Способи розв'язання найпростіших
нелінійних діофантових рівнянь:
Про довільне нелінійне діофантове рівняння не можна сказати чи має воно цілі корені, чи не має, однак ця проблема існування цілих коренів лінійного діофантового рівняння розв’язана.
Історичні
відомості
Неповні квадратні рівняння та деякі види
повних квадратних рівнянь
(x2 ± х = а)
вавилонські математики
вміли розв'язувати ще 4 тис. років тому. У більш пізні часи деякі квадратні
рівняння вміли розв'язувати геометрично математики у Давній Греції та Індії.
Прийоми розв'язування деяких квадратних
рівнянь без застосування геометрії виклав давньогрецький математик Діофант
(III ст.).
Багато
уваги квадратним рівнянням приділяв арабський математик Мухаммед аль-Хорезмі (IX ст.). Він показував
прийоми розв'язувань (для додатних а, b, с) рівнянь видів
ах2
= bх,
ах2+bx = с,
ах2 + c = bx,
bх + с = ах2
і знаходив додатні корені
цих рівнянь.
Формули, що виражають
залежність коренів квадратного рівняння від його коефіцієнтів, вивів
французький математик Франсуа Вієт у 1591 році. Його висновок (у
сучасних позначеннях) виглядає так: «коренями рівняння (а + b)х - х2 =аb є числа а і b».
Після праць
нідерландського математика Анрі Жірара (1595-1632), а також француза Рене
Декарта (1596-1650) та англійця Ісаака
Ньютон (1643-1727)
формула коренів квадратного рівняння набула і сучасного вигляду.
Спосіб оцінок знизу і зверху алгебраїчного виразу для знаходження розвязків діофантових рівнянь.
Розв′язати в натуральних числах рівняння:
Для знаходження розв’язків діофантових рівнянь використовують такі способи:
1)Спосіб розкладу на множники.
2)Спосіб оцінок та обмежень знизу та зверху виразів та унікальних
комбінацій із невідомих. Використання класичних та узагальнених нерівностей
вигляду Коші, Шварца, Гельдера та інших.
3)Метод параметризації. Розгляд рівнянь з багатьма змінними як
рівняння степеневого рівняння з параметрами. Вираження однієї змінної як
лінійної комбінації інших. Наприклад. х= ky; х= k+y; х= ny+m.
4) Метод конгруенцій. Пошук множини остач для лівої і правої
частини рівності.
5) Метод математичної індукції.
6) Метод скінченого спуску, метод Ферма.
Спосіб оцінок знизу і зверху алгебраїчного виразу для знаходження розвязків діофантових рівнянь.
Розв’язати в цілих числах
х(х+1) (х+7) (х+8) = у2.
Вказівка.
х(х+1) (х+7) (х+8)= х(х+8)
(х+1)(х+7) =
=(х2+8х) (х2+8х+7)=
z(z+7), z
= х2+8х
z>9
(z+3)2 =z2+6z+7< z2+7z<
z2+6z+16<(z+4)2
Між двома послідовними цілими
квадратами не існує квадрату цілого числа.
Тому розглядаємо
випадок х2+8х =z<=9.
Варто розглянути такі рівняння:
х2+8х =-9;
х2+8х =-8;
х2+8х =-7;
х2+8х =-4;
х2+8х =-1;
х2+8х =0;
х2+8х =1;
Отримаємо розв’язки: (-9;-12), (-9; 12), (-8;0), (-7;0),
(-4; 12), (-4;-12), (-1;0), (0;0), (1; 12), (1;-12).
Розв’язати в цілих числах
х6+3х3+1= у4.
Вказівка. х>0
Оцінимо зверху та знизу:
(х3+1)2 = х6+2х3+1< х6+3х3+1=у4< х6+4х3+4<( х3+2)2
Між двома послідовними цілими
квадратами не існує квадрату цілого числа.
(х3+1)2
<
у4 <( х3+2)2
х3+1< у2 < х3+2
Аналогічне протиріччя
отримуємо, для х>-1.
(х3+2)2 = х6+4х3+4< х6+3х3+1=у4< х6+2х3+1<( х3+1)2
-(х3+2)2 < у4 <-( х3+1)2
|х3+2|= -(х3+2)< у2 < -(х3+1)= |х3+1|
Це не виконується для цілих у.
Якщо х= -1, то у4 =-1. Немає розв’язку.
Якщо х= 0, то у4 = 1. Отже (0;-1), (0;1).
Розв′язати в натуральних числах рівняння:
2x +1= y2
Вказівка: Розглянемо функції: f(n)= 2n +1 таf(n)= n2.
Графіки цих двох функцій перетинаються в двох точках, одна із яких має натуральні значення координат точки, це точка (3; 9), а інша таких немає.
21+1=3;
22+1 =5;
23+1 =9=32 .
2p =(y +1)(y-1), а це можливо, якщо у=3,
отримаємо 23 =(3 +1)(3-1)=4*2.
2m +1m =(2 +1)( 2m-1 +2m-2 …+1)=3n.
Відповідь: х=3, у=3.
Розв′язати в натуральних числах рівняння:
a2+b2+c2 =59n .
Вказівка: 72+32+12 =59.
592 =(72+32+12)(72+32+12)=59*59=502 +302+92.
(50k2+9)2=2500k4+900k2+92= (50k2)2 +(30k)2+ 92.
(7*59(n-1):2) 2+(3* 59(n-1):2 )2+(1*59(n-1):2)2=59n.
Одна із трійок буде такою
a= 49*59(n-1):2
b= 9*59(n-1):2
c= 1*59(n-1):2,
де n- натуральне число.
Розв′язати в натуральних числах рівняння:
1.a2+b2+c2 =38n
2.a2+b2+c2 =74n
3.a2+b2+c2 =77n
Розв′язати
рівняння в цілих числах.
1.хk + уk = zk+1
Вказівка.
Поділити все рівняння на zk. І обгрунтувати, що х=z та z=y.
Відовідь:
(2; 2; 2), якщо k-
додатне ціле число.
2.х-k + у-k = z1-к
Вказівка.
Поділити все рівняння на zk. І обгрунтувати, що х=z=y=2.
3.xy = уx
Вказівка.
Поділити все рівняння на yx. І обґрунтувати монотонність
лівої частини рівняння, тому х=m та y=m, тобто (m; m), де m - ненульове ціле число.
4.
(х - у)2 = х + у
Вказівка.
Запропонувати
заміну у рівнянні на х – у = n. І обгрунтувати, що х + y = n2. Розв′язати
систему двох лінійних рівнянь відносно невідомих.
5.(ху - 7)2 = х2
+ у2
Вказівка.
Запропонувати
заміну у рівнянні на ху – 7 = n. І обгрунтувати, що х + y = (n -7)2. Розв′язати
систему двох лінійних рівнянь відносно невідомих.
Відовідь:
(3; 4), (4; 3), (7; 0), (0; 7).
6. х2 = x
- y
Вказівка.
Запропонувати
заміну у рівнянні на х-у = n. І отримати, що х2 = n. Розв′язати систему двох лінійних рівнянь відносно невідомих.
7. х2у3= х4у5
Вказівка.
(0;0),(-1;-1). (1;1),( 1;-1),(-1; 1)
Запропонувати поділити
рівняння на х2у3. І отримати, що х2у2= 1. Розв′язати рівняння ху= 1 ху= -1 двох лінійних рівнянь відносно невідомих.
8. х2 + у2 = х3 + у3
Вказівка. у3 -
у2 = х3 - х2 ; у2(у – 1)= х2(х – 1);
у2(у
– 1)/х2(х
– 1) =1; тому розглянути випадки:
a) у2(у – 1)=0; b)у2(у – 1)=1; c)y=m;
9. х2у2= х7у7
Вказівка. х5у5 =1; ху=1. Отже пара цілих чисел: (m; m), де m – ціле число.
10. х2 + у2 + z2= хy + уz + zx
Вказівка. Помножити рівняння на два і виділити повні
квадрати. Тоді (х-у)2 + (у-z)2 + (x-z)2 =0; звідки z =n. Отже трійка чисел: (k; k; k), де k – ціле число.
11.хy + уz + zx=1
Вказівка. Якщо х = k; y = 1-k; Тоді k(1-k) + (1-k)z + zk =1; звідки z =1-k+k2.
Отже трійка чисел: (k; 1-k; 1-k+k2), де k – ціле число.
12.х3
+ у3 + z3=0
Отже
трійка чисел: (k; -k; 0), (-k; k; 0), (0; -k; k), (0; k; -k), (-k; 0; k), (k; 0; -k), де k – ціле число.
13.хy + уz + zx=0
Вказівка.
Повним перебором усіляких трійок (k; m; n), де цілі значення : -1,
0 та +1, отримаємо: (0; 1; -1), (-1; 0; 1).
14.хy + уz + zx=1
Вказівка. (1; 1;
-1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1).
15.хy + уz + zx=2
Вказівка. (-1; 0; 1), (1; -1; 0), (0; 1; -1),
16.хy + уz + zx=3
Вказівка. (1; 1; 1), (1; 0; 2), (2; 1; 0), (0; 2; 1).
17.
х2 + у2 + z2= х3 + у3 + z3
18.
х2у2z2= х3у3z3
19.
х3 +2у3 = 4z3
20. х3 - у5 = 4(x+y)2
21. х5 – у2 = 4
22. х2(y-1) – у2(x-1) = 1
23. (-х2 +у2 – 4)(x+1) = х2
Вказівка.
Так як числа х2 та x+1 взаємно прості, то треба
розглядати випадки: а)х2=x+1; б) -х2=x+1; в) x+1=1; г) x+1=-1
та підставити ці значення у дане
рівняння.
24. (y2+х) (x2+у) = (х-у)3
Вказівка.
Так як число x-у = n - ціле, то треба
розглядати випадки: а) x-у = 0; б) x-у = 1; в) x-у =-1; г) x-у = n та
підставити ці значення у дане рівняння.
Відповідь:
(0;0), (-1;-1), (n;0).
25.
х2 +у3 +z5= t7
Вказівка.
НСК(2;3;5;7)=210. Однак:128=27. 102 +33 +15= 27 . Оскільки, 210:2=105, тому х=10n105k;
Оскільки, 210:3=70, тому у=3n70k;
Оскільки,
210:5=42, тому z=1n42k;
Оскільки,
210:7=30, тому t=2n30k;
Відповідь:
(0; 0; 0; 0), (10n105k; 3n70k; n42k; 2n30k)
(-10n105k; 3n70k; n42k; 2n30k), n, k –цілі числа.
Цілочисельна функція
F(n, k) = [|n|/n] k
Значення
функції F(n, k)
F(n, k) = [|n|/n] k=1,
якщо n – ненульове ціле число, k- парне ціле число або якщо m – додатне ціле число, р- ціле
число.
F(n, k) = [|n|/n] k= -1, якщо n – від′ємне
ціле число, k- непарне число.
Розв′язати
рівняння в цілих числах.
[|n|/n] k = 1
Відовідь:
(m; p), де m – додатне
ціле число, р- ціле число.
(s; t), де s – від′ємне ціле число, р- парне
ціле число.
[|n|/n] k =
-1
Відовідь:
(m;
p), де m
–
від′ємне ціле число, р- ціле число.
[-|n|/n] k =
1
Відовідь:
(m;
2p), де m–
ненульове ціле число, р- ціле число.
[-|n|/n] k = -1
Відовідь:
(m; 2p-1), де m
–
додатне ціле число, р- ціле число.
[-|n|/n] k =
[-|k|/k] n
Відовідь:
(m;
m), де m
–
ненульове ціле число,
[-|n|/n] k = [|k|/k] n
Відовідь:
(m;
2m), де m
–
ненульове додатне ціле число,
(2m; m),
де m – ненульове від′ємне ціле
число.
Завдання
1. Розв'яжіть рівняння у цілих числах:
а) х4 – у2 = 0; б) х3у3 - 25ху = 0; в) 20х3
= 5у4;
г) 2х3 = 50у; д) (3х + 3)2 = (5у + 5)2 ; е) (х - 3)2 = у2
-9.
2. Розв'яжіть рівняння способом
заміни у цілих числах:
а) х4 – 8у2 + 16= 0; б)16х3
- у6 = 0;
в) (у + 1)(х + 2)(х +
3)(у + 4) = 24; г)(у2 + у + 2)(х2
+ х + 3) = 72.
3. Добуток двох натуральних
чисел, одне з яких на 6 більше від другого, дорівнює 187. Знайдіть ці числа.
4. Друкуючи кожен день на три аркуші
більше, ніж планувалося, друкарка закінчила роботу обсягом 60 аркушів на 1 день
раніше строку. Скільки аркушів планувалось друкувати кожен день?
5. Розв’язати
біквадратні рівняння в цілих числах:
1. а4 + 7а2 – 8 = 0; 2. b4 + b2 - 2 = 0; 3.
y4 – 13y2 + 36 = 0; 4.
z4 – 26z2 +25
= 0; 5. х4 -20х2 +10 = 0; 6. m4 – 4m2 – 45
= 0; 7. n4 + 6n2 – 35=
0; 8.
2k4 -5k2 + 2 = 0; 9. 3х4 -10х2
+3= 0; 10.
7х4 + 23х2 + 3 = 0; 11. 16 х4 -24х2 +9 = 0; 12.
25х4 -20х2 +4 = 0; 13. х4 + 8х2 +15 = 0; 14. х6 + 28х3 + 27 = 0; 15. х6+16х3+64 = 0.
6. Розв’язати
рівняння cпособом заміни в цілих числах:
1. (a2 + 5a + 2)(a2 + 5a – 1) = 28; 2. (k2 –
4k - 2)(k2 –
4k + 1) = 18; 3. (y2
+ 2y - 1)(y2 = 2y + 1) = 15; 4. (х2 – 4х
+ 1)(х2 – 4х – 1) = 24; 5. (х2 + 4х - 2)(х2 + 4х + 3) = 24; 6. (х2 – 5х - 4)(х2
– 5х - 3) = 12.7. (х2 + 6х + 6)(х2 + 6х + 5) = 30; 8.
(х2 + 7х + 7)(х2 + 7х + 8)
= 56; 9.
(n2 –
9n -7)(n2 – 9n -6) = 42; 10. (n2 –
3n + 1)(n2
– 3n + 2) = 20; 11. (х2 – 5х + 8)(х2
– 5х + 9) = 72; 12. (х2 + 3х
- 2)(х2 = 3х + 2)
= 12.
7. Розв’язати рівняння cпособом заміни в цілих числах:
1. (х2 – 5х)2
+ 3(х2 – 5х) = 28;
2. (z2 – z)2 - 4(z2 – z) + 7 = 3; 3. (y2 + 2y)2 - 12(y2 + 2y) + 36 = 0; 4. (z2 –
4z)2 + 8 (z2
– 4z) – 15 = 0;
5. (х2 – 4х)2 - 16(х2
– 4х) + 88= 24; 6. (х2 – 5х) - 20(х2 – 5х) - 2 = -12.7. (n2 –
6n)6 –9 (n2 – 6n)3 + 10 = 2; 8. (х2 – 7х)6 + 28(х2 – 7х)3 + 20 = -7; 9. (m2
– 9m)2 -7(m2 – 9m) + 6 = 0; 10. (х2 – 3х)2 –4(х2
– 3х) –45 = 20; 11. (a2 – 5a)2 + 8(a2 – 5a) - 9 = 0; 12. (y2 -16)2 - 2( y2 -16) + 1= 16.
8. Розв’язати
рівняння без обчислень дискримінату
Якщо a + b + с = 0, то х1 = 1, х2 = с/а. Наприклад:
5х2 + 4х – 9 = 0; х1 =1, х2 = -
9/2.
Якщо а - b + с
= 0, то х1 = - 1, х2
= - с/а. Наприклад: 4х2 + 11х + 7 = 0; х1
= - 1, х2 = - 7/4.
1)14х2 – 17х + 3 = 0; 2) 13х2 – 18х + 5 = 0; 3) х2 – 39х - 40 = 0; 4) х2 + 23х - 24 = 0; 5)100х2
–83х –183= 0; 6)100
х2 + 97х - 197 = 0 ; 7) 4х2 –7х + 3 = 0; 8) 3х2 + 8х + 5 = 0; 9) 5х2 – 9х + 4 = 0; 10) х2 + 3х - 4 = 0.
МНОГОЧЛЕН ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Властивість 1: Два многочлени четвертого степеня
рівні
тоді і тільки тоді, коли:
1)
відповідні степені цих многочленів рівні;
2) всі
коефіцієнти при відповідних степенях рівні.
Властивість 2: Область визначення многочленів четвертого степеня є множина всіх дійсних чисел. Область значення многочлена четвертого степеня є деяка підмножина дійсних чисел.
Розклад на множники многочлена ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Звертаємо вашу увагу на те, що вислів «розкласти многочлен на множники» означає його тотожне
перетворення так, щоб у результаті отримати вираз, в якому остання дія
множення многочленів менших степенів.
Увага!!! Не всі многочлени з однієї
змінною на множині дійсних чисел можна розкласти на множники, які є
многочленами перших степенів.
Серед многочленів, які не
розкладаються на множники зустрічаються многочлени:
1) першого степеня ах+ b; такі вирази називають лінійними виразами а;
2) деякі многочлени другого
степеня аx2 + bx + c; такі вирази називають
незвідними квадартними тричленами.
Наприклад:
1) x2 +
25 - цей многочлен не можна
розкласти на лінійні множники на множині дійсних чисел;
2) x2 +
5x + 25 - цей многочлен не можна
розкласти на множині дійсних чисел;
3) 4x2 +
5 - цей многочлен не можна розкласти
на множині дійсних чисел.
4) 5x + 2 - цей многочлен не можна розкласти на множині
дійсних чисел.
Існує необхідна і достатня умова розкладу квадратного тричлена на
множники.
Три способи запису квадратного
тричлена
ax2 +
bx + c = а(х – х1)(х – х2)= а(х - 0,5b:a)2 – 0,25D:a.
Дискримінант D = b2 – 4ac.
Два корені:
х1 = (‒ b ‒ (b2 ‒ 4ac)0,5 )/(2a),
х2 = (‒ b + (b2 ‒ 4ac)0,5 )/(2a).
Координати вершини
квадратичної параболи:
хв = - 0,5b:a; ув = - -0,5b:a.
xy + x + y + а = (х + 1)(y + 1) + а - 1.
xy + x + y + 1= (х + 1)(y + 1)
aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a).
Якщо b2 ‒ 4ac – невід’ємний, то ax2 + byх + cy2 = а(х ‒ k1y) (х ‒ k2y),
де k1, k2 ‒ корені
квадратного рівняння ak2 + bk + c = 0.
ДІОФАНТОВЕ
РІВНЯННЯ ДРУГОГО СТЕПЕНЯ
З
ДВОМА НЕВІДОМИМИ
Означення.
Рівняння вигляду
ах2 +
bxy
+ cy2
+ dx
+ ey + f = 0, (*)
де а2+
c2 + b2≠ 0, а, b, c, d, e,
f - відомі цілі числа, х, у
– невідомі цілі числа, називається
діофантовим рівнянням другого степеня з
двома невідомими.
Для того, щоб уявляти повну картину
відносно рівняння (*) поставимо собі запитання.
Яку геометричну фігуру задає дане
рівняння в декартовій площині хОу?
Відповідь на це запитання неоднозначна.
Адже рівняння є нелінійним і має два невідомих, тобто рівняння (*) є складним
для знаходження цілих розв’язків (х, у). І ось чому.
Якщо а
= с, b
= 0, d,
e, f - відомі ненульові цілі числа, то
рівняння (*) визначає коло в декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (*) можна тотожними перетвореннями
звести до стандартного рівняння кола:
(x-
n)2
+ (y
- m)2
= R2.
Якщо а
≠ 0, b2+c2 = 0, d, e,
f -
відомі ненульові цілі числа, то рівняння (*) визначає квадратичну параболу в
декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (*) можна тотожними перетвореннями
звести до стандартної квадратичної функції:
y = qx2 + px + g.
Якщо b ≠ 0, а2+ c2 + d2+ e2+f 2 = 0 -
відомі ненульові цілі числа, то рівняння (*) визначає параболу в декартовій
площині хОу. За цієї умови рівняння (*) зводиться до двох рівнянь прямих:
х
= 0, у = 0.
Якщо b ≠ 0, f ≠ 0, а2
+ c2 + d2+ e2 = 0 -
відомі ненульові цілі числа, то рівняння (*) визначає гіперболу в декартовій
площині хОу. За цієї умови рівняння (*) зводиться до оберненої пропорційності:
у
= k/х.
Якщо а
=1, с = 1, b
= -1, d
= 2, e = -4, f =
0, то рівняння (*) визначає еліпс в декартовій
площині хОу. За цієї умови рівняння (*) можна тотожними перетвореннями
звести до стандартного рівняння еліпса:
k(x- n)2 + l(y - m)2 = R.
Якщо a = c, f
2
+
b
2 + d2+ e2 = 0,
то рівняння (*) визначає одну точку (0; 0) в декартовій площині хОу. За цієї
умови рівняння (*) зводиться до рівняння:
х2 + y2 = 0.
Якщо a = c, f
>0, b
2 + d2+ e2 = 0,
то рівняння (*) не визначає точок в
дійсній декартовій площині хОу. За цієї умови рівняння (*) зводиться до
рівняння:
х2 + y2 = - f.
Нас цікавлять цілі розв’язки
діофантового рівняння (*). Отже, із вище зазначених прикладів маємо зробити
висновок: цілих розв’язків у даного рівняння може: не існувати, бути обмеженою
кількістю і бути безмежною множиною.
Якщо у рівняння (*) існують розв’язки, то серед них можуть виявитися(або
не виявитися) цілі розв’язки – це точки, що лежать на фігурі, яку задає
рівняння, і мають цілі значення абсциси та ординати.
На еліпсі, гіперболі та колі в дійсній декартовій площині хОу можуть
існувати точки з обома цілими координатами, або не існувати.
На еліпсі, гіперболі та колі в дійсній декартовій площині хОу при умові
існування точок з обома цілими координатами їх обмежена кількість.
На квадратичній параболі, на прямій в
дійсній декартовій площині хОу можуть існувати точки з обома цілими
координатами, або не існувати.
На прямій в
дійсній декартовій площині хОу при умові існування точок з обома цілими
координатами їх необмежена кількість. І відповідні координати цілих точок на
прямій мають закономірності арифметичної прогресії. Тому розв’язок діофантового
рівняння (*) може бути записаний лінійними формулами, які задають цілі числа
арифметичної прогресії. Відстань між сусідніми точками з цілими координатами на
прямій завжди однакова і вона залежить від значення різниці арифметичної
прогресії. У цьому випадку ліва частина рівняння (*) має розкладатися на два
лінійних множники вигляду kx
+ my + n.
Одна і таж арифметична прогресія може
бути записана різними лінійними формулами вигляду
хm = am + bn,
де bn – довільний
член даної арифметичної прогресії.
На квадратичній параболі в
дійсній декартовій площині хОу при умові існування точок з обома цілими
координатами їх необмежена кількість. І відповідні координати цілих точок на
параболі мають закономірності послідовності. Відстань
між сусідніми точками з цілими координатами постійно змінюється і вона залежить
від значення номера члена послідовності.
Означення.
Дві цілочисельні арифметичні прогресії вигляду
х = n1k + m1,
у = n2k + m2
називаються однопараметричним розв’язком
діофантового рівняння другого степеня з двома невідомими (1), який
записують парою чисел
(х, у) = ( n1k + m1, n2k + m2), (2)
де
n1,
m1,
n2,
m2
–
цілі числа, k
– цілочисельний параметр, якщо пара чисел (2) задовольняє рівняння (1).
Виконаємо підстановку однопараметричного
розв’язку (2) у рівняння (1).
ах2
+ bxy
+ cy2 + dx + ey + f = а(n1k + m1)2 + b(n1k + m1)( n2k + m2) + c(n2k + m2)2 + d(n1k + m1) + e(n2k + m2) + f = 0,
Розкриємо повні квадрати:
а(n1 2k2 + 2n1 m1k +
m12) + b(n2n1k2 + m1n2k + m2n1k + m1m2) +
+
с(n2
2k2
+
2m2n2k +
m22) + d(n1k
+ m1)
+ e(n2k
+ m2)
+
f = 0,
Зведемо подібні доданки з відповідними
параметрами k2, k, k 0:
(аn1 2
+ bn2n1
+ cn22)k2 + (2n1
m1a + m1n2b + m2n1b+2m2n2c)k +
+( am12 + bm1m2
+ cm22
+ dm1 + em2 + f)=
0*k2
+ 0*k1
+ 0*k 0.
Прирівняємо коефіцієнти при параметрі k2, k, k
0
у
лівій та правій частині останньої рівності, отримаємо систему трьох нелінійних
рівнянь для визначення чотирьох невідомих n1, m1, n2, m2:
аn1 2
+ bn2n1
+ cn22 = 0, (3)
2n1
m1a + m1n2b + m2n1b+2m2n2c = 0, (4)
am12 + bm1m2
+ cm22
+ dm1 + em2 + f = 0. (5)
Отже, постає питання про існування та
знаходження розв’язків цієї системи рівнянь в цілих числах.
Рівняння (3) пов’язує між собою у
квадратичній залежності два невідомих n2 , n1. До
речі, взаємна заміна невідомих n2 на n1
змінює рівняння (3).
Зрозуміло, що варто розглянути випадок
системи, коли у рівняння (3) маємо тривіальний розв’язок (0; 0), тобто n2 = 0, n1
= 0. Тоді рівняння (5)
визначає умови
на цілі розв’язки рівняння (1), а саме можливе існування двох цілочисельних пар
(х, у):
x1 = {- (bg+ d) + [(b2 - 4ac)g2
+ (2bd- 4ae)g
+
(d2
-
4af)]0,5
}(2а)-1,
у1 = g.
x2 = {- (bq+ d) - [(b2 - 4ac)q2
+ (2bd- 4ae)q
+
(d2
-
4af)]0,5
}(2а)-1,
у2
= q.
Рівняння (5) пов’язує між собою у
квадратичній залежності два невідомих m2 , m1. Проте, якщо
розглядати випадок системи, коли
f =0,
то існує
тривіальний розв’язок рівняння (5), тобто m2 = 0, m1
= 0.
Тоді
рівняння (3) визначає умови
на цілі розв’язки рівняння (1), а саме за певних можливе існування двох
цілочисельних пар (х, у):
х3
= (-b
- (b2 - 4ac)0,5
)(2а)-1) k
у3 = k.
х4
= (-b
+ (b2 - 4ac)0,5
)(2а)-1) k
у4 = k.
З’ясуємо ці умови далі.
Рівняння (4) пов’язує між собою у квадратичній залежності
чотири невідомих m2 , m1, n2 , n1. Перетворимо
це рівняння:
(2m1a + m2b )n1+(2m2c + m1b)n2 = 0,
(2m1a + m2b )n1 = -(2m2c + m1b)n2
n1: n2 = -(2m2c + m1b):(2m1a
+ m2b
)
далі
буде показано, що
n1: n2 = (-b
- (b2 - 4ac)0,5
)(2а)-1.
Для початку перетворимо нелінійне рівняння
(3). Виразимо одне невідоме через інше. Розглянемо його, як квадратне рівняння
відносно n1:
аn1 2
+ bn2n1 + cn22 = 0. (6)
Постає питання існування невід’ємного
дискримінанту, як точного цілого квадрату:
D = b2n22 - 4acn22 = (b2 - 4ac)n2 2. (7)
Вважатимемо, що (b2 - 4ac)
= р2 – цілий точний квадрат. Тоді
D0,5 = n2р
Тоді постає питання існування цілих коренів
квадратного рівняння (6):
n11
= (-bn2 + n2р)(2а)-1 = n2(-b + р)(2а)-1, (8)
n12
= (-bn2
- n2р)(2а)-1 = n2 (-b - р)(2а)-1. (9)
Таким чином, якщо число
(b2 - 4ac)
– це невід’ємний точний квадрат, (10)
отримуємо пряму пропорційність із
коефіцієнтом пропорційності:
-b - (b2 - 4ac)0,5
)(2а)-1
між числами n2
,
n1.
І тільки при умові, що
(-b - (b2 - 4ac)0,5
)(2а)-1) – це ціле число (11)
можна вести мову про подальше
дослідження існування цілих розв’язків рівняння (1).
Перетворимо нелінійне рівняння (5).
Виразимо одне невідоме через інше. Розглянемо його, як квадратне рівняння
відносно m1.
am12 +(bm2 + d)m1 + (cm22 + em2 + f) = 0. (12)
Знову постає питання існування
невід’ємного дискримінанту, як точного цілого квадрату:
D = (bm2
+ d)2 - 4a(cm22
+ em2 + f)=
=b2m22
+2bm2d + d2 - 4acm22
- 4a em2 - 4af =
=(b2 -
4ac)m22
+ (2bd-
4ae)m2 + (d2 - 4af). (13)
Вважатимемо, що
(b2 - 4ac)m22 + (2bd- 4ae)m2 + (d2 - 4af) = q2 –
цілий точний квадрат. Тоді матиме місце для (13) рівність
повного квадрату
(b2 - 4ac)m22 + (2bd- 4ae)m2 + (d2 - 4af)= (m2 - h)2. (14)
де h – деяке ціле число
Ця
умова (14) виконується, якщо отримаємо
нульовий дискримінант у лівому квадратному виразі відносно m2, а
саме виходимо на коефіцієнти рівняння (1) і це означає виконання умови:
(2bd -
4ae)2 - 4(b2 - 4ac)(d2
- 4af)
=
0.
Поділимо на 4 і отримаємо:
(bd - 2ae)2 - (b2 - 4ac)(d2 - 4af)=0. (15)
Таким чином, корені квадратного рівняння
(12):
m11
={ - (bm2 + d) + [(b2 - 4ac)m22 + (2bd- 4ae)m2 + (d2 - 4af)]0,5 }(2а)-1, (8)
m12
={ - (bm2 + d) - [(b2 - 4ac)m22 + (2bd- 4ae)m2 + (d2 - 4af)]0,5 }(2а)-1, (9)
при умовах (13) – (15) можна записати ці
корені у такому вигляді:
m11 ={ - bm2 – d + m2 - h }(2а)-1,
m12 ={ - (bm2 + d) - (m2 – h) }(2а)-1,
m11 ={ (1- b)m2 - (h + d) }(2а)-1, (10)
m12 ={ (-1- b)m2 + (h - d) }(2а)-1, (11)
Таким чином, якщо виконується умова
(10), (11), (13), (15),
отримуємо лінійну залежність між числами
m2
,
m1.
1.Спосіб занулення кожного множника або занулення невід'ємних доданків.
Нехай адитивне діофантове рівняння має вигляд
f12k(х,y) + f22m(х,y)+… + f q2n(х,y)=0
де функції f i(х,y): ZxZ --> Z; де і- натуральні числа.
Осмислення.
Очевидно і тривіально:
0 = 0 + 0+... +0;
Запитання:
А чи варто для даного рівняння розглядати випадок:
0= -m + m?
0 = 0 + 0+m-m+0+... +0!
Відповідь: Не варто, бо
fi2k(х,y)>=0, де і- натуральні числа.
Для двох невід'ємних доданків одночасна рівність нулю цілих чисел обов'язкова:
02+02= 0;
Для декількох доданків одночасна рівність нулю цілих чисел:
02m+02n + … + 02k + 02p = 0.
Таким чином, варто шукати розв′язки
системи функціональних рівнянь:
системи функціональних рівнянь:
fі(х,y)=0, i –
натуральне число,
і=1.. q?
00 – не існує на множині цілих чисел.
0 -|2n| – не існує на множині цілих чисел n.
Приклади для самостійного опрацювання.
1.(х)2+ (у)6 = 0;
2.(1-х)2+ (3-у)4 = 0;
3.(хy-1)2+ (1-у2)2= 0;
4.(хy-1)2+ (1+xу)2= 0;
6.(х – у-7)2+ (х + у-25)6 = 0;
7.(х – у-1)4-2x+ (х + у-3)4-2y= 0;
8.(х4 – у4)2+(х2 - 1)2+(1- |у|)2 = 0;
9.(х2 – у2-6)12+ (х2 + у2-25)6 = 0;
10.(х4 – у4)2+(х2 - 1)2+(1- |у|)2 = 0;
11.(z + у2)2+(z3 + у)2+(z2 - 1)2+(1- |у|3)2= 0;
12.(|х| - |у|)2+(|х| + |у|)2+(|х| - 1)2+(1- |у|)2 = 0;
13.(|х| - |у|-2)2+(|х| + |у|-2)2+(|х| - 2)2+(2- |у|)2 = 0;
Завдання на узагальнення.
Знайти
усі цілочисельні функції s(х, у) та p(x,y), що задовольняють діофантовому функціональному рівнянню(функціоналу):
[s(х,y)]n(x,y) + [p(х,y)]m(x,y) = 0, (1)
де цілочисельні функції задовольняють умовам:
Множина парних додатних цілих чисел позначена: N2k;
де цілочисельні функції задовольняють умовам:
s(х,y): ZxZ --> Z;
p(х,y):
ZxZ --> Z; .
m(х,y): ZxZ --> N2k;
n(х,y): ZxZ --> N2k; Множина парних додатних цілих чисел позначена: N2k;
s(х,y)=0; p(х,y)=0. (2)
Усі отримані спільні пари функцій-основ (s; p) із множини цілочисельних функцій (а вона породжуюється розв'язками системи двох діофантових функціоналів (2)), треба перевірити на нерівність нулю та від'ємному значенню на множині функцій-показників: n(x,y) та m(x,y).
Запитання.
Чи завжди варто на множину усіх розв'язків системи двох діофантових функціоналів:
f(х,y)=0, g(х,y)=0
накладати умову додатності функціоналів на іншій множині діофантових функцій n(x,y)>0 та m(x,y)>0?
Відповідь:
Так, варто. Потрібно у розв'язок діофантового рівняння включати ті пари чисел, для яких вираз m(x,y) та n(x,y) є додатним числом.
Зауваження.
Не забувайте виконати перевірку розв′язків, бо можливий випадок не існування значення виразу на множині цілих чисел.
Не забувайте виконати перевірку розв′язків, бо можливий випадок не існування значення виразу на множині цілих чисел.
Приклад.
У діофантовому функціональному рівнянні
{[m(х)]3 –m(х)}2m(х)-2m(|x|) +{[n(y)]2 +n(y)}2(n(y)+1)n(у) = 0,
якщо
m(k) = 1, або m(k)=-1, або m(k)=0
тоді у виразі
([m(х)]3 –m(х))2m(х)-2m(|x|)
отримаємо парадоксальний вираз 00.
Розглянемо діофантове рівняння
(y2 + y)2(y+1)у = 0
Осмислення.
m(k) = 1, або m(k)=-1, або m(k)=0
тоді у виразі
([m(х)]3 –m(х))2m(х)-2m(|x|)
отримаємо парадоксальний вираз 00.
Розглянемо діофантове рівняння
(y2 + y)2(y+1)у = 0
Осмислення.
Якщо у= 0, або у=-1, тоді у виразі (y2 + y)2(y+1)у
отримаємо парадокс ((0)2 –0)2*0 = 00
отримаємо парадокс ((0)2 –0)2*0 = 00
Розв′язком
даного рівняння не може бути 0 та -1.
Приклади для самостійного опрацювання.
Знайти всі пари цілих чисел (х, у), що задовольняють рівняння:
1. (х – у)2x + (х + у)2y = 0;
Вказівка. х – у=0, х + у=0, x>0, y>0.
Вказівка. х – у=0, х + у=0, x>0, y>0.
2.(х – у-1)2 + (х + у-3)2 = 0;
Вказівка. х – у =1, х + у =3.
3.(2х – у+3)6 + (4х + у+5)8 = 0.Вказівка. х – у =1, х + у =3.
Вказівка. 2х – у =-3, 4х + у =-5.
4.(12– 6у)6+12x + (6-2х)2+6y = 0;
Вказівка. 12 – 6у =0, -2х + 6 =0, 6+12x>0 , 2+6y>0.
Вказівка. 12 – 6у =0, -2х + 6 =0, 6+12x>0 , 2+6y>0.
(9х2 – 16у2)2x + (х2 + у2-25)2y = 0;
Розглянемо різницеве діофантове функціональне рівняння
[si(х,y)]ni(x,y) -[pi(х,y)]mi(x,y) = 0,
де функції:
si(х,y): ZxZ --> Z;
gi (х,y): ZxZ --> Z; .
mi (х,y): ZxZ --> Z;
ni (х,y): ZxZ --> Z.
Осмислення.
Розглянемо
нелінійне діофантове рівняння
х3 - у2 = 0; х3 = у2,
тоді
розв′язок:
х
= m2n;
y = (-1)km3n
задовольняє
його, якщо m n, k - цілі числа.
Розглянемо нелінійне діофантове рівняння
(2х)3 - (2у-1)2 = 0; 8х3 = (2у-1)2 ,
тоді розв′язку немає:
Запитання.
Чи
варто розглядати випадки: 0-0=0; k – k =0?
Відповідь:
Так варто.
Таким чином, можна
утворити розв′язок функціонального рівняння
[si(х,y)]ni(x,y) =[pi(х,y)]mi(x,y) ,
у такому
вигляді
si(х,y) = [pi(х,y)]mi(x,y)k(x,y)
pi(х,y) = [si(х,y)]ni(x,y)k(x,y) ,
де
si(х,y): ZxZ --> Z;
gi(х,y): ZxZ --> Z; .
mi(х,y): ZxZ --> Z;
ni(х,y): ZxZ --> Z.
k(х,y): ZxZ --> Z.
Приклади для самостійного опрацювання.
Знайти всі пари цілих чисел (х, у), що задовольняють рівняння:
1. у3x - х2y = 0;
Вказівка. х = (-1)pу3kx, у = х2ky,
Вказівка. х = (-1)pу3kx, у = х2ky,
2.(х)2x - (у)3y = 0;
Вказівка. у=х2kx, х = (-1)p у3ky,
3.(х -3)2 - (4 + у)3 = 0.Вказівка. у=х2kx, х = (-1)p у3ky,
Вказівка. х =3+(-1)p(4 + у)3k, у =-4+(х -3)2k.
4.(2x+6)6у+2x - (2y-3)2х+6y = 0;
Вказівка. Немає розвязку, бо парність зменшуваного і від'ємника різна.
Вказівка. Немає розвязку, бо парність зменшуваного і від'ємника різна.
Розглянемо мультиплікативне діофантове функціональне рівняння
[si(х,y)]ni(x,y) [pi(х,y)]mi(x,y) = 0,
де функції:
si(х,y): ZxZ --> Z;
gi (х,y): ZxZ --> Z; .
mi (х,y): ZxZ --> Z;
ni (х,y): ZxZ --> Z.
Осмислення.
Для двох множників: Осмислення.
0=0*m; або 0 = -m*0.
Утворення і розв'язання сукупності рівнянь.
Для трьох множників:
0=0*n*n або 0=n*0*(-n) або 0=(-n)*(n)*0 .
Таким чином, варто шукати розв′язки як
сукупність функціональних рівнянь:
[si(х,y)]ni(x,y) = 0,
[pi(х,y)]mi(x,y) = 0,
і виконувати перевірку.
Приклади для самостійного опрацювання.
Знайти всі пари цілих чисел (х, у), що задовольняють рівняння:
1.(х)2х(у)3у=0;
2.(х-1)2х(3-2у)3-2у=0;
3.(х
– 2)2-х(у - 3)3-у=0;
4.(х – 3у+10))1-|y|(х - 5у+10)2-2x =0;
5.(х2 - 1)1-|y|(1- |у|))2-2x= 0;|4.(х – 3у+10))1-|y|(х - 5у+10)2-2x =0;
6.(х – у-4)3-2у(х + у+5)3-2у = 0;
7.(х – 2у-1)(х + 3у+2) =0;
8.(х2 – у2-6)(х2 + у2-25) = 0;9.(х4 – у4)(х2 - 1)(1- |у|) = 0;
10.(z + у2)(z3 + у)(z2 - 1)(1- |у|3) = 0;
11.(|х| - |у|)(|х| + |у|)(|х| - 1)(1- |у|) = 0;
12.(|х| - |у|-2)(|х| + |у|-2)(|х| - 2)(2- |у|) = 0.2. Спосіб запису одиниці у вигляді множників
Для двох множників: 1=1*1; або 1 = -1*(-1).
Для трьох множників:
1=1*1*1 або 1=1*(-1)*(-1)
або 1=(-1)*(-1)*1 або 1=(-1)*1*(-1)
Приклад:
Рівняння (у+1)(z-1)=4 поділимо на 4, бо 4=2*2*1
(0,5у-0,5)(0,5z-0,5) =1
і так далі.
3.Спосіб запису мінус одиниці у вигляді множників:
Для двох множників: -1=1*(-1); або -1 = -1*1.
Для трьох множників: -1=(-1)*(-1)*(-1); -1=(-1)*1*1; -1 =1*(-1)*(+1). 1 =1*(+1)*(-1).
Нехай мультиплікативне діофантове рівняння має вигляд
f1k(х,y)* f2m(х,y)*… *f qn(х,y)=1
де функції f i(х,y): ZxZ --> Z; де і- натуральні числа.
Таким чином, варто шукати розв′язки
системи функціональних рівнянь:
системи функціональних рівнянь:
fі(х,y)=1, i – натуральне число, і=1.. q?
Приклади для самостійного опрацювання.
Знайти всі пари цілих чисел (х, у), що задовольняють рівняння:
1. ху=1; х2у2 =1; х3у5 =-1; (х-2)у= 1; (х-2)(3-у)=-1;
2. х3у4 =-1; (х – у)(х + у) = 1; (х – у)(х + у) = -1;
3.(х – у-1)(х + у+2) = 1;
2. х3у4 =-1; (х – у)(х + у) = 1; (х – у)(х + у) = -1;
3.(х – у-1)(х + у+2) = 1;
4. (х – у-1)(х + у+2) = -1;
5.(х2 – у2-6)(х2 +
у2-23) = 1;
6.(х2
– у-1)(х + у2-5) = -2;
7.(|х| – |у|-3)(|х| + |у|-3) = 1;
8.(|х-1|-
|у-3|-2)(|х-1|+|у-3|-2) = -1.
9. (х3 – у3+8)(х3 +
у3-27) = 1;
10.(х2
– у3-25)(х3 + у2-11) = 1;
Задачі на повторення.
Знайти всі пари цілих чисел,
що задовольняють рівняння:
що задовольняють рівняння:
а)
(х2 – у2)(х2
+ у2)(х2 -
1)(1- |у|)
= 0;
(х2
– у2)(х2
+ у2)(y3 + 1)x2 = 1;
(y – x)(х + у+2)(y
-
1)x2
= -1;
(z + у2)(z3 + у)(z2 -
1)(1- |у|3)
= 0;
(|х|
-
|у|)(|х|
+ |у|)(|х|
-
1)(1- |у|)
= 0;
(|х|
-
|у|-2)(|х|
+ |у|-2)(|х|
-
2)(2- |у|)
= 0;
(y2 - 1) (х2
-
1)(х – у-1)(х2 + у2+1)( x2 –
у2-1) = 0;
б)
(х2 – у2-7)(х2 +
у2+25) = 0;
(х2
– у-1)(х + у2-5) = 0;
в)
(|х| – |у|-1)(|х| + |у|-1) = 0;
(|х-1|
– |у+1|-1)(|х| + |у-3|-2) = 0.
г)
(х3 – у3-7)(х3 +
у3+26) = 0;
(х2 – у3-24)(х3
+ у2-10) = 0;
3.
Для будь-якого многочлена степеня більше 2
доводиться, що існує квадратний тричлен, на який даний многочлен ділиться без
остачі.
Для многочлена третього ступеня
Р3(х)
= ах3 + bх2 + сх + d
можливе
одне з двох:
a) або він розкладається в добуток трьох лінійних двочленів, тобто
Р3(х)
= а(х – x1)(х – x2)(х – x3),
де
числа x1, x2, x3 - нулі многочлена третього ступеня не обов'язково різні
б) або він розкладається в добуток
двочлена і
квадратного тричлена, тобто
Р3(х)
= а(х - x1)(х2
+ px + q).
Приклад. Розкласти многочлени на множники:
а) х3 + х – 2; б) х3
– 3х + 2.
Розв’язання.
а) х3 + х – 2 = (х3 – 1)
+ (х – 1) = (x - 1)(х2 + x +1)+(х +1)= (x - 1) (х2 + x +2).
Дискримінант
квадратного тричлена х2 + x +2 менше нуля; тому на множники
він не розкладається.
б) х3 – 3x + 2 = х3 – x – 2x + 2 = х (х2 – 1) – 2(х – 1) =
(х–1)(х+1)х–2(х–1) = (х–1)(х2
+ х – 2) = (х–1)(х2 – 1+ х – 1)= (х-1)(х-1)(х + 2) = (x-1)2(х+2).
Многочлен четвертого степеня
Р4 (х) = ах4 + bх3 + сх2 + dх + f
розкладається:
а) або на добуток
чотирьох двочленів:
Р4(х) = а(х – x1)(х – x2)(х – x3)(х – x4),
де числа x1, x2, x3 , x4 нулі многочлена четвертого ступеня
не обов'язково різні;
б) або на добуток двох двочленів
і квадратного тричлена:
Р4(х) = а(х – x1)(х – x2)(х2 + pх +q),
де числа x1, x2 не обов'язково різні;
в) або на добуток двох квадратних
тричленів:
Р4(х) = a(х2 + cх + b)(х2 + px + q),
де одночасно можлива рівність
с = p і b = q.
Приклад. Розкласти на множники:
а) х4 – 5х2 + 6; б) х4 + 5х2 +
6; в) х4 + х3 –
х – 1; г) х4 + 4.
Розв’язання.
а) х4 - 5х2 + 6 = (х2 - 3)(х2 - 2) = (х - 30,5)(х + 30,5)(х–
20,5)(х + 20,5);
б) х4 + 5х2 + 6 = (х2 + 3)(х2 + 2);
в) х4 + х3 – х – 1=
х3(х+1) – (х+1) = (х+1)(х3-1)
= (х+1)(x -1)(х2 +
х+1);
г) х4 + 4 = х4 + 4х2
+ 4 – 4х2 = (х2 + 2)2 – (2х)2
= (х2 – 20,5х +
2)(х2 + 20,5х + 2).
У загальному випадку многочлен n-го степеня
Рn(х) = а0 хn + a1 хn-1 + a2 хn-2 + a3 хn-3 +… + an
Можна записати єдиним чином у вигляді
добутку многочленів, степінь
кожного з яких не більше 2, тобто кожний з яких або двочлен лінійного вигляду,
або квадратний тричлен, що не має коріння.
Можливість виділення у
многочлена лінійних множників пов'язана з
наявністю у цього многочлена коріння.
Твердження про коріння многочлена:
Многочлен n-й ступеня має не більш n дійсного
коріння (з урахуванням їх кратностей).
Многочлен непарного степеня має
хоч би один дійсний корінь.
3.Спосіб розкладу на множники лівої частини рівняння, коли права частина дорівнює конкретному цілому числу. Утворення декількох систем рівнянь.
Наприклад,
1)xy + x + y
+ а = 0
(х + 1)(y +
1) = 1 - а.
2)xy + x + y
+ 1=0
(х + 1)(y +
1)= -1
3)aху + bх + cу + d = n
(x + c:a)(ау + b) = n -d + (cb:a).
4)ax2 + byх + cy2 = m
Якщо b2
‒ 4ac – невід’ємний,
то ax2 + byх + cy2 = а(х ‒ k1y) (х ‒ k2y),
де k1, k2 ‒ корені квадратного рівняння ak2 + bk + c =
0.
Якщо
а(х ‒ k1y) (х ‒ k2y) = m,
то розкласти число у правій частині на цілі множиники і утворити декілька систем рівнянь.
Розкладання
многочлена на множники способом групування, як уже зазначалось, становить для вас значні труднощі, часто не відразу вдається як слід згрупувати члени даного многочлена – доводиться
випробовувати кілька способів групування доти, поки не буде знайдено
найраціональніший. Тому ви маєте
добре продумати перед тим, які доданки слід групувати, тобто шукати
доданки зі спільними множниками.
Для цього пропоную вам таку систему вправ,
щоб труднощі наростали повільно.
xm + ху + ау + аm = (xm + ху)
+ (ау + хm) = x(m + у) + a(m + у)
= (а + х) (m + у).
а2 – ху
–
ау + ах = (а2
+ ах) – (ау + ху) = а(а + х) – у(а + х) = (а + х)(а -
у).
Наприклад,
розглянуту щойно вправу можна виконати так:
а2
-
ху + ау + ах = (а2 - ау) + (ах -
ху) = = а(а - у)
+ х(а - у) = (а - у) (а + х).
Розгляньте складніші приклади:
3 - 6a + z - 2az = 3(1 - 2a) + z(1 - 2a) –
(3 +z)(1 – 2a);
10ax - 5bx + 2ay - by = 5x(2a –
b) + y(2a - b) = (5x + y)(2a – b);
4a2 – 4az – 3a + 3z = 4a(a – z) – 3(a – z) =
(4a – 3)(a – z);
3x2 – 3xy + 3y2 – 3xy = 3x(x - y) + 3y(y - x) = - 3x(x -y) - 3y(x - y) = 3(x –y)(x – y);
a + a2 - a3 - a4
= a(1+ a) - a3(1+ a) = (a - a3)(1
+ a) = a(12 - a2)(1 + a) = a(1- a)(1 + a)2;
a3 + a2b - a2c
- abc = a2(a +b) - ac(a + b) =
(a2 - ac)(a + b) = a(a - c)(a + b);
3m - bx + mx - 3b = 3m - 3b - bx + mx = 3(m - b) + x (m - b) = (3 + x)( m - b);
ax + ay - az +
nx + ny - nz =
ax + nx + ay + ny
- az – nz = x(a + n) + y(a + n) - z(a + n) = (a + n)(x + y - z);
a + b – 2 – ax - bx + 2x = a – ax + b – bx - 2 + 2x = a(1 - x)
+ b(1 - x) - 2(1 -x) = (1 – x)(a + b – 2);
2ax + cx - 6ax2
- 3cx2 + 2ac + c2 = 2ax - 6ax2 + 2ac + cx - 3cx2 +
c2 =
2a(x - 3x2 + c) + c(x
- 3x2 + c) = (2a + c)(x - 3x2
+ c);
Увага! Завдання на розуміння. Вкажіть помилку у даному перетворенні многочленів:
a2 - ab - 4a + 4b = a(a - b) - 4(a + b) = (a - 4)(a - b);
ax + 3 + 3x + a = ax + a + 3x + 3 = a(x + 1) + 3(x + 1) = (a + 3)(1 – x);
ax + 3 + 3x + a = ax + a + 3x + 3 = a(x + 1) + 3(x + 1) = (a + 3)(1 – x);
ac + 6 - bc - a = ac - a + b - bc = = a(c - 1) - b(1 - c) = a(c - 1) - b(c
- 1) = (a -b)(c + 1);
Тепер можна запропонувати вам самостійно розкласти на множники
вирази способом групування:
ac + ad + 2bc + 2bd;
2ax – 2ay – 3by + 3bx;
x2y – z2x + y2x – z2y;
x2 – xy + xz – yz;
a3 + 2 + a + 2a2;
y4 + 3 – y – 3y3;
х3 + x – 3xy + 2 + 2х2 – 6y;
ab – a + 5 – 5b – 5a2 + a3;
4ax + 2ay – az – 4bx – 2by + bz;
6ax + 3bx – 3x + 6ay + 3by – 3y.
Найчастіше використовують розклад на множники многочленів при розв’язування
рівнянь.
Розв’яжемо рівняння способом розкладання на множники:
x(x- 15) + 3(x - 15) = 0
Винесемо за дужки спільний множник x – 15, отримаємо:
(x + 3)(x - 15) = 0;
Маємо добуток двох множників дорівнює нулю, отже хоча б один із множників
нульовий, тому прирівняємо до нуля перший та другий множник:
x + 3 = 0;
x1 = -3 – перший розв’язок;
x - 15 = 0;
x2 = 15 – другий розв’язок.
Відповідь:x1 = -3; x2 =15.
Розв’яжемо інше рівняння способом розкладання на множники:
6xy + 4x - 9y - 6 = 0;
Згрупуємо доданки в лівій частині і винесемо за дужки спільний множник, отримаємо:
2х(3y + 2) – 3(3y + 2) = 0;
(2х – 3)(3y + 2) = 0;
Маємо добуток двох множників дорівнює нулю, отже хоча б один із множників
нульовий, тому прирівняємо до нуля перший та другий множник:
2х– 3= 0;
x1 = 3/2 – перший розв’язок;
3y + 2 = 0;
x2 = -2/3 – другий розв’язок.
Відповідь: x1 = 3/2; x2 = -2/3.
Тепер можна запропонувати вам самостійно розв’язати рівняння способом розкладання на
множники (використати спосіб групування):
1)2xy + 8x + 3y +12 = 0; 2) 2xy + 8x + 3y +12 = 0;
3)3xy + 21x + 5y +35 = 0; 4) -3xy + 5x + 21y +35 = 0;
5) -8xy +
12x + 2y – 3 = 0; 6) -8xy - 2x + 12y – 3 = 0;
7)12xy + 48x - 18y - 72 = 0; 8)12xy - 18x + 48y - 72 = 0;
9)-6xy - 42x + 10y + 70 = 0; 10)
-6xy + 10x - 42y + 70 = 0;
11)6xy + 14x - 3y - 7 = 0; 12) -7xy + 14x - 3y +6 = 0;
Іноді розклад на множники використовують під час доведення тверджень з
теорії подільності чисел. Наприклад:
Довести, що будь-яке просте число,
більше двійки, можна записати у вигляді суми добутку та суми двох натуральних чисел.
Доведення: Нехай р –
просте число, більше двійки. Тоді для деяких натуральних чисел х та у запишемо
рівняння в цілих числах:
xy + x + y = р.
Виконаємо такі перетворення:
xy + x + y+1 = р + 1.
х(y + 1) + (y + 1) = р + 1.
(х + 1)(y + 1) = р + 1.
Права та ліва частина рівняння це парні
натуральні числа, отже, існує такий розклад на множники р + 1 = 2 ∙ (р + 1)/2. Враховуючи
це знайдемо один із один із можливих натуральних розв’язків цього рівняння:
х + 1 = 2,
звідси х = 1
та
у + 1 = (р + 1)/2, звідси у
= (р – 1)/2.
Отже, будь-яке просте число р, більше двійки, можна записати у вигляді суми
добутку та суми натуральних таких чисел
1 та (р – 1)/2. До речі, число 2 не можна записати у вигляді натуральних чисел: xy + x + y;
· для чисел 3 це пара (1;
1);
· для числа 5 це пара (1;
2) або (1;2);
· для числа 7 це пара (1;
3) або (3; 1);
· для числа 11 це пара (1;
5) або (5;1) або (2; 3) або (3; 2);
· для числа 13 це пара (1;
6) або (6; 1);
· для числа 17 це пара (1;
8) або (8; 1) або (2; 5) або (5; 2);
· для числа 19 це пара (1;
9) або (9; 1) або (3; 4) або (4; 3);
· для числа 23 це пара (1;
11) або (11; 1) або (2; 7) або (7; 2) або (3; 5) або (5; 3);
· для числа 29 це пара (1;
14) або (14; 1) або (2; 9) або (9; 2) або (4; 5) або (5; 4);
· для числа 31 це пара (1;
15) або (15; 1) або (3; 7) або (7; 3);
· для числа 37 це пара (1;
18) або (18; 1);
· для числа 41 це пара (1;
20) або (20; 1) або (2; 13) або (13; 2) або (5; 6) або (6; 5).
Звертаємо вашу увагу, що рівняння не має розв'язків у цілих числах, якщо
для довільних цілих значень змінної в лівій і правій частинах рівняння
одержуються цілі числа, для яких виконується хоча б одна з таких умов:
1)Ліва і права
частини під час ділення на деяке ціле число дають різні остачі.
Наприклад, у рівнянні n3-n = 3m2+1 для
довільних цілих чисел ліва частина рівняння, тобто вираз
n(n - 1)(n +
1),
ділиться на 3, а права
частина під час ділення на 3 дає в остачі 1.
2)Остання цифра
числа в лівій частині інша, ніж
остання цифра числа в правій частині.
Наприклад, у рівнянні
х2+х -1 = 32у+1
для довільних натуральних х та у числа, які
одержуються в лівій частині, закінчуються цифрами 1, 5 і 9, а числа, які
одержуються в правій частині, закінчуються цифрами 3 і 7.
3) Одна з частин
рівняння є точним квадратом (кубом), але друга частина такою не є.
Наприклад, у рівнянні
4m = 3∙k + 2
ліва частина для довільного
натурального m є точним квадратом, тоді як
права частина ні для якого натурального k не може бути точним квадратом (точний квадрат під час
ділення на 3 дає в остачі або 0, або 1).
Куб двочлена:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – це куб суми двох
чисел;
(a – b)3 =
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 – це куб суми або
різниці двох чисел;
Розглянемо декілька вправ на використання цих формул:
27 + 27b + 9b2 + b3
= 33 + 3∙32b + 3∙3b2 + b3 = (3 + b)3;
1 + 3m + 3m2 + m3
= 13 + 3∙12m + 3∙1∙m2 + m3 = (1+ m)3 ;
64 – 48c + 12c2 – c3
= 43 – 3∙42c + 3∙4c2 – c3 = (4 – c)3;
8 – 12n + 6n2 – n3 = 23 – 3∙22n + 3∙2n2 – n3 = (2 – n)3 .
Іноді стають у нагоді такі формули:
(a±b)4 = a4±4a3b +6a2b2
±4ab2 +b4;
(a±b)5 = a5±5a4b +10a3b2 ±10a2b3
+5ab4 ±b5;
(a±b)6= a6±6a5b +15a4b2 ±20a3b3 +15a2b4
±6ab5 +b6.
Для непарних n
аn+ bn= (a+b)( an-1-аn-2b + аn-3b2 -… +а2bn-3 - аbn-2 + bn-1);
Якщо b =1, тоді
a2n+1+ 1= (a+1)( an-1- аn-2 - аn-3 +… +а2 - а + 1);
а3 + b3+c3
-3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2
–аb–bc–ac);
(a+b+c)2 = a2 + b2 +c2
+2аb+2bc+2ac;
Спробуйте розкласти на множники способом групування, спочатку розбивши
середні деякі доданки на два подібних доданки:
Зразок: a2 + 3ab + 2b2 = a2
+ ab + 2ab + 2b2 = а(a + b) + 2b(a + b) = (а+ 2b) (a + b).
1)xy + x + y + а = 0
(х + 1)(y + 1) = 1 - а.
2)xy + x + y + 1=0
(х + 1)(y + 1)= -1
3)aху + bх + cу + d = n
(x + c:a)(ау + b) = n -d + (cb:a).
4)ax2 + byх + cy2 = m
Якщо b2 ‒ 4ac – невід’ємний, то ax2 + byх + cy2 = а(х ‒ k1y) (х ‒ k2y),
де k1, k2 ‒ корені квадратного рівняння ak2 + bk + c = 0.
Якщо
а(х ‒ k1y) (х ‒ k2y) = m,
то розкласти число у правій частині на цілі множиники і утворити декілька систем рівнянь.
Розвязати діофантові рівняння.
Розвязати діофантові рівняння.
1) m2 + 3mn + 2n2 =1; 2) x2 – 4xy + 3y2= -1;
3) x2 – 5ax + 4a2=1; 4) a2 +
7ab + 6b2= -1;
5) a2 + 5ab + 6b2=1; 6) x2 + 7xy + 12y2= -1;
7) х2 – 8х + 15=1; 8) a2 + 7a + 10= -1;
9) y2 + by – 2b2=1; 10) x2 – xy – 2y2= -1;
11) t2 – 2tz – 3z2= -1; 12) v2 + 2uv –
3u2= -1;
13) u2 – 5u – 6= -1; 14) w2 – 3w – 4= -1;
15) x2 – 5x + 4= -1; 16) n2 – 6n + 5= -1;
15) x2 – 5x + 4= -1; 16) n2 – 6n + 5= -1;
Комбіновані
способи розкладання на множники
Є багато таких многочленів від декількох змінних, розкладання яких на
множники вимагає неабиякої кмітливості.
Наприклад, розкласти на множники многочлен (a – b)3 + (b – c)3 +
(c – a)3
Розв’язання: 1 спосіб:
(a –
b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = ((a – b)3 + (b – c)3) + (c – a)3
=
= ((a -b) + (b - c))((a - b)2 - (a
- b) (b - c) + (b- c)2) + (c – a)3 =
= (a – c)((a-b)2-(a-b)(b-c) + (b-c)2
)-(a-c)3 =
= (a – c)((a – b)2 –
(a – b)(b – c)+(b
– c)2 – (a – c)2) =
= (a – c) (a2 – 2ab
+ b2 – ab + ac + b2 – bc
+ b2 – 2bc + c2 – a2
+ 2ac – c2) =
= (a – c)(3b2 – 3ab + 3ac – 3bc) =
= 3 (a – c)(b2 – ab + ac – bc) =
= 3(a – c)((b3 – ab ) – (bc – ac)) =
= 3(a – c) (b(b – a) – c (b – a)) =
= 3(a – c)(b – a)(b – c) =
= 3 (a – b)(b – c)(c – a).
Набагато простіше і природніше таке розв’язання:
2 спосіб:
(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 =
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3+ b3 – 3b2c + 3bc2
– c3 + c3 –
3c2a + 3ca2 – a3 =
= -3a2b +
3ab2 – 3b2c + 3bc2 – 3c2a + 3ca2
=
= -3ab(a – b) + 3c(a2
– b2) – 3c2 (a – b)
=
= 3(a – b)((a + b)c –
ab – c2) = 3(a –b)(a(c – b) + c(b – c)) =
= 3(a – b)(b – c)(c – a).
Пропонуємо розглянути такі приклади:
1. a4 + 4 = a4 + 4a2 +
4 – 4a2 = (a2 + 2)2 – 4a2 =
(a2 – 2a + 2)(a2 + 2a + 2);
2. a4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1 – a2 = (a2
+ a + l)(a2 – a + 1);
3. а5 + a +1 = a5 + a4 – a4 + a3
– a3 + a2 – a2 + a + 1 =
= (a5 + a4 + a3) – (a4 + a3 + a2) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + l)(a3
– a2
+ 1);
4. a10 + a5 + 1 =
(a10
+ a9+ a8) – (a9 + a8 + a7) + (a7 + a6 + a5) – (a6 + a5 + a4) +
+ (a5
+ a4 + а3) – (a3 + a2 + a) + (a2 + a + 1) =
= (a2 + a + 1)(a8 – a7 + a5 – a4 + a3 – a + 1);
5. a3 + b3 + c3 – 3abc =
a3
+ 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 – 3abc –3a2b
– 3ab2 =
= ((a
+ b)3+ c3) – 3ab(a + b + c) =
= (a
+ b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2) –3ab(a +b + c) =
= (a +
b + c)(a3 + b3 + c2
– ab – ac – bc).2)Спосіб оцінок та обмежень знизу та зверху виразів та унікальних комбінацій із невідомих. Використання класичних та узагальнених нерівностей вигляду Коші, Шварца, Гельдера та інших.
3)Метод параметризації. Розгляд рівнянь з багатьма змінними як рівняння степеневого рівняння з параметрами. Вираження однієї змінної як лінійної комбінації інших. Наприклад. х= ky; х= k+y; х= ny+m.
Розв’язати
нелінійне діофантове рівняння x2 + y2
= z2, якщо усі
невідомі є цілими числами.
Вказівка.
Зрозуміло, що трійка чисел(0;0;0), тобто x=y=z=0 задовольняє дане рівняння.
Якщо взаємно обміняти
змінну х та змінну у, то рівняння не зміниться.
1)Пошукаємо
спосіб утворення цілих розв’язків через
два цілих параметри m
та n.
2)Пошукаємо
спосіб утворення цілих розв’язків через один цілий параметр k.
1) Це означає, що для трьох невідомих (x; y; z) будемо знаходити
алгебраїчні вирази із цілими змінними m та n.
х = f(m; n)
у = g(m; n)
z = q(m; n)
Зрозуміло, що сума квадратів двох цілих чисел у2+х2 – не має розкладу на лінійні множники.
Значить варто для
невідомого z згідно рівняння у2+х2 = z2 застосувати параметризацію
як суму квадратів двох цілих
чисел m2 + n2.
z2
= (m2 + n2)2 = m4 + n4 + 2m2n2
z2
= m4 +
n4 + 2m2n2 = m4 – 2m2n2 + n4 + 2m2n2
+ 2m2n2
z2
= m4 +
n4 + 4m2n2 = (m2 – n2)2
+ 4m2n2
z2
= m4 +
n4 + 4m2n2 = (m2 – n2)2 + 22m2n2 = x2 + y2
тому доданки x2 та y2 можуть мати симетричну
параметризацію відповідність
x2
=(m2 – n2)2
x
= m2 – n2 або x = n2 – m2
також y2 = 22m2n2
y = 2mn або y = -2mn
х1 = f1(m; n) =
n2 – m2 або х2 = f2(m; n) = m2 – n2
у1 = g1(m; n) = 2mn
або у2
= g2(m; n) = - 2mn
z1 = q1(m; n) = m2 + n2 або z2 = q2(m; n) = -m2 - n2
де маємо справу із цілими змінними m
та n.
2)Перевірте
самостійно, чи є серед цілих розв’язків щойно отриманого вигляду розв’язок
(0; k; k)? Адже,
02 + k2 =k2 .
Зрозуміло, якщо існує
розв’язок ( а; b; с), то існує і ( b; a; с).
Пошукаємо спосіб утворення цілих розв’язків через один цілий параметр k.
х1 = f1(m; n) =
k2 – 1 або х2 = f2(m; n) = k2 – 12
у1 = g1(m; n) = 2k
або у2
= g2(m; n) = - 2k
z1 = q1(m; n) = k2 + 1
або z2
= q2(m; n) = -k2 - 1
Увага!
x2
+ y2 = 12
z2x2 + z2y2 = 12z2
Увага!
x2
+ y2 = 12
(аx+b) 2 + (kx+m)2 = 1
Увага! Якщо розв’язок шукати у вигляді пари взаємно
залежних чисел
(x; y) = (x; kx+m), тобто
зробити заміну
у= kx+m
x2+(kx+m)2 =1
x2+k2x2+2kmx
+m2 =1
(1+k2)x2+2kmx + m2 -1=0
(1+k2)x2+2kmx + (m -1)(m+1)=0
(1+k2)x2 = -2kmx +1-m2
1+ k2 – додатний ; якщо х =
-2km =0; 1- m2
=0;
1= m2; m1 = -1; m2=1;
4) Метод конгруенцій. Пошук множини остач для лівої і правої частини рівності.
5) Метод математичної індукції.
6) Метод скінченого спуску, метод Ферма.
Завдання.
Знайти цілі числа, що задовольняють рівність:
x2 - 3y3 = 1
x2+ 2y3 =4
x3+ 2y3 =8
(y-x)xy = 1
(y+x)xy =3
(3y+7x)xy =5
(y3+x5)x3y5 = 29
(y-x)xy = 1
(y+x)xy =3
(3y+7x)xy =5
(y3+x5)x3y5 = 29
x3y3-xy
=4; (розклад на множники)
x5y5
- x3y3= 1;
1/y +1/x =2
(xy-7)2
= x2+y2;
x3+2y3=4z3xn+yn=zn-1
(1+1/x) (1+1/y)
(1+1/z)=2
1/y +1/x =1/z
Немає коментарів:
Дописати коментар