Факультативний курс з математики. Програма.

Рекомендації щодо підготовки учнів до участі в олімпіаді з математики.

Вам варто подивитись на сайт http://matholymp.org.ua

17.Московская математическая олимпиада: http://olympiads.mccme.ru/mmo

18.Дистанционное обучение математике: http://math.olymp.mioo.ru/course

19.Міжнародні олімпіади з математики: http://imo-official.org

Рекомендована література:

1. Вороний О.М. Готуємось до олімпіади з математики. – Х.: Видавнича

група «Основа», 2008. – Книга 1,2.

2. Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л. и др. Сборник материалов

математических олимпиад: 906 самых интересных задач и примеров с

решениями. – Донецк: ООО ПКФ "БАО", 2005. – 336 с.12

3. Лейфура В.М., Мітельман І.М., Радченко В.М., Ясінський В.А.

Математичні олімпіади школярів України: 1991–2000 рр. – Київ: Техніка,

2003. – 541 с.

4. Лейфура В.М., Мітельман І.М., Радченко В.М., Ясінський В.А.

Математичні олімпіади школярів України: 2001–2006 рр. – Львів: Каменяр,

2008. – 348 с.

5. Лейфура В. М., Мітельман І. М. Розв'язуємо разом. – Харків: Основа,

2003. – 144 с.

6. Маланюк М.П., Лукавецький В.І. Олімпіади юних математиків. – К.:

Рад. шк., 1985. – 144 с.

7. Математичні олімпіадні змагання школярів України: 2007–2009 рр. (за

ред. Б. В. Рубльова). – Львів: Каменяр, 2010. – 549 с.

8. Мітельман І.М. Розфарбуємо клітчасту дошку. – Львів: Каменяр, 2001.

– 48 с.

9. Конет І.М., Радченко В.М., Теплінський Ю. В. Обласні олімпіади з

математики. – Кам'янець-Подільський: Абетка, 2010. – 388 с.

10.Прасолов В.В. Задачи по планиметрии, в 2 ч. – М.: Наука, 1991.

11.Рубльов Б.В. та інш. Математичні олімпіадні змагання школярів

України. – К: Літера, 2008.

12.Сборник олимпиадных задач по математике 6-8 класс/ Довбыш Р.И.,

Потемкина Л.Л., Потемкин В.Л. – Донецьк: Каштан, 2005. – 256 с.

13.Ясінський В.А. Задачі математичних олімпіад та методи їх

розв'язування. – Тернопіль: Богдан, 2005. – 208 с.

14.Ясінський В.А. Олімпіадна математика: функціональні рівняння, метод

математичної індукції. – Х.: Вид. Група „Основа“, 2005.

15.Ясінський В.А. Олімпіадні задачі з геометрії. – К.: Шкільний світ, 2008.

– 128 с.

Рекомендовані Інтернет-джерела

16.Всеукраїнські та київські олімпіади, турніри з математики (можна знайти тексти завдань, результати та умови проведення математичних змагань, що проходили в Україні протягом останніх років):      http://matholymp.org.ua

17.Московская математическая олимпиада: http://olympiads.mccme.ru/mmo

18.Дистанционное обучение математике: http://math.olymp.mioo.ru/course

19.Міжнародні олімпіади з математики: http://imo-official.org

Успішність вирішення завдань організації роботи з обдарованими учнями з математики значною мірою залежить від організації навчального процесу. Учитель має використовувати можливість вільно вибирати методичні шляхи й організаційні форми навчання. Перший етап підготовки учнів до участі в олімпіаді з математики (5-6 класи) є певною мірою орієнтовним. На цьому етапі слід допомогти учневі усвідомити ступінь свого інтересу до предмета й оцінити можливості оволодіння ним з тим, щоб після закінчення 7 класу він міг зробити свідомий вибір на користь подальшого поглибленого вивчення математики або вивчення в рамках загальноосвітнього курсу. На етапі підготовки передбачається розширення теоретичного матеріалу та наповнення курсу різноманітними цікавими і складними задачами з достатнім та високим евристичним навантаженням. Для підтримки інтересу до предмета включаються до процесу навчання задачі з розважальними елементами, відомості з історії математики тощо.

Пропонуємо під час проведеня уроків використовувати елементи підготовчого курсу до олімпіади, який має на меті: сприяти досягненню учнями високого рівня математичної підготовки; розвивати стійкий пізнавальний математичний інтерес; поєднати шкільне навчання з дослідницькою діяльністю за вибором, згідно з власним інтересом до конкретних проблем. Обирати теми, які поглиблюють найбільш важливі питання основного курсу, систематизуючи матеріал, який вивчається на уроках у різний час, доповнюючи його важливими відомостями загальноосвітнього і прикладного характеру. Особлива увага приділяється формуванню практичних навичок розв’язання задач підвищеної складності (здебільшого „олімпіадних”) з кожної теми основного курсу. А також використовувати теми , які не мають безпосереднього відношення до основного курсу і  носять характер олімпіадного направлення.

Матеріали цих тем рекомендується, по можливості, на кожному занятті поєднувати з вивченням питань основного курсу. Теми підготовчого курсу незалежні одна від одної, а об’єм матеріалу в кожній з них допускає регулювання учителем. Матеріал може використовуватись на факультативі, курсі за вибором або спецкурсі, введених за рахунок варіативного компоненту.

Пропонуємо вашій увазі проект програми по підготовці до олімпіади.

Індивідуальна освітня програма  обдарованої дитини

Мета програми: Узагальнити, систематизувати, розширити і поглибити знання учня по предмету, сформувати потребу до науково-дослідницької діяльності в процесі активної самостійної роботи і забезпечити максимальний розвиток його інтелектуальних і творчих здібностей. Завдання програми:

- сформувати стійкі знання з предмета;

- виховати пізнавальну активність, вміння набувати знання і творчо ними розпоряджатися; - виробити уміння проводити повне обґрунтування в ході теоретичних міркувань;

- вдосконалювати уміння вирішувати завдання підвищеної складності;

- засвоїти ряд позапрограмових тем;

- підготувати до предметної олімпіаді.

7  клас  (1 год на тиждень)

I. Логічні задачі ( 5год)

Принцип Діріхле. Конструкції та зважування. Чергування. Розбиття на пари. Переливання. Логічні завдання, розв'язані «з кінця». Завдання, що вирішуються на основі таблиці істинності.

II. Числа ( 6год)

Числові множини. Розв’язування задач на подільність. Натуральні і цілі числа, дії над ними, властивості. Визначення і властивості подільності, основні теореми про ділення націло та з остачею. Дільник і кратне, прості і складені числа, НСД і НСК, взаємно прості числа. Алгоритм Евкліда. Ознаки подільності на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 25, 37. Нескінченність  множини простих чисел (теорема Евкліда, постулат Бертрана). Теореми про взаємно прості числа.

II. Модулі (4 год.)

Розвязування лінійних рівнянь з модулем. Побудова графіків функцій, що містять знак модуля.

III. Методи розвязування рівнянь.(9 год.)

Графічний метод розвязування рівнянь. Лінійні діафантові рівняння. Лінійні рівняння з параметром. Графічний метод розв’язування рівнянь з параметром. Задачі на концентрацію і процентний вміст. Задачі на процентний приріст і обчислення. Задачі на роботу і продуктивність праці, задачі на спільну роботу

ІІІ. Геометрія (8 год)

Кути. Симетрія в задачах на стратегію гри. Розрізання та покриття.

8 клас (1 год на тиждень)

I.Числові множини (11 год)

Поняття про множину. Елементи множини, підмножини, знаки включення. Операції над множинами (об’єднання, перетин, різниця, доповнення, декартів добуток множин), приклади. Порівняння множин, еквівалентність нескінченних множин, поняття потужності, приклади. Числові множини (множина натуральних і цілих чисел). Визначення і властивості подільності, основні теореми про ділення націло та з остачею. Дільник і кратне, прості і складені числа, НСД і НСК, взаємно прості числа. НСД і НСК. Алгоритм Евкліда. Ознаки подільності на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 25, 37. Нескінченність множини простих чисел (теорема Евкліда, постулат Бертрана). Теореми про взаємно прості числа (Ферма, Ейлера, Вільсона). Розкладання на множники. Лінійні діафантові рівняння. Розгляд проблем, пов’язаних з простими та досконалими числами.

II. Геометрія (11 год)

Геометричні побудови. Побудова за допомогою циркуля і лінійки (аксіоми лінійки та циркуля). Загальна схема розв’язування задач на побудову. Загальні методи розв’язування задач на побудову: метод базисних трикутників; метод геометричного місця точок; метод перетворення площини (симетрія, паралельне перенесення, поворот, гомотетія);

Чудові точки і лінії в трикутнику (чотирикутнику). Центр вписаного і описаного кіл в трикутнику, чотирикутнику. Центр мас. Золоте правило важеля. Ортоцентр (точка перетину висот). Центри зовнівписаних кіл. Пряма Ейлера, коло дев’яти точок. Опорні задачі про чудові лінії. Графи.

ІІІ   різне (10 год)

Принцип Дірихле. Математичні ігри. Основні підходи до розв’язування логічних задач (за допомогою таблиць, аналіз з кінця). Ігри-жарти. Виграшні стратегії (парність, симетричність, розв’язування з кінця, розбиття на пари, стратегія безперервної загрози). Задачі на переслідування. Розфарбування як метод розв’язування логічних задач. Числові конструкції. Інваріант. Напівінваріант

9 клас (1 год на тиждень)

I.Функції та їх графіки (6 год)

Виникнення та розвиток поняття „функція”. Основні характеристики функції. Композиція функцій, оборотність функції. Найпростіші функціональні співвідношення та функціональні рівняння. Елементарні перетворення графіків функцій. Побудова графіків, що містять модуль (побудова Г.М.Т.). Побудова графіків функцій, що містять цілу та дробову частини. Побудова Г.М.Т., що містять антьє і мантису. Арифметичні дії з графіками.

II. Рівняння та нерівності (10 год)

Стандартні та нестандартні прийоми розв’язування рівнянь. Функціональний метод розв’язування рівнянь. Розв’язування рівнянь та нерівностей, що містять цілу та дробову частини.  Метод нерухомої точки та розв’язування рівнянь відносно коефіцієнтів. Рівняння і нерівності з параметрами, основні підходи до їх розв’язування.

Узагальнення методів доведення числових нерівностей.Традиційний підхід до доведення нерівностей (за означенням та використовуючи класичні нерівності Коші, Бернуллі, Коші-Буняковського, Чебишева, вагова нерівність Коші).Нетрадиційні методи доведення нерівностей: метод підсилення, використання векторів, використання властивостей функцій, геометричний підхід «американська заміна», використання одномонотонних послідовностей.

Рівняння в цілих числах. Лінійні діофантові рівняння та основні методи їх розв’язування, метод підбору, ланцюгового дробу, використання функції Ейлера. Нелінійні діофантові рівняння та основні методи їх розв’язування

III. Числові послідовності (8 год)

Числові послідовності та методи їх задання. Обчислення сум числових послідовностей. Дедукція та індукція. Різновиди індукцій та їх використання. Рекурентні послідовності. Перехід від рекурентно заданої послідовності до аналітично заданої. Границя числової послідовності. Теореми Вейєрштрасса, використання до розв’язування рівнянь. Числовий ряд, необхідна й достатня умови його збіжності, підсумування числових рядів.

IV. Геометрія (8 год)

Вектори.Використання векторів до розв’язування задач і доведення теорем.Метод координат на площині (основні задачі в координатах).Рівняння прямої, кола, еліпса, гіперболи.Геометричні перетворення площини.Інверсія та її використання.Радикальна вісь. Використання властивостей до розв’язання деяких задач. Інваріант.Напівінваріант.

10-11 класи ( 1 година на тиждень)

Порядок вивчення тем 10-11 класів та  розподіл годин визначається викладачем у відповідності з тематикою планування основного курсу в цих класах.

I. Числа та числові послідовності.

Натуральні та цілі числа. Розклад на множники, найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне (основні теореми). Подільність та ділення з остачею (теореми Евкліда, Ферма, Лагранжа, Вільсона, китайська теорема про остачі). Теорія порівнянь в задачах на подільність. Рівняння в цілих числах. Раціональні та ірраціональні числа.  Множина раціональних чисел, щільність множини раціональних чисел. Способи доведення ірраціональності числа.  Алгебраїчні та трансцендентні числа, їх властивості. Числові послідовності. Прогресії. Рекурентні послідовності (послідовність чисел Фібоначі). Рекурентні послідовності та функціональні рівняння.

II. Многочлени від однієї та двох змінних.

Многочлени від однієї змінної. Дії над многочленами, звітні та незвітні многочлени. Корені многочлена (теореми Безу, Вієта, схема Горнера). Різні методи розкладання на множники. Раціональні рівняння вищих степенів та основні методи їх розв’язування (метод Кордано та Феррарі); Використання властивостей функцій при розв’язуванні раціональних рівнянь.

Многочлени від двох змінних. Стандартний вигляд многочлену від декількох змінних; симетричні й однорідні многочлени. Використання властивостей симетричних і однорідних многочленів до доведення нерівностей та розв’язування деяких алгебраїчних рівнянь. Геометричний зміст рівняння з двома та трьома змінними, розв’язування нерівностей з двома змінними. Системи рівнянь та основні методи їх розв’язування, в тому числі такі, як: метод Гауса, Крамера, оберненої матриці.

III. Функції та їх графіки.

Побудова графіків функцій без застосування похідної. Побудова складених функцій. Арифметичні дії над графіками функцій. Основні характеристики функцій.. Періодичні функції, основні теореми про періодичність. Оборотність функції; взаємообернені функції.  Функціональні рівняння. Функціональні співвідношення і функціональні рівняння. Метод підстановок як основний метод розв’язування функціональних рівнянь. Адитивні функції та функціональні рівняння для лінійної, показникової та логарифмічної функцій. Границя функції за Коші, за Гейне. Основні теореми про границі. Нескінченно малі та великі функції в точці, їх зв’язок. Теореми Больцано-Коші та їх  використання. Похідна і розклад на множники многочленна. Похідна у доведенні нерівностей та тотожностей. Похідна та сумування послідовностей.  Похідна та порівняння чисел. Нестандартні рівняння і нерівності.

IV. Узагальнення методів доведення числових нерівностей.

Традиційний підхід до доведення нерівностей. За означенням та використовуючи класичні нерівності Коші, Бернуллі, Коші – Буняковського, Чебишева, Юнга, Карамати. Вагова нерівність Коші та інші різновиди. Метод математичної індукції та її різновидів. Нетрадиційні методи доведення нерівностей. Метод підсилення. Використання векторів. Використання властивостей функцій (лінійної, квадратичної, опуклої). Використання тригонометрії. Геометричний підхід.

V.Геометрія .

Методи розв’язання планіметричних задач: основні геометричні факти і теореми. Опорні планіметричні задачі. Основні геометричні прийоми і методи розв’язування задач: додаткові побудови, геометричні перетворення, метод подібності, метод площ, метод допоміжного кола, метод перерізу.  Різновиди аналітичних методів розв’язування геометричних задач: метод поетапного розв’язування; метод складання рівнянь; метод координат; векторний метод.

Вибрані задачі та теореми планіметрії. Теореми Стюарта, Чеви і Менелая. Афінні задачі. Геометричні нерівності, задачі на доведення, задачі на оптимізацію. Стереометричні задачі та методи їх розв’язування. Спеціальні методи розв’язування стереометричних задач: метод перерізів, метод проекції, добудова, розгортка. Вектори у просторі, використання до розв’язування задач.

VІ різне .

Принцип крайнього. Найменший чи найбільший кут. Найменша та найбільша відстані та площа. Принцип Дірихле. Скінченна кількість точок, прямих, площин. Подільність, інваріантність, розфарбування. Парність та непарність в задачах геометрії. Подільність в задачах геометрії.  Інваріант. Напівінваріант. Допоміжні розфарбування як метод розв’язування геометричних задач на конструкцію та ігри. Розгляд гіпотез та нерозв’язаних проблем з теорії розфарбувань. Системи точок і відрізків, індукція і комбінаторика. Індукція. Комбінаторна геометрія. Графи. Ейлерові графи.

ПРОГРАМА

факультативного курсу з математики

у  8 класі

2014-2015 н.р.

Тема: «Розв’язування  олімпіадних задач»

№ зан.	Дата	Тема заняття	К-ть год
		Тема 1. Задачі на подільність
1		Найпростіші теореми про подільність цілих чисел.
2		Теорема про ділення з остачею.
3		Арифметика лишків та її застосування.
4		Властивості найменшого натурального дільника складеного числа.
		Тема 2. Лінійні діофантові рівняння з двома змінними.
5		Критерій розв’язності лінійного діофантового рівняння з двома змінними та методи його розв’язування.
6		Розв’язування та дослідження деяких типів нелінійних діофантових рівнянь.
		Тема 3. Принцип Дирихле.
7 8		Принцип Дирихле та деякі його застосування в задачах теорії чисел та геометрії.
		Тема 4. Алгебраїчні нерівності.
9		Теорема про середні. Нерівність Бернуллі.
10		Геометричні нерівності.
11		Нерівність трикутника.
12		Нерівності з кутами.
		Тема 5. Екстремальні задачі без застосування похідної.
13		Метод оцінки.
14		Метод перебору.
15		Метод опорної функції.
16		Розв’язування задач.
		Тема 6. Нестандартні способи розв’язування рівнянь і нерівностей.
17 18		Використання суперпозиції функцій, обмеженості, області допустимих значень функції.
19 20		Використання числових нерівностей.
		Тема 7. Елементарне дослідження функцій.
21		Задачі з параметрами.
22		Критерій існування спільного кореня у двох квадратних рівнянь.
23		Задачі, пов’язані з розміщенням коренів квадратного рівняння на числовій осі.
24		Графічні методи розв’язування задач з параметрами.
		Тема 8. Геометричні задачі на побудову.
25		Базові задачі. Побудова трикутників та чотирикутників за різними елементами за допомогою ГМТ і методу допоміжних трикутників.
26		Метод геометричних перетворень.
		Тема 9. Розрізування та розбиття.
27		Рівно складеність. Розрізування на частини, які мають спеціальні властивості.
28		Кількість частин при розрізуванні.
		Тема 10. Послідовності.
29		Підсумовування.
30		Комбіновані задачі про арифметичну та геометричну прогресії.
31		Обчислення сум.
32		Розв’язування задач.
		Тема 11. Логічні задачі.
33		Розв’язування логічних задач способом міркування.
34		Розв’язування логічних задач за допомогою складання таблиць та графів.
35		Підсумкове заняття.