ромб; в) в окремих  випадках можна.
16.   Чи рівні два паралелограми, якщо у них відповідно рівні:  сторона і дві діагоналі?
А) не рівні; б)так, це два рівні паралелограми; в) в окремих  випадках  рівні.
17.   Чи рівні два паралелограми, якщо у них відповідно рівні:  дві діагоналі і кут між ними?
А) не рівні; б)так, це завжди рівні паралелограми; в) в окремих  випадках  рівні.
18.   Чи рівні два паралелограми, якщо у них відповідно рівні:  дві суміжні сторони і зовнішній кут?
А) не рівні; б)так, це завжди рівні паралелограми; в) в окремих  випадках  рівні.
19.   Чи рівні два паралелограми, якщо у них відповідно рівні:  дві суміжні сторони і кут між ними?
А) не рівні; б)так, це завжди рівні паралелограми; в) в окремих  випадках  рівні.

Задачі  на властивості паралелограма
20.   Чи існує паралелограм, у якого сума двох протилежних кутів  рівна різниці двох сусідніх кутів? Обгрунтуйте свою відповідь.  
21.   У чотирикутника  ABCD протилежні кути рівні: ÐА = ÐС = a,  ÐВ = ÐD = b.  Чи вірно, що у цього чотирикутника сума  будь-яких двох протилежних кутів рівна 1800?
22.   У чотирикутника  ABCD протилежні сторони рівні: АВ = СD ,  CВ = AD.  Чи вірно, що у такого чотирикутника сума  будь-яких двох cусідніх кутів рівна 1800?
23.   Чи існує паралелограм, у якого сума двох протилежних кутів  у півтори рази менша  різниці двох сусідніх кутів? Обгрунтуйте свою відповідь.
24.   Чи вірно, що кут між висотами паралелограма, що проведені з вершини тупого кута, дорівнює одному з кутів паралелограма? Відповідь свою  обгрунтуйте.
25.   Чи вірно, що висота паралелограма, що проведена  з вершини тупого кута, дорівнює одній із діагоналей  паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.
26.   Чи вірно, що висота паралелограма, що проведена  з вершини тупого кута, дорівнює одній із сторін паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.
27.   Чи вірно, що бісектириса паралелограма, що проведена  з вершини тупого кута, дорівнює одній із сторін паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.
28.   Чи вірно, що бісектириса паралелограма, що проведена  з вершини тупого кута, перетинає більшу тільки сторону паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.
29.   Чи вірно, що діагоналі паралелограма утворюють кути,  які дорівнюють  кутам паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.
30.   Чи вірно, що дві бісектириси паралелограма, що проведена  з вершин  тупого і гострого  кута,  перпендикулярні і мають точку перетину  тільки на стороні паралелограма? Відповідь свою обгрунтуйте.
31.   Чи вірно, що існує безліч різних паралелограмів, у яких рівні сторони, проте не рівні кути.

  1. За якої умови бісектриса кута паралело­грама перетинає більшу сторону паралелограма.
  2. За якої умови точка перетину бісектрис двох кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, належить стороні паралелограма?
  3. За якої умови бісектриси двох кутів пара­лелограма, прилеглих до однієї сторони, ділять протилежну сторону на три рівні частини?
  4. Довести, що бісектриси кутів паралело­грама, прилеглих до однієї сторони, перетина­ються під прямим кутом.
36.   Сторони паралелограма 10 см і 3 см. Бісектриси двох кутів, прилеглих до більшої сторони, ділять протилежну сторону на три відрізки. Знайти їх довжини.
37.   Бісектриси кутів паралелограма, прилег­лих до більшої сторони, поділили його сторо­ну на три відрізки, довжини яких відносяться як 2 : 1 : 2. Обчислити периметр паралелогра­ма, якщо його менша висота дорівнює 3 см, а один із кутів 150°.
38.   Бісектриса кута паралелограма перети­нає сторону під кутом, який дорівнює одному з кутів паралелограма. Визначити цей кут.
39.   Із однієї вершини паралелограма прове­дено висоту і бісектрису. Між ними утворився кут, що на 30° менший за гострий кут парале­лограма. Знайти кути паралелограма.
40.   Довести, що бісектриса кута паралело­грама ділить навпіл кут між висотами, прове­деними з вершини цього кута.
41.   Периметр паралелограма 48 см. Бісект­риса одного з кутів ділить паралелограм на дві частини, різниця периметрів яких 6 см. Знай­ти довжини сторін.
42.   Діагональ паралелограма ділить його кут у відношенні 1 : 3. Знаючи, що довжини сторін відносяться як 1 : 2, знайти кути пара­лелограма.
43.   Периметр паралелограма АВСD  дорівнює 30 см, а периметр трикутника АВС – 20 см. Знайти квадрат діагоналі ВD , якщо АВ-АВ = 5 см.
44.   Сторони паралелограма 7 см і 9 см, а діагоналі відносяться як 4 : 7. Знайти діагоналі паралелограма.
45.   Діагоналі паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а сторони відносяться як 6 : 7. Об­числити периметр паралелограма.
46.   Висоти паралелограма, проведені з вер­шини тупого кута, утворюють кут 30° і дорів­нюють 3 см і 5 см. Знайти периметр паралело­грама.



СКЛАДАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ

Задачі є невід'ємною частиною курсу геометрії в се­редній школі. Розв'язування геометричних задач є прекрас­ною формою повторення та закріплення вивченого теоретич­ного матеріалу. Задачі відіграють важливу роль в справі розвит­ку просторових уявлень, логічного мислення і творчої іні­ціативи учнів.
Для успішного засвоєння курсу стереометрії учні повинні розв'язати достатню кількість стереометричних задач всіх видів: на обчислення, на доведення, на побудову. На жаль, жоден з існуючих задачників з стереометрії не містить по­трібної кількості вправ всіх видів.
Зокрема стабільний задачник з геометрії Н. Рибкіна та­кож не відзначається повнотою. Майже всі задачі цього збір­ника є задачами на обчислення, причому в основному в ході розв'язування задач геометричні   міркування   відіграють другорядну роль, центр ваги перенесено на алгебраїчні перетворення. Задач на побудову дуже мало.
Тому вчитель у процесі роботи не може обійтися яким-небудь одним задачником. Йому доводиться мати справу з кількома посібниками і робити відбір вправ по кожній темі шкільного курсу стереометрії.
Існуючі збірники стереометричних задач (стабільний і додаткові), як правило, містять порівняно невелику кількість вправ до певної теореми, причому вправ так званої «серед­ньої складності». Проте класи бувають підготовлені по-різ­ному, та й в межах одного класу завжди є група учнів, які легко розв'язують задачі середньої складності, але є ті учні, для яких такі задачі (постійно чи протягом певного часу) важкі. Щоб учитель міг проводити індивідуальну роботу з учнями даного класу, міг врахувати рівень підготовки учнів паралельних класів, мав змогу підібрати вправи для повто­рення (вкінці чверті, навчального року) та для контрольних робіт (при багатьох варіантах) і екзаменів, йому доведеться самостійно складати стереометричні задачі до тієї чи іншої теми курсу.
У методичній літературі питання складання задач май­же не висвітлене, тому значна частина учителів перебільшує труднощі, зв'язані з складанням геометричних задач, вважаючи, що це надто складна справа, якою учителеві не варто займатися. Ми дотримуємось іншої думки. Оскільки без складання задач обійтися не можна, то варто обізнатися з прийомами складання задач. Після деякої трену­вальної роботи кожний учитель зможе в більшості випадків скласти потрібні йому вправи.
Нижче автор подає свій досвід складання геометричних задач.
Найчастіше застосовується зміна числових даних або варіювання умови готової задачі.
В деяких випадках зміна числових даних може бути здійснена без особливих обмежень (переведення градусів і мінут в частини прямого кута або в радіани, визначення довжини дуги за її градусною величиною та радіусом, обчислення сторін многокутника за їх відношенням та периметром многокутника і т. д.). Інакше стоїть справа, коли величини, які треба підібрати, зв'язані певними залежностями і повинні задовольняти деякі додаткові умови.
Нехай, наприклад, ми хочемо підібрати числові дані до задачі:  
«Кут між  бічними  ребрами  піраміди МА = а   і МВ =  b дорівнює 60°, а кут між проекціями цих ребер на площину основи піраміди дорівнює 120°. Визначити висоту піраміди».
Розв'язавши задачу в загальному вигляді, знаходимо: Н = ?  Якщо ми хочемо дістати цілочисловий результат (при цілих а та b), то надавати а та b довіль­них натуральних значень не можна. Наприклад, при а = 4, b = 5 дістанемо: Н = ? Але при а = 13, b = 14 матимемо Н = 11.
Такий вдалий підбір числових даних може виявитися щасливою знахідкою, тому бажано добиватися планомірності шукань. Тоді, маючи кілька варіантів числових даних, можна вибирати з них найбільш прийнятні.
При цьому, як правило, слід підбирати дані не до окре­мої задачі, а до групи задач, тобто розглядати в загальному вигляді групу зв'язаних між собою величин: сторони і пло­щу трикутника, сторони та діагоналі паралелограма, вимі­ри та діагональ прямокутного паралелепіпеда і т. д.
В такому випадку робота по складанню задач розпадається на дві частини. Спочатку треба встановити типи задач, які відповідають виучуваному питанню. Нехай, наприклад, ми підбираємо вправи до теореми Піфагора. Мова може йти про 6 лінійних елементів: а, b, с, ас, bc, hс (тобто про кате­ти, гіпотенузу, проекції  катетів на гіпотенузу та про висо­ту, проведену до гіпотенуз!!).  Для розв'язування   трикут­ника досить знати два з цих елементів; тому початковими даними можуть бути:  1) а, b; 2) а, с; 3) b, с; 4) а, hс; 5) b, hс;  6) с, hс; 7) a, ас; 8) а,   bc; 9)  b,  ас;   10)  b, bс;   11) с, ас;   12)   с,   bс;   13)   ас, bc;    14)   ас,   hс; 15) bc, hс.   З цих 15-ти типів треба виключити ті, які повторюють попередні (наприклад b, с принципово не відрізняється від а, с). Тоді залишаться типи 1, 2, 4, б, 7, 8, 13, 14. Це означає, що дані про деякий прямокутний трикутник можуть дати мате­ріал для 8 задач, що відрізняються одна від одної початко­вими даними.



СКЛАДАННЯ ЗАДАЧ НА ПАРАЛЕЛОГРАМИ

У більшості випадків при складанні задач на паралелограми та пара­лелепіпеди з цілими довжинами сторін та діагоналей досить мати паралелограм, у якого тільки сто­рони та діагоналі виражені цілими числами; а чи виражається площа паралелограма раціональним числом чи ні, для автора задачі немає значення.
Наприклад текст задачі «Площі діагональних перерізів та бічна поверхня прямого парале­лепіпеда відповідно дорівнюють 246 см2, 510 см2 та 1092 см2. Знаючи, що площа основи на 972 см2 більша від площі мен­шої бічної грані  паралелепіпеда, знайти його об'єм».
Зважаючи на те, що подібні задачі, в яких можуть бути використані дані про такі паралелограми, досить різнома­нітні, тому таблиця 1 для автора задач стає в нагоді.
Таблиця  1. Таблиця цілочисельних паралелограмів

а
 b
 d1
 d2
4
7
7
9
5
10
9
13
6
7
7
11
6
13
11
17
7
9
8
14
7 11 12 14
7
16 13 21
7 22 21 25
8
9
11
13
8 11
9 17
8 19 15 25
8 27
25 31
9 ІЗ 10 20
9 17
16 22
9
19 20 22
9
22 17 29
10
11
9
19
10 15 11
23
10 15 17 19
10 23 23 27
10 25 19 33
11 12 13 19
11 13 16 18


а
 b
 d1
 d2
11
16 15 23
11
17
 12
26
11
18
19
23
11
23
20
30
11
27
26
32
11
29
30 32
12
 19
 13
 29
13
 14
17
 21
13 16 15 25
13 16 11 27
13 18 19 25
13 19 22 24
13
21 11 32
13
24 23 31
13 26 27 31
13 29 24 38
14 17 21 23
14 23 15 35
14
27 25 35
15
16 11
29
15 20 17 31
15 23 22 32
15 25 26 32

а
 b
 d1
 d2
15 25 26 38
15
 26
 29
 31
16
17
19
27
16
21
13
35
16
 23
27
 29
16
 27 17
 41
17
19
20
30
17
19
12
34
17 20 17 33
17 21 26 28
17 24 19 37
17 26 29 33
17 28 25 39
17 29 18 44
17 30 23 43
18 19 23 29
18
25 23 37
18 29 31 37
19
22 13 39
19 22 27 31
19 23 22 36
19 25 26 36
19
26 15 43

а
 b
 d1
 d2
19 27 32 34
19
 28
 21
 43
19
30
29
41
20
29
31
39
21
22
 25
 35
21
22
13
 41
21
23
28
34
21
25
14
 44
22 29 21
47
22 29 25 45
23 24 19 43
23 24 23 41
23
24 29 37
23 27 20 46
23 28 15 49
23 29 36 38
24 29 25 47
26 29 15 53
27 28 25 49
27 29 32 46
28 29 15 55
28 29 21 53
28 29 35 45



В існуючих збірниках геометричних задач використано незначну частину даних цієї таблиці. Проте вона дає дані для складання, наприклад, таких планіметричних задач:
1.    Одна з сторін паралелограма дорівнює його діагоналі. Знайти цю сторону, якщо друга сторона і друга діагональ відповідно дорівнюють а та b (наприклад, а = 4, b = 9; a = 6, b = 11; а = 10, b = 27; а = 20, b = 33; а = 24, b = 41).
2.    Сторони та діагональ паралелограма становлять ариф­метичну прогресію з різницею а. Знайти сторони (периметр) паралелограма, якщо друга діагональ паралелограма дорів­нює b (наприклад, а = 1, b = 19; а = 11, b = 25; а =  13,  b = 23;  а = 11,  b = 29).
3.    Сторона та діагоналі паралелограма становлять ариф­метичну прогресію з різницею а. Знайти діагоналі (або пе­риметр) паралелограма, якщо друга сторона його дорівнює b (наприклад, а = 4, b = 10; а = 2, b = 8; а = 6, b = 18).
4.    Одна з діагоналей паралелограма є середнє арифме­тичне його сторін, а друга вдвоє більша від однієї з його сторін. Визначити сторони (або діагоналі) паралелограма, знаючи, що периметр його дорівнює 32 см.
5. Знайти діагоналі паралелограма за його сторонами та різницею (або відношенням) діагоналей.
6. Знайти сторони паралелограма за його діагоналями та периметром (або різницею сторін, або відношенням сторін).
7. Діагоналі паралелограма АВСD перетинаються в точці О. Знайти діагоналі паралелограма, якщо периметри трикутників АBО і ВСО та периметр паралелограма відпо­відно дорівнюють Р1, Р2 та Р3 (наприклад, 16 см, 21 см та 30 см; 20 см, 27 см та 38 см; 3 дм   4 дм та 56 см і т. д.).
9. Одна з діагоналей паралелограма більша від сторін його відповідно на а та b, але менша від другої діагоналі на с. Визначити сторони (або периметр, або діагоналі) пара­лелограма.
10. Бісектриса внутрішнього кута паралелограма поділяє одну з його сторін на відрізки по 5 дм, а діагональ - на відрізки 3 дм та 6 дм. Визначити другу діагональ парале­лограма.
Таблицю 1 зручно використовувати і при складанні задач на медіани трикутника.
В стереометрії таблицю 1 використовують для складан­ня задач на прямі паралелепіпеди. Справа в тому, що, як легко показати, між площами бічних граней і площами діагональних перерізів паралелепіпеда існує таке саме спів­відношення, як між сторонами і діагоналями паралелогра­ма. Тому цілком доречні, наприклад, такі задачі.
1.    Площі двох бічних граней паралелепіпеда дорівнюють 45 см2 та 65 см2, а площі діагональних перерізів відносять­ся, як 1:2. Визначити площі діагональних перерізів.
2.    Площі діагональних перерізів паралелепіпеда дорів­нюють 162 см2 та 186 см2. Знайти бічну поверхню паралеле­піпеда, знаючи, що одна з бічних граней в два рази більша від суміжної бічної грані.
3.    Площі бічних граней трикутної призми дорівнюють 85 см2, 95 см2 та 1 дм2. Знайти площу перерізу, проведеного через центр більшої бічної грані та протилежне бічне ребро.
Але таблиця 1 дає матеріал і про діагоналі прямого па­ралелепіпеда. Розглянемо, наприклад, таку задачу: «Визна­чити бічну поверхню прямого паралелепіпеда, у якого діа­гоналі дорівнюють m та n, а сторони основи а та b». Нехай ми вибрали за основу паралелепіпеда паралелограм, сторони якого дорівнюють 11 см та 16 см, а діагоналі 15 см та 23 см. Тоді m2 - m2 = 232 - 152 = 304, тобто (m + n)(m - n) = 304. Припустивши, наприклад, що m + n дорівнює 76, знаходимо: m - n = 4, тобто m = 40, n = 36. Правда, при такому підборі, як правило, висота паралелепіпеда виражається ірраціональним числом. Якщо цього бажають уникнути, то, вибравши основу паралелепіпеда, надають його висоті такого значення, щоб одна з діагоналей вира­жалась цілим числом. В розглянутому прикладі, поклавши висоту паралелепіпеда H = 20 см, дістанемо для діагоналей паралелепіпеда значення 25 см та 29 см.
При складанні задач на прямокутні паралелепіпеди використовується таблиця 2, що дає матеріали про виміри та діагональ прямокутного паралелепіпеда. Як відомо, між цими величинами існує залежність а2 + b2 + с2 = d2. Тому таблицю 2 можна використовувати в усіх випадках, коли між величинами, що входять в умову задачі, існує таке співвід­ношення.



Таблиця 2. Цілі довжини вимірів і діагоналей прямокутного паралелепіпеда

а
1
2
4
1
2
6
3
2
1
8
1
6
6
4
4
4
8
3
3
b
2
3
4
4
6
6
4
5
12
9
6
6
10
5
8
13
11
6
14
с
2
6
7
8
9
7
12
14
12
12
18
17
15
20
19
16
16
22
18
d
3
7
9
9
11
11
13
15
17
17
19
19
19
21
21
21
21
23
23


(Продовження табл. 2)

а
6
9
12
2
2
2
7
10
3
11
12
5
6
6
14
1
4
8
8
b
13
12
15
7
10
14
14
10
16
12
16
6
14
21
18
8
7
8
20
с
18
20
16
26
25
23
22
23
24
24
21
30
27
22
21
32
32
31
25
d
23
25
25
27
27
27
27
27
29
29
29
31
31
31
31
33
33
33
33

а
1
6
15
3
3
8
12
2
2
10
13
14
19
4
4
9
12
23
b
18
10
18
8
24
24
21
19
26
14
14
22
22
12
24
24
24
24
с
30
33
26
36
28
27
28
34
29
35
34
29
26
39
33
32
31
24
d
35
35
35
37
37
37
37
39
39
39
39
39
39
41
41
41
41
41


Деякі дані таблиці 2 можна використовувати при скла­данні задач на правильні чотирикутні призми (наприклад, а = 2, H = 1; а = 4, H = 7; а = 6, H = 7; а = 12, H = 1; а = 6, H = 17; а = 10, H = 23; а = 8, H = 31; а = 24, H = 23). Оперуючи двома з трьох величин (а - сторона основи, H - висота, d - діагональ призми), можна скласти ряд задач на визначення поверхні або об'єму пра­вильної  чотирикутної  призми.
Часто таблицю 2 використовують для задач на перетин прямого тригранного кута площиною. Відомо, що коли пло­щина перетинає ребра прямого тригранного кута М в точках А, В та С, то сума квадратів площ трикутників МАВ, МАС та МВС (так званих граней-катетів) дорівнює квадрату пло­щі трикутника АВС (так званої грані-гіпотенузи).
Якщо прийняти величини a, b та с з таблиці 2 за площі граней-катетів, то величина d відповідатиме площі грані-гіпотенузи. Нехай ми, наприклад, вирішили використати такі дані: а = 1, b = 4, c = 4, d = 9. Позначимо відрізки ребер МА = х, МВ = у, МС = z. Дістанемо систему рів­нянь: ху = 2, хz = 8, уz = 16. Ця система має такі додатні розв'язки:   х = 1 ,   у = 2,   z = 8.
Матимемо задачу: «Виміри прямокутного паралелепіпе­да дорівнюють 1 см, 2 см та 8 см. Обчислити площу перерізу, проведеного через кінці трьох ребер паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини (або мають спільну точку)». Звичайно, можна було б сформулювати умову задачі і без­посередньо для прямого тригранного кута: «Площина відтинає на ребрах прямого тригранного   кута відрізки в 1 см, 2 см та 8 см. Обчислити площу перерізу».
Трохи складнішою буде умова задачі в такій редакції:
«Площина відтинає на ребрах прямого тригранного кута відрізки, що відносяться, як 1: 2: 8. Знайти величини відсі­чених відрізків, якщо площа перерізу дорівнює 225 см2».
Аналогічно можна скласти задачі, в яких треба знайти відстань від вершини прямого тригранного кута до площини перерізу, площі проекцій граней-катетів на грань-гіпотенузу тощо.
Але можна використовувати дані таблиці 2 і без до­даткових обчислень. Для задачі: «Площі трьох граней пря­мокутного паралелепіпеда дорівнюють 6 дм2, 32 дм2 та 48 дм2. Обчислити площу перерізу, проведеного через кінці трьох ребер, які виходять з однієї вершини», дані взято безпосередньо з таблиці 2 (їх збільшено в два рази).
Крім наведених вище двох таблиць, учителеві, який складає геометричні задачі, можуть стати в пригоді, взагалі кажучи, і деякі інші таблиці. Проте досвід показує, що наведені 2 таблиць мають найбільше застосування. Це не означає, що не варто готувати даних про інші фігури або інші співвідношення.  Пояснимо це на прикладі.
При вивченні піраміди корисно розв'язати задачу: «Основою піраміди є трикутник з сторонами а, b та с; бічні грані піраміди утворюють з площиною основи кути по 45°. Знайти бічну поверхню піраміди». Задача цікава ще й тому, що учні звичайно готові задовольнитися однією відповіддю (вважаючи, що основа висоти піраміди ле­жить в межах основи піраміди) замість чотирьох.
Щоб дістати відповідь у цілих числах (при цілих а, b та с), треба підібрати а, b та с так, щоб площа основи вира­жалася числом виду М2. Якщо маємо на увазі розв'я­зати кілька задач цієї групи, то корисно скласти табличку.
Нижче подано таку табличку (таблиця 3) для сторін, які не перевищують 20.
Таблиця 3
6     7       9      
10   11     17    
14   11     35    
18   19     14
20   42     42    
30   2       55
17   6        17
17   9        18
12   10       30
Проте ця таблиця застосовується значно рідше, ніж перші дві таблиці, яких, як показує досвід, цілком дос­татньо для складання стереометричних задач.
Наведені в цьому розділі приклади показують, як за до­помогою підготовлених таблиць складати варіанти задач на обчислення. Проте було б помилкою вважати таблиці тільки джерелом матеріалу для складання задач на обчислення, для складання варіантів існуючих задач. Як ми вже бачили, ви­вчення матеріалів таблиць може дати і нові задачі, не анало­гічні вже відомим задачам. До того ж ці задачі можуть бути вправами не тільки на обчислення, а й на доведення.
Зауважимо, що іноді підбір даних для варіювання умови задачі може бути здійснений і без попереднього складання таблиць.
Розглянемо, наприклад, задачу № 24 з § 1 задачника з геометрії Н. Рибкіна (ч. II): «З вершини А прямокутника АВСD проведено до його площини перпендикуляр АК, кінець К якого віддалений від інших вершин на 6 см, 7 см і 9 см. Знайти довжину перпендикуляра АK». Цю саму за­дачу ми зустрічали і в нших бірниках задач з тими самими числовими даними (або   з буквеними даними).
Можна подумати, що важко підібрати інші числові зна­чення для відрізків КВ, КС та DK. Але це не так. Саме в даному випадку підбір числових даних значно простіший, ніж в розглянутих вище прикладах. Маємо: КА2 + КС2 = КВ2 + КD2, і, отже, досить знайти дві пари натуральних чисел, суми квадратів яких рівні між собою. Н. Рибкін ви­ходив з чисел 2 і 9, 6 і 7, але вони навіть не є найменшими можливими.
Таблиця для цілих довжин сторін прямокутного трикутника дає готові пари чисел, бо в неї внесено і три­кутники, гіпотенузи яких рівні між собою. Дістаємо зразу три групи пар чисел: 16 і 63,    33 і 56;   13 і 84;  36 і 77;    17 і  144;   24 і  143.
Зрівнювання гіпотенуз, аналогічне до здійснюваного нами при підборі даних про вписані чотирикутники, дає такі пари чисел: 7 і 24, 15 і 20; 25 і 60, 39 і 52; 13 і 84, 51  і 68 і т. д.
Чимало прикладів можна знайти в таблиці 1. Розгля­немо паралелограми, які мають однакові сторони і відріз­няються лише діагоналями. Дістанемо з таблиці 1 такі пари чисел: 11 і 23, 17 і 19; 12 і 4, 20 і 30 (можна зменшити числа вдвоє, але ми не міняємо табличних даних); 13 і 39, 27 і 31 і т. д. 
3. Вимірювання відрізка (сумірного або несумірного з одиницею).   Відношення двох відрізків.
Серед вправ, які даються на іспитах з геометрії у 8 класі, ми щороку вмішаємо 1-2 вправи на знаходжен­ня спільної міри або з'ясування несумірності двох відріз­ків. Учні успішно розв'язують ці вправи.
Проте ми не обмежуємося вказаним матеріалом. В IX класі при проходженні теми «Правильні многокутники» ми даємо учням завдання, зв'язані з питанням про несу­мірність відрізків.
№ 28. Чи сумірні сторона і діагональ правильного п'я­тикутника? (Задача зводиться до першого прикладу несу­мірності відрізків).
№ 29. Чи сумірні сторона і апофема правильного восьми­кутника? (Задача зводиться до другого прикладу несумір­ності відрізків).
№ 30. Чи сумірні сторона і діагоналі правильного шес­тикутника?
№ 31. Чи сумірна сторона і апофема правильного двана­дцятикутника?
Дві останні вправи зв'язані з третім прикладом несу­мірності  відрізків і  через це розглядаються на  гуртку.

Такі вправи полегшують розгляд питання про ірраціо­нальність відношення довжини кола до діаметра.
Опубліковано о

Немає коментарів:

Дописати коментар

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)