Прямокутні трикутники і подібність. Задачі олімпіадного тренінгу.

1. У прямокутного DАВС(ÐС = 90^о, ÐВ= 60^о) провели найменшу висоту СН.  Знайти усі подібні трикутники, що утворилися. Знайти коефіцієнти подібності для кожної пари трикутників. 

2. Використовуючи теорему Піфагора: АС² + ВС² = ВА² (а² + b ² = с²),  перевірте трійку сторін (а; b; с) на те, чи можуть ці сторони бути сторонами прямокутного DАВС(ÐС = 90^о):  1)( 9; 40; 41);  2) (189; 340; 380);  3) (21; 20; 29);    

    4) (7; 24; 25) ;  5) (45; 28; 53);  6) (21; 220; 221);  7) (13; 84; 85);  8) (65; 72; 97);  9)( 69; 260; 269); 10) (165; 52; 173); 

    11) (57; 176; 185);  12) (88; 105; 137); 13) (77; 36; 85);   14) (45; 28; 53);   15) (33; 56; 65);   16) (11, 60, 61).  

3. Використовуючи теорему Піфагора: АС² + ВС² = ВА² (а² + b ² = с²),  відновіть трійку сторін (а; b; с)  прямокутного DАВС(ÐС = 90^о), якщо є дві відомі сторони: 1)( 15; 8; с);  2) (35; 12; с);  3) (а; 12; 13);  4) (а; 24; 25);  5) (45; b; 53);  6) (33; b; 65);  7) (а; 84; 85);  8) (63; 16; с);  9)(а; 112; 113); 10) (165; b; 173);  11) (а; 260; 269);  12) (312; b; 313).   

4. Виписати тільки правильні твердження для прямокутного DАВС(ÐС = 90^о, ÐВ= 60^о, СН -висота):  1)АС² + ВС² = ВА²;  2) АВ² + ВС² = СА²;  3) АВ² - ВС² = СА²;  4) АВ² - АС² = СВ²;  5) СВ² - АС² = АВ²;  6)СН² = ВН∙НА;  7) СВ² = ВН∙ВА;  8)СА² = ВА∙НА;  9) СН² = ВА∙СА;  10) СВ² - НС² = НВ²;   11) СА² - НС² = НА²;  12) СН² + НВ² = СВ²;  13) СН² + НА² = СА².    

5. Знайти висоту, медіану, бісекртису  правильного трикутника зі стороною:  1)8м;   2) 12 см;  3) 2 км;   4)  24 см; 

   5) 44м;  6) 33 см;  7) 84 см;  8) 16 см;  9) 11 см;  10) 13 см; 11) 26 см; 12) b см.   

6. Знайти найменші:  висоту, медіану, бісекртису   прямокутного  рівнобедреного трикутника  з  більшою стороною:  1)8м;   2) 12 см;  3) 2 км;   4)  24 см;   5) 44м;  6) 33 см;  7) 84 см; 8) 16 см;  9) 11 см;  10) 13 см; 11) а см.   

7. Катети прямокутного DАВС(ÐС = 90^о) відносяться, як 8:15. Найменша медіана рівна 34 см. Знайдіть катети.

8. У прямокутному DАВС(ÐС = 90^о)  медіана і висота, проведені з вершини прямого кута, 25 і 24 см. Знайдіть Р_DАВС.

9. У прямокутному DАВС(ÐС = 90^о)  АВ = 6см, ÐА=60^о. Знайдіть АК, Якщо СК – висота DАВС.

10. Дві сторони одного трикутника 27см і 48 см, другого трикутника – 18 см і 32 см . Кути між відомими сторонами трикутників рівні . Доведіть, що ці трикутники подібні. Знайти невідомі сторони даних трикутників, якщо їх сума 55 см.

11. Діагоналі трапеції ABCD перетинаються в точці О . Основи трапеції AD i BC дорівнюють 64 см і  56 см відповідно. Знайти діагоналі трапеції, якщо ВО=35см, АО=48 см.

12. Діагоналі трапеції EFST перетинаються в точці О так, що FO=60 см. Точка В належить основі FS, точка А-основі ЕТ, точка О належить відрізку АВ. Знайти діагональ FT, якщо FB=30 см , AT =32 см.

13.У DАВС і DSFE кути В і Е рівні, та відомі такі довжини: АВ=88м,  ВС=55м, ES=35м, FS=70м, EF=56м. Знайти АС.

14. Відрізки АВ і СD перетинаються в точці О. Знайти BD, якщо СО =28 см, ОD=81см, АО=36см, ОВ=63см, АС=40см.

15. Точки E і F лежать на сторонах  DАВС АВ і СВ відповідно. Знайти EF, якщо АЕ =6см, ЕВ=24 см, ВF=32см, ВС=40см, АС=45см.

Завдання для самостійного опрацювання

Варіант  1.

1.У двох рівнобедрених трикутників кути між бічними сторонами рівні 60^о. Основи даних трикутників 14 см і 77 см. Знайти коефіцієнт подібності цих трикутників  та невідомі сторони.

2. Виписати тільки правильні твердження: 1)два відрізки різної довжини – це подібні фігури; 2) два квадрати з різними площами завжди мають  різні периметри; 3)усі  рівносторонні  трикутники – це подібні фігури;  4) усі кола – це подібні  фігури; 5) усі прямокутні трикутники – це подібні фігури; 6) усі рівнобедрені прямокутні трикутники – це подібні фігури; 7) усі прямокутники подібні між собою; 8) два кути, що мають рівні величини - це подібні фігури; 9) усі трикутники, що мають тільки рівні відповідні кути, але мають  не рівні периметри –це подібні  фігури.

3.При перетворенні подібності рівносторонній трикутник із стороною 9 см перетворюється в  трикутник з периметром 54 см. Знайти коефіцієнт подібності.

4. АВСD – трапеція, діагоналі перетинаються в точці Е, ВС=18см АD =24 см, АЕ=16 см, DЕ=12 см. Знайти ВЕ і СЕ.

5. В рівнобедреному трикутнику з кутом при основі 72^о провели  бісектриси до двох бічних сторін. Знайти  кути усіх трикутників, що утворилися. Записати серед  утворених трикутників тільки подібні трикутники?

6. Довжина першого прямокутника 2 см, а ширина другого 6 см. Дані прямокутники подібні. Знайти  коефіцієнт подібності, якщо площа другого прямокутника  72 см². Як відносяться периметри і площі цих прямокутників?

7. Трикутники з вершинами А,В,С і E,F,S подібні. Знайти коефіціент подібності, невідомі сторони та записати їх подібність, якщо:  а)AB=10, BC=15, AC=20, EF=8, SF=12, кутB = кут F;   б)CB=12, BA=6, EF=8, FS=10, ES=4,   кут B= кутE;

в)AC=16, AB=20, BC=12, FS=9,   кут A= кут E, кутB=кутC.

1. У прямокутного DАВС(ÐС = 90^о, ÐВ= 60^о) виразити через відношення сторін такі тригонометричні  величини: 

sin ÐВ =?,  sin ÐA=?,  cos ÐВ=? ,  cosÐA=?,  tgÐВ=? ,  tgÐA=? ,  ctgÐВ=? , ctgÐA=?

2. Використовуючи трійку сторін (а; b; с) прямокутного DАВС(ÐС = 90^о) знайти  числові значення тригонометричних виразів:   sinÐВ =?,  sinÐA=?,  cos ÐВ=? ,  cosÐA=?,  tgÐВ=? ,  tgÐA=? ,  ctgÐВ=? , ctgÐA=?   якщо:  1)( 9; 40; 41);  2) (189; 340; 380);  3) (21; 20; 29);  4) (7; 24; 25) ;  5) (45; 28; 53);  6) (21; 220; 221);  7) (13; 84; 85);  8) (65; 72; 97);  9)( 69; 260; 269); 10) (165; 52; 173);  11) (57; 176; 185);  12) (88; 105; 137); 13) (77; 36; 85);   14) (45; 28; 53);   15) (33; 56; 65);   16) (11, 60, 61).  

3. Використовуючи трійку сторін (а; b; с) прямокутного DАВС(ÐС = 90^о) знайти числові значення тригонометричних виразів:   sin ÐВ =?,  sin ÐA=?,  cos ÐВ=? ,  cosÐA=?,  tgÐВ=? ,  tgÐA=? ,  ctgÐВ=? , ctgÐA=?   якщо є тільки  дві відомі сторони: 1)( 15; 8; с);  2) (35; 12; с);  3) (а; 12; 13);  4) (а; 24; 25);  5) (45; b; 53);  6) (33; b; 65);  7) (а; 84; 85);  8) (63; 16; с);  9)(а; 112; 113); 10) (165; b; 173);  11) (а; 260; 269);  12) (312; b; 313).   

4. Виписати тільки правильні твердження для прямокутного DАВС(ÐС = 90^о,  СН -висота):  1)sin ÐВ = СА/AB; 

2) sin ÐA=CB/AB;  3)  cos ÐВ= CB/AB;  4) cosÐA = СА/AB;   5) tgÐВ =CA/CB;  6) tgÐA  = CB/AC;  7)ctgÐВ = CB/AC;   8)сtgÐA = CA/CB;    9)sin ÐВ = СН/ВС;  10) sin ÐA=CН/AС;  11) cos ÐВ = НB/СB;  12)cosÐA = НА/AС;   13) tgÐВ =CН/НB;  14) tgÐA  = CН/AН;  15)ctgÐВ = НB/НC;   ,16)ctgÐA = НA/CН.

5. Знайти катет АС прямокутного DАВС(ÐС = 90^о, ÐВ= 60^о) з гіпотенузою, що рівна:  1)8м;  2) 12 см;  3) 4 км;   4) 24 см;   5) 44м;  6) 33 см;  7) 84 см;  8) 16 см;  9) 11 см;  10) 13 см; 11) 26 см; 12) b см.   

6. Знайти катет ВС прямокутного DАВС(ÐС = 90^о, ÐВ= 30^о) з гіпотенузою, що рівна:  1)8м;   2) 12 см;  3)1 км;   4) 24 см;     5) 44м;  6) 33 см;  7) 84 см;  8) 16 см;  9) 11 см;  10) 13 см; 11) 26 см; 12) n см.   

7.  Знайти гіпотенузу АВ прямокутного DАВС(ÐС = 90^о, ÐВ= 45^о) з катетом, що рівний:  1)8м;   2) 12 см;  3)1 км;   4) 24 см;     5) 44м;  6) 33 см;  7) 84 см;  8) 16 см;  9) 11 см;  10) 13 см; 11) 26 см; 12) k см.   

8. Знайти катет ВС прямокутного DАВС(ÐС = 90^о, ÐВ= 60^о) з катетом АС, що рівний:  1)8м;   2) 12 см;  3)1 км;   4) 24 см;     5) 44м;  6) 33 см;  7) 84 см;  8) 16 см;  9) 11 см;  10) 13 см; 11) 26 см; 12) b см.   

Варіант  5.

1. У прямокутного DАВС(ÐС = 90^о) з катетом СВ= 8 см і  провели найменшу висоту СН = 4 см.  Знайти градусну міру усіх гострих  кутів трикутника СВН . Не  забудьте використати таблиці тригонометричних величин(таблиці Брадіса).

2. Знайти значення виразів: sin45^о =?,  sin60^о=?, cos30^о=?, cos60^о=?, tg30^о =? , tg60^о =?, ctg60^о =?, ctg30^о =?, ctg45^о=?

3. Знайти градусні міри гострих  кутів, використовуючи тригонометричні таблиці Брадіса, і знаючи сторони (а; b; с)  прямокутного DАВС(ÐС = 90^о), якщо:  1)( 9; 40; 41);  2) (189; 340; 380);  3) (21; 20; 29); 4) (7; 24; 25) ;  5) (45; 28; 53);  6) (21; 220; 221);  7) (13; 84; 85);  8) (65; 72; 97);  9)( 69; 260; 269); 10) (165; 52; 173);  11) (57; 176; 185);  12) (88; 105; 137); 13) (77; 36; 85);   14) (45; 28; 53);   15) (33; 56; 65);   16) (11, 60, 61).  

4.  Знайти градусні міри гострих  кутів, використовуючи тригонометричні таблиці Брадіса, і сторони (а; b; с)  прямокутного DАВС(ÐС = 90^о),  якщо є дві відомі сторони: 1)( 15; 8; с);  2) (35; 12; с);  3) (а; 12; 13);  4) (а; 24; 25); 

5) (45; b; 53);  6) (33; b; 65);  7) (а; 84; 85);  8) (63; 16; с);  9)(а; 112; 113); 10) (165; b; 173);  11) (а; 260; 269).

5. Виписати тільки правильні твердження для прямокутного DАВС(ÐС = 90^о, СН -висота):  1)АН² + ВС² = ВА²; 

    2) НВ² + НС² = СА²;  3) НВ² - ВС² = НА²;   4) НВ² - НС² = СВ²;  5) НВ² - АС² = АВ²;   6)СН² = ВН∙НА;   7) СВ² = ВН∙ВА; 

   8)СА² = ВА∙НА;   9) СН² = ВА∙СА;   10) СВ² - НС² = НВ²;   11) СА² - НС² = НА²;  12) СН² + НВ² = СВ²;  13) СН² + НА² = СА².    

6. Знайти кут при вершині рівнобедреного трикутника зі  сторонами:  :  1)( 18; 41; 41);  2) (378; 380; 380);  3) (42; 29; 29); 4) (14; 25; 25) ;  5) (90; 53; 53);  6) (42; 221; 221);  7) (26; 85; 85);  8) (130; 97; 97);  9)( 138; 269; 269); 10) (230; 173; 173);  11) (114; 185; 185);  12) (176; 137; 137); 13) (154; 85; 85);   14) (10; 13; 13);   15) (66; 65; 65);   16) (22, 61, 61).

7. Знайти кути при основі  рівнобедреного трикутника з  відомою основою та відомою бічною стороною:  1)8м і 5 см;  2) 10 см і 25 см;  3) 10см і 13см;   4) 66см  і 65см;    5)22см і 61см; 6)42см і 29см; 7) 14м і 25м; 8) 90см і 53см. 

8. Катети прямокутного DАВС(ÐС = 90^о) відносяться, як: 1)8:15; 2)35:12;3)16:63; 4)20:99; 5)12:5; 6)55:48; 7) 11:60; 8) 9:40.  Медіана СМ рівна: 1) 34 см; 2)74м;3)130м; 4)202м; 5)26м; 6)146м; 7)122м; 8) 82м.  Знайти а та Ðb  DАВС.

8. У прямокутному DАВС(ÐС = 90^о)  медіана і висота, проведені з вершини прямого кута, 25 і 24 см. Знайдіть гострі кути прямокутного  DАВС.

Варіант  6.

1. Виписати у відповідь  тільки правильні тригонометричні тотoжності:  1) sin²b  +  cos²b  = 1;   2)ctgb ∙tgb =1;     3) ctgb  =(sin b) / ( cosb) ;   4) tga=(sin a) / (cosa);    5) ctg²b +1/ sin²b =1;    6) ctga∙ tgb =1;  7) tg²a+1/cos ²a=1;     8)sin²10^o  + cos²10^o =1,    9) (cos4^o)/( cos4^o)=1,  10)tg²a∙c tg²a=1;    11)ctga∙tga=1;   12) sin²a+  cos²a  = 1.

2. Спростити  тригонометричні вирази:  1) (sing +cosg)² / (1+2sing ∙cosg)  ;  2) cosa∙ tga + (sin²a)/( tg²a);    3) sin²b +cos²b - tg²a∙c tg²a;   4) sin⁴a -cos⁴a;   5) tga∙ sina -  1/(cosa);   6) ctg²a +1/(sin²g)  - 1; 7) -1+tg²a+1/cos ²a ;

3. Знайти: 1) cos²(90^o -10^o ) + cos²10^o = ?;  2) sin²(90^o -40^o ) + sin²40^o = ?;  3)sin(90^o -40^o) /cos40^o) = ?.

4. Чому дорівнює  sina, ctga, tga, якщо соsa = 0,6?   5. Чому дорівнює  соsa, ctga, tga, якщо sina = 0,8?

6.  У прямокутному трикутнику відомо: а)катет і гострий кут; б)гіпотенуза і  гострий кут. Знайти невідомі сторони.