Поняття множини. Операції над множинами

Поняття множини. Операції над множинами

Поняття множини належить до первісних понять математики, якому не дається означення Множину можна уявити собі як су­купність деяких предметів, об'єднаних за довільною характерис­тичною ознакою Наприклад, множина учнів класу, множина цифр десяткової нумерації (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), множина натуральних чисел, множина зернин у даному колосі, множина букв українського алфавіту, множина точок на прямій

Предмети, з яких складається множина, називаються її елементами і позначаються малими буквами латинського алфавіту. Наприклад, а = 5 - елемент множини цифр десяткової нумерації Для позначення множин використовують великі букви латинсь­кого алфавіту або фігурні дужки, всередині яких записуються елементи множини При цьому порядок запису елементів не має значення Наприклад, множину цифр десяткової нумерації мож­на позначити буквою М (чи будь-якою великою буквою латин­ського алфавіту) або записати так {1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 7, 9, 0}

Належність предмета даній множині позначається символом "Є" , а неналежність - "Є"символом. Наприклад, число 7 ЄА, де А - множина чисел першого десятка, а число 12 A.

Множини бувають скінченні і нескінченні. У скінченній множині міститься певна кількість елементів, тобто кількість елементів скінченної множини виражається натуральним чис­лом Наприклад, множина М цифр десяткової нумерації скінчен­на і містить десять елементів. У нескінченній множині - нескін­ченна кількість елементів. Наприклад, множина натуральних чисел, множина точок прямої - нескінченні множини.

Множина, в якій немає жодного елемента, називається порож­ньою і позначається символом . Наприклад, множина точок перетину двох паралельних прямих - порожня множина

Якщо множина В складається з деяких елементів даної мно­жини А (і тільки з них), то множина В називається підмножиною множини А. У такому разі співвідношення між множинами А і В позначається так В А (читається "В міститься в А" або "В — підмножина А"). Якщо В може й дорівнювати А, то вживається символ В А. Знак називається знаком нестрогого включення, а знак - знаком строгого включення.

Порожня множина є підмножиною будь-якої множини, тобто А.

Саму множину А можна розглядати як підмножину А, тобто А А.

Множину задають двома основними способами:

1) переліченням всіх її елементів;

2) описанням характеристичної властивості її елементів. Наприклад: а) В = {o,,¡} - множина, задана переліченням елементів; б) X - множина коренів квадратного рівняння х2 = 25. Множина X задана характеристичною властивістю елементів - бути коренем рівняння х2 = 25". Цю саму множину можна зада­ти і переліченням її елементів: X = {-5; 5}.

Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів. Наприклад, множини коренів рівняння х2 = 25 і |x| = 5 рівні між собою. Справді, X = {-5; 5} і Y = {-5; 5}, де Y - множина розв'язків рівняння |x|-5. Отже, X = Y.

Над множинами виконуються певні операції (дії). Зазначимо три з них.

Переріз множин. Перерізом множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих і тільки тих елемен­тів, які належать коленій з даних множин А і В.

Приклад 1. Нехай А - множина всіх дільників числа 32, тобто А = {І, 2, 4, 8, 16, 32), а В - множина всіх дільників чис­ла 24, тобто В = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Тоді перерізом множин А і В є множина С = {1, 2, 4, 8}, яка складається зі спільних дільників чисел 32 і 24.

Схематично переріз множин А і В можна зобразити за допо­могою фігур. Символічно позначається так: С = А В і читається: "С є перерізом А і В".

Приклад 2. Нехай М - множина прямокутників, N - множина ромбів, тоді Р = М N - множина квадратів.

Об'єднання множин. Об'єднанням (або сумою) двох мно­жин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В, і тільки з них.

Позначається це так: С = А В і читається: "С є об'єднанням А і В".

Якщо множини А і В мають спільні елементи, тобто А В 0, то кожний з цих спільних елементів береться в множину С тільки один раз.

Приклад 3. А ={1,2, 3,4}, В = {3, 4, 5, 6}, тоді С = {1,2,3,4,5,6}.

Приклад 4. Q - множина раціональних чисел, І - мно­жина ірраціональних чисел. Тоді множиною R всіх дійсних чисел буде об'єднання множин Q і І, тобто R = Q І.

Операції над множинами широко використовуються в мате­матиці та інших науках, а також у практиці. Наприклад, розв'яз­ками системи рівнянь є переріз множин розв'язків кожного рів­няння, а об'єднання їх є множиною розв'язків сукупності рів­нянь.

Віднімання множин. Доповнення множини. Різницею двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множини А, що не належать множині В.

Позначається це так: С = А \ В і читається: "С є різницею А і В".

Приклад 5. а) А= {5,6, 8, 12}, В= {5, 6}, тобто В А, тоді С = А \ В= {8, 12};

б) А = {5, 6, 8, 12}, В = {8, 12, 1, 2}, тоді С = А\ В = {5, 6};

в) А = {5, 6, 12}, В = {1, 2}, тоді С = А \ В = {5, 6, 12};

г) А= {5, 6}, В= {5,6, 12}, тобто В А, тоді С = А\ В = .

У випадку, коли А В, то різниця С = А \ В називається доповненням множини В відносно множини А і позначаєть­ся САВ.

Розглянемо декілька задач на розміщення

1. Скількома способами можна обтягнути 6 стільців тканиною, якщо є тканина шести різних коль­орів, і всі стільці повинні бути різнобарвними?

Відповідь: n = Р₆ = 1∙2∙3∙4∙5∙6=6! = 720.

2 . Скількома способами можуть розташувати­ся у турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо відо­мо, що ніякі дві команди не набрали порівну очок?

Відповідь: п = Р₁₀=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10 = 10!

3. Скільки чотиризначних чисел можна утво­рити з цифр 0, 1,2, 3, не повторюючи їх?

Розв'язання.

Перестановкою без повторень (за умовою) заданих цифр можна утворити чотиризначне або тризначне (з нулем на першому місці) числа. Ніяк інакше такі числа отримати не можна. Загальна кількість перестановок чотирьох елементів без повторень Р =4∙3∙2∙1. З них перестановок з нулем на першому місці. Звідси шукана кількість чотиризначних чисел дорівнює n= 3∙3∙2∙1=18.

 4. Скількома способами можна скласти три­колірний смугастий прапор, якщо є тканина п'яти різних кольорів? Розв'яжіть ту ж саму задачу за умови, що одна смуга повинна бути червоною.

Розв'язання.

Кількість триколірних смугастих прапорів, що скла­дені з тканини 5 кольорів, дорівнює числу розміщень без повторень 5 кольорів по трьох місцях на прапорі:

                                                       5∙4∙3 = 60

Якщо ж одна із смуг червона, то її на прапорі можна розташувати трьома способами. Для кожного з таких роз­міщень червоної смуги два кольори для смуг, що залиши­шся, можна вибрати з чотирьох кольорів і розмістити по двох місцях на прапорі  4∙3 = 12 способами. За правилом добутку з червоною смугою можна скласти

4∙3 + 4∙3 + 4 ∙3 = 3∙4∙3 = 36 прапорів.

 5. Є 8 токарів.  Скількома способами можна поручити трьом із них виготовлення трьох різних деталей по одному виду на кожного.

Розв'язання.

Йдеться про вибір трійки токарів з восьми з подальшим розміщенням їх біля трьох верстатів, що виготовляють різні деталі. Тому  n = 8∙7∙6 = 336.

6.  До профкому обрано 9 чоловік. З них треба обрати голову, його заступника, секретаря та культорга. кількома способами це можна зробити?

Відповідь: n =9∙8∙7∙6 =  3024.

7. Скількома способами можна вкинути 5 лист­ів в 11 поштових скриньок, якщо до кожної скриньки вкинути не більше одного листа?

Відповідь:  п = 11∙10∙9∙8∙7.

8. На зборах мають виступити 5 чоловік: А, Б, В, Г, Д. Скількома способами можна їх розташувати у список промовців, якщо:

Б не повинен виступати перед А;

якщо Б мусить виступити відразу за А?

Розв'язання.

Загальна кількість можливих списків промовців дорівнює Р₅ = 5! = 120. З  них у половині списків Б виступає за А. Тому: 1) п=60.

Якщо ж Б повинен виступити відразу за А, то, вважаючи пару (А, Б) співпромовцями однієї доповіді, дістанемо, що 2) п = 4! = 24 – кількість списків доповідей.

9. Скільки різних натуральних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, якщо кожне число містить кожну з даних цифр не більше одного разу?

Розв'язання.

З п'яти цифр можна утворити однозначні, двозначні, ..., п'ятизначні числа. Однозначних натуральних чисел, очевидно, буде чотири. Процес утворення двозначно­го числа можна описати так: з п'яти цифр на місце десятків можна 4 цифри(бо нуль не можна поставити на перше місце), а на місце одиниць можна поставити чотири цифри(бо одну цифру вже використали), таким чином, на двоцифрових чисел  4∙4 = 16.

Вибравши три цифри з п'яти і розмістивши їх на міс­цях для числа сотень, десятків і одиниць,  отримаємо

n₃  = 4∙4∙3 = 48 чисел

Аналогічно, n₄ = 4∙4∙3∙2 = 96;

n₅ = 4∙4∙3∙2∙1 = 96.

Загальна ж кількість чисел

K =   n₁+ n₂+ n₃+ n₄+ n₅= 4 + 16 + 48+96 + 96 =260.

Задачі для самостійного осмислення і розв’язання.

1. В магазині "Все до чаю  є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця. Скількома способами можна купити чашку з блюдцем?

2. В магазині "Все до чаю" є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця та  4 чайні ложки. Скількома способами можна купити комплект з чашки, блюдця та ложки?

3. В Країні Чудес є три міста: А, Б і В. З міста А в місто Б ведуть 6 доріг, а з міста Б у місто В – 4 дороги . Скількома способами можна проїхати від А до В?

4. В Країні Чудес є чотири міста: А, Б і В, Г і декілька нових доріг. Скількома способами можна тепер добратися з міста А в місто В?

5. В магазині "Все до чаю' , як і раніше, продається 5 чашок, 3 блюдця та 4 чайні ложки. Скількома способами можна купити два предмети з різними назвами?

6. Назвемо натуральне число "симпатичним", якщо в його запису зустрічаються тільки непарні цифри. Скільки існує 4-цифрових "симпатичних" чисел?

7.  Монету кидають тричі.    Скільки різних послідовностей орлів та решок можна при цьому отримати?

8. Кожну клітинку квадратної таблиці 2x2 можна пофарбу­вати в чорний або білий колір. Скільки існує різних роафарбувань цієї таблиці?

 9. Скількома способами можна заповнити одну картку в ло­тереї "Спортпрогноз"? (В цій лотереї треба передбачити підсумок тринадцяти. спортивних матчів. Підсумок кожного матчу – перемога однієї з команд або нічия; рахунок не має значення.)

10. Алфавіт племені Мумбо-Юмбо складається з трьох літер А, Б та В. Слово – будь-яка послідовність, яка складається не більше як з 4 літер. Скільки слів в мові племені Мумбо-Юмбо?

Вказівка. Підрахуйте окремо кількість одно-, дво-, три- та чотирилітерних слів.

11. У футбольній команді (11 чоловік) треба, вибрати капіта­на та його заступника. Скількома способами це можна зробити?

12. Скількома способами можна зробити трикольоровий прапор з горизонтальними смугами однакової ширини, якщо є матерія шести різних кольорів?

13. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білу та чорну  тури  так, щоб вони не били одна одну?

14. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білого  і чорного королів так, щоб вийшла допустима правилами гри позиції'

15. Скільки існує трицифрових чисел, в запису яких 1, 2, 3 зустрічаються рівно по одному разу?

16. Скількома способами можна викласти в ряд червону, чор­ну, синю та зелену кульки?

17. Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ВЕКТОР"?

18. Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ЛІНІЯ"?

19.    Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ПАРАБОЛА"?

20.  Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ОРТОГОНАЛЬНИЙ"?

21.  "МАТЕМАТИКА". Відповідь. 10!/(3!∙2!∙2!).

22.  В країні 20 міст, кожні два з яких з'єднані авіалінією. Скільки авіаліній в цій країні?

23.  Скільки діагоналей в опуклому "n"-кутнику?

24. Намисто – це кільце, на яке нанизано намистинки. На­мисто можна повертати, але не перевертати. Скільки різних намист можна зробити з 13 різнокольорових намистин

25. Намисто – це кільце, на яке нанизано намистинки. Припустимо тепер, що намисто можна й перевертати. Скільки тоді різних намист можна зробити з 13 різнокольорових на­мистин?

26.  Скільки існує 6-цифрових чисел, в напису  яких є при­наймні одна парна цифра?

27.  В абетці племені Бум-Бум шість літер. Словом є будь-яка, послідовність, з шести літер, в якій є принаймні дві однакові літери. Скільки слів в мові племені Бум-Бум?

28. В кіоску "Друк України" продаються 5 видів конвертів та 4 види марок. Скількома способами можна, купити конверт з маркою?

29. Скількома способами можна, вибрати голосну та приго­лосну літери зі слова "КРУЖОК"?

30. На дошці написано 7 іменників, 5 дієслів та 2 прикмет­ники. Для речення треба вибрати по одному слову кожної з цих частин мови. Скількома способами це можна зробити?

31.  У двох колекціонерів-початківців є по 20 марок і по 10 значків.    Чесним обміном називається обмін однієї марки на одну марку або одного значка на один значок.   Скількома способами колекціонери можуть здійснити чесний обмін?

32. Скільки існує 6-цифрових чисел, всі цифри яких мають однакову парність?

33. Треба відіслати 6 термінових листів. Скількома спосо­бами це можна зробити, якщо для передачі листів можна використати трьох кур'єрів і кожен лист можна дати будь-якому з кур'єрів?

34. Скількома способами з повної колоди (52 карти) можна вибрати 4 карти різних мастей і вартості?

35. На полиці стоять 5 книг. Скількома способами можна викласти в купку декілька з них (купка може складатися і з однієї книги)?

36. Скількома способами можна поставити 8 тур на шахову дошку так, щоб вони не били одна одну?     

37. На танцмайданчику зібралися N юнаків та N дівчат. Скількома способами вони можуть розбитися на пари для участі в черговому танці?     

38. Чемпіонат України по шахам проводиться в одне коло. Скільки грається партій, якщо участь беруть 18 шахматистів?

39. Скількома способами можна поставити на шахову дошку а) дві тури; б) двох королів; в) двох слонів; г)двох коней; д) двох ферзів так, щоб вони не били одне одного?

40. У мами два яблука, три груші та чотири апельсини. Кож­ного дня протягом дев'яти днів підряд вона дає синові один з фруктів, які залишилися. Скількома способами це може бути зроблено?

41. Скількома способами можна поселити 7 студентів в З кімнати: одномісну, двомісну та чотиримісну?     

42. Скількома способами можна розставити на першій гори­зонталі шахової дошки комплект білих фігур (король, ферзь, дві тури, дна слони та два коні)?

43. Скільки слів можна скласти з п'яти літер А і не більш як її трьох літер Б?

44. Скільки існує 10-цифрових чисел, в яких маємо принаймні ми однакові цифри?

45. Яких 7-цифрових чисел більше:  тих, в запису яких є  І ЧИ інших?

 46. У лабораторії науково-дослідного інституту працює декілька чоловік, причому кожний з них знає хоча б одну іноземну мову, 6 чоловік знають англійську, 6 – німецьку, 7 – французьку, 4 знають англійську і німець­ку, 3 – німецьку і французьку, 2 – французьку і англійсь­ку, один чоловік знає всі три мови. Скільки чоловік пра­цює в лабораторії? Скільки з них знає лише англійську мову? Скільки чоловік знає лише одну мову?

 47.  Староста одного класу дав такі відомості про учнів: «У класі навчаються 45 учнів, у тому числі 25 хлопчи­ків. 30 учнів вчаться на «добре» і «відмінно», у тому числі 16 хлопчиків. Спортом займаються 28 учнів, у тому числі 18 хлопчиків і 17 учнів, які вчаться на «добре» і «відмінно». 15 хлопчиків вчаться на «добре» та «відмінно» і займають­ся спортом. Покажіть, що в цих відомостях є помилка.

48. Скільки чисел серед першої сотні натураль­них чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5? 49. Скільки чисел серед першої тисячі натураль­них чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5, ні на 7?

49.  Скількома способами можна вибрати голос­ну і приголосну зі слова «паркет»?

50. а)Скількома способами можна вказати на ша­ховій дошці два квадрати – білий та чорний?

     б) Розв'яжіть цю задачу, якщо немає обмежень на колір квадрата.      в) Розв'яжіть її, якщо потрібно вибрати два білих квадрати.

51. Скількома способами можна вибрати на шаховій дошці білий та чорний квадрати, що не лежать на одній горизонталі або на одній вертикалі?

52. З 3 примірників підручника алгебри, 7 при­мірників підручника геометрії та 6 примірників підручни­ка фізики потрібно вибрати комплект, що містить по одно­му підручнику з кожного предмету. Скількома способами це можна зробити?

53. У кошику 12 яблук та 10 апельсинів. Іван­ко вибирає або яблуко, або апельсин, після чого Надійка вибирає з фруктів, що залишилися, і яблуко, і апельсин.  Скільки можливостей таких виборів?  За якого вибору Іван­ка Надійка має більше можливостей вибору?

54. Скількома способами можна обтягнути 6 стільців тканиною, якщо є тканина шести різних коль­орів, і всі стільці повинні бути різнобарвними?

55 . Скількома способами можуть розташувати­ся у турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо відо­мо, що ніякі дві команди не набрали порівну очок?

56. Скільки чотиризначних чисел можна утво­рити з цифр 0, 1,2, 3, не повторюючи їх?

 57. Скількома способами можна скласти три­колірний смугастий прапор, якщо є тканина п'яти різних кольорів? Розв'яжіть ту ж саму задачу за умови, що одна смуга повинна бути червоною.

58. Є 8 токарів.  Скількома способами можна поручити трьом із них виготовлення трьох різних деталей по одному виду на кожного.

59.  До профкому обрано 9 чоловік. З них треба обрати голову, його заступника, секретаря та культорга. кількома способами це можна зробити?

Відповідь: n =9∙8∙7∙6 =  3024.

60. Скількома способами можна вкинути 5 лист­ів в 11 поштових скриньок, якщо до кожної скриньки вкинути не більше одного листа?

61. На зборах мають виступити 5 чоловік: А, Б, В, Г, Д. Скількома способами можна їх розташувати у список промовців, якщо: Б не повинен виступати перед А;  якщо Б мусить виступити відразу за А?

62. Скільки різних натуральних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4, якщо кожне число містить кожну з даних цифр не більше одного разу?