Комбіновані способи розкладання на множники

Є багато таких многочленів від декількох змінних, розкладання яких на множники вимагає неабиякої кмітливості.

Наприклад, розкласти на множники многочлен (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³

Розв’язання: 1 спосіб:

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = ((a – b)³ + (b – c)³) + (c – a)³ =

= ((a -b) + (b - c))((a - b)² - (a - b) (b - c) + (b- c)²) + (c – a)³ =

= (a – c)((a-b)²-(a-b)(b-c) + (b-c)² )-(a-c)³ =

= (a – c)((a – b)² – (a – b)(b – c)+(b – c)² – (a – c)²) =

= (a – c) (a² – 2ab + b² – ab + ac + b² – bc + b² – 2bc + c² – a² + 2ac – c²) =

= (a – c)(3b² – 3ab + 3ac – 3bc) = 

= 3 (a – c)(b² – ab + ac – bc) =

= 3(a – c)((b³ – ab ) – (bc – ac)) =

= 3(a – c) (b(b – a) – c (b – a)) =

= 3(a – c)(b – a)(b – c) =

= 3 (a – b)(b – c)(c – a).

Набагато простіше і природніше таке розв’язання:

2 спосіб:

(a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ =

a³ – 3a²b + 3ab² – b³+ b³ – 3b²c + 3bc² – c³ + c³ – 3c²a + 3ca² – a³ =

= -3a²b + 3ab² – 3b²c + 3bc² – 3c²a + 3ca² =

=  -3ab(a – b) + 3c(a² – b²) – 3c² (a – b)  =

= 3(a – b)((a + b)c – ab – c²) = 3(a –b)(a(c – b) + c(b – c)) =

= 3(a – b)(b – c)(c – a).

Пропонуємо розглянути  такі приклади:

1. a⁴ + 4 = a⁴ + 4a² + 4 – 4a² = (a² + 2)² – 4a² = (a² – 2a + 2)(a² + 2a + 2);

2. a⁴ + a² + 1 = a⁴ + 2a² + 1 – a² = (a² + a + l)(a² – a + 1);

3. а⁵ + a +1 = a⁵ + a⁴ – a⁴ + a³ – a³ + a² – a²  + a + 1 =

= (a⁵ + a⁴ + a³) – (a⁴ + a³ + a²) + (a² + a + 1) = (a² + a + l)(a³ – a² + 1);

4. a¹⁰ + a⁵ + 1 =

(a¹⁰ + a⁹+ a⁸) – (a⁹ + a⁸ + a⁷) + (a⁷ + a⁶ + a⁵) – (a⁶ + a⁵ + a⁴) +

+ (a⁵ + a⁴ + а³) – (a³ + a² + a) + (a² + a + 1) =

= (a² + a + 1)(a⁸ – a⁷ + a⁵ – a⁴ + a³ – a + 1);

5. a³ + b³ + c³ – 3abc =

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + c³ – 3abc –3a²b – 3ab² =

= ((a + b)³+ c³) – 3ab(a + b + c) =

= (a + b + c)(a² + 2ab + b²  – ac – bc + c²) –3ab(a +b + c) =

= (a + b +  c)(a³ + b³ + c² – ab – ac – bc).

Варіант  1

1.  Записати вираз у вигляді многочлена:

1) (4х + 3)(4х - 3);   (5b + 7a)(5b – 7a); 

2) (5m –9k)(5m +9k); (5k- 9m)(5k +9m);

3) (n - 2)²;    (3а + 7b)²;   (2zy – 3x)²;

4) (6а + 7b)²;  (2x - 4y)²;  (3bc + 7ad)²;  

5) (n - 3)(n² +3n + 9);  (2а – 3b)³;  

6) (8k + 2)(64k² – 16k + 4);  (5d - 4b)³;  

7) (13x⁵-17z³)²;    (15x⁵+ 27z³)²;

8) (64m¹²- 16n⁶)(9m³ + 16n⁶);

9) (36z² - 64x⁶)²(36z² + 64x⁶)².

2. Розкласти на множники:

1) 1- m²; k² -25; 49n² – 0,04;  0,09a² – 4b²; 

2) m² – 2mу + у²;    4n² + 12nb + 9b²;

4) 0,09n² - 0,25m²;  81n¹² –256m²⁴ ;

5) 16x⁴ + 8х²  +1;  a⁴ – b⁴ ;   n⁶ – m⁹ ;

6) n³ - 0,008с³;     0,064m³ + 0,027k³.

7) 64x³ - 27z³;    1000m³ + 216n³; 

8) 27m³ + 0,001n⁶;  125m⁹+ 0,001n⁶;

9) 36z⁴-36x²y + 9y², 27y³x⁷ -729x⁴

3. Спростити вираз

(k² + 5)² + (k² - 4)(k²+ 4) - (k² - 6)(k² + 6).

4.        Розкласти  на множники:

1) 3k² – 3m² + 4(k + m)² + 7k³ + 7m³;

2) 5n³  + 5b³ + 6nb(n +b) +2n²  - 2b²;

3) x³ – 4x² + 20x – 125.

5. Розв'язати рівняння: 9a² - 0,36 = 0;  

1) 9x³ -729x = 0;    64y⁴ -16y² = 0;

2)(x – 7)² = - 3 + (x – 2) (x + 2); 

3)(x² +1)² – 4x² = (x – 1)²(x +1)².

6.  Доведіть, що при будь-якому  натуральному

значенні змінної  вираз:

1)      (m + 1)² – (m - 1)² ділиться на 4;

2)      (2m + 3)² – (2m- 1 )² ділиться на 8.

7.  Відомо, що x+ y = 2, xy = - 3. Обчислити

1) yx² +xy²;  y²x⁴ + x²y⁴; x³ + y³;  x² + y²;

2) x ⁶ + y⁶; (x  + y)³; (x – y)³; уx³ + хy³.