ФІНАНСОВА МАТЕМАТИКА

ФІНАНСОВА МАТЕМАТИКА ФОНДОВОГО РИНКУ

Одноперіодичні моделі фінансового ринку. Портфель інвестора. Арбітражна можливість фінансового ринку. Допоміжна лема про арбітраж. Міри, нейтральні до ризику. Перша основна теорема фінансової математики. Досяжні платіжні зобов’язання. Закон однієї ціни. Прибуток від портфеля. Похідні цінні папери. Платіжні зобов’язання - множина безарбітражних цін. Структура множини безарбітражних цін для досяжних і недосяжних платіжних зобов’язань. Ринки з нескінченною кількістю активів.

Теорема про розмірність простору . Друга основна теорема фінансової математики. Повні ринки. Геометрична інтерпретація безарбітражності ринку. Ефект кратності опціонів. Ринки з випадковими початковими даними. 

Відношення переваги: аксіоми. Числове представлення відношення переваги. Числове представлення фон Неймана-Моргенштерна. Парадокс Аллєса. Контрприклад: числове представлення фон Неймана-Моргенштерна може не існувати. Несхильність фінансового агента до ризику. Твердий еквівалент відношення переваги. Санкт-Петербурзький парадокс. Максимальні переваги. Коли інвестувати в акцію? Страхування збитків. Коеффіцієнти Арроу-Пратта абсолютної несхильності до ризику. Приклади. Співвідношення між коефіцієнтами Арроу-Пратта та поведінкою функцій корисності. Стратегія фінансового агента як функція початкового капіталу. Негативні аспекти функції корисності. Повторення однакових ігор або лотерей. Асимптотична поведінка числових характеристик серії ігор.

Оптимізація портфеля за допомогою функції корисності. Постановка задачі. Поняття і властивості незвідного ринка. Основна теорема про існування точки максимума в задачі оптимізації портфеля. Теорема про властивості максимізатора у випадку диференційованої функції корисності. Наслідок: побудова міри, нейтральної до ризику. Експоненціальні сім’ї мір. Барицентри експоненціальні сім’ї мір. Ентропія та відносна ентропія. Приклади. Теорема про мінімізацію відносної ентропії. Наслідки. Перетворення Есшера.

Оптимальні платіжні зобов’язання. Розв’язок задачі оптимізації у просторі . Приклад: експоненціальна функція корисності. Розв’язок  задачі оптимізації в класі . Знаходження максимізатора в задачі з обмеженнями. Два приклади. Загальна теорема про існування розв’язку задачі максимізації з обмеженнями.

Мікроекономічна рівновага. Постановка задачі. Два приклади. Відшукання положення рівноваги Арроу-Дебрю за обмежень на простір . Два приклади “Бернуллі проти Крамера”. Загальна теорема.

Динамічна теорія фінансових ринків. Структура фінансового ринку, ринку з багатьма періодами. Дисконтований капітал. Умова самофінансованості в терсінах дисконтованого капіталу. Структура самофінансованої стратегії. Безарбітражні ринки в динамічній постановці. Мартингальні міри та їх зв’язок з арбітражними можливостями. Основна теорема фінансової математики для багатоперіодичних моделей. Європейські платіжні зобов’язання. Досяжні Європейські платіжні зобов’язання. Справедливі ціни дисконтованих платіжних зобов’язань. Два приклади. Повні ринки. Біноміальна модель. Оцінювання і хеджування. платіжних зобов’язань в рамках біноміальної моделі. Збіжність дискретної ціни платіжного зобов’язання до ціни Блека-Шоулса. Справедлива ціна Блека-Шоулса.

Американські платіжні зобов’язання на дискретному ринку. Розклад Дуба-Мейєра процесів з дискретним часом. Теорема Дуба про вільний вибір. Хеджування Американських платіжних зобов’язань з точки зору покупця. Мінімальні та максимальні моменти зупинки. Порівняння Американських та Європейських платіжних зобов’язань. Опціони купівлі та продажу.

Квадратично-оптимальне хеджування. Локально-квадратичний ризик. Побудова стратегії, що мінімізує локальний ризик. Випадок . Умова обмеженості середньо-дисперсного відношення. Зв’язок локально мінімізуючих ризик стратегій з розкладом платіжного зобов’язання. Розклад Куніта- Ватанабе. Мінімальні мартингальні міри. Теорема про представлення капіталу. Експонента Долеан. Характеризація мінімальної мартингальної міри.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Follmer H., Schied A., Stochastic finance. An introduction to discrete time. Walter de Gruyter Studies in Mathematics, 27, 2004.

2.      Мельников А. В.. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг, ТВП, М., 1997.

3.      Леоненко М. М., Мишура Ю. С., Пархоменко В. М., Ядренко М. Й.. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. К., 1995.

4.      Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,2, Фазис, М., 1998.

5.      Karatzas I., Shreve S. E.. Methods of Mathematical Finance. Springer, 1998.

6.      Гусак Д.В., Кулик О.М., Мішура Ю.С., Пилипенко А.Ю. Збірник задач з теорії випадкових процесів та її застосувань у фінансовій математиці та теорії ризику. ВПЦ «Київський університет», 2008 р.

7.      Мішура Ю.С., Шевченко Г.М. Математика фінансів. ВПЦ «Київський університет»,

2011 р.

ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА І КОМБІНАТОРНИЙ АНАЛІЗ

Числення висловлювань.

19 рівносильностей для булевих операцій.

Закон двоїстості.

Лема про розклад за змінною.

Досконала диз’юнктивна то кон’юнктивна нормальні форми. Теореми про існування і єдиність. Існування ДНФ і КНФ.

Повні системи логічних функцій. Власні повні класи булевих функцій.

Критерій Поста про повноту системи логічних функцій.

Кількість елементів у декартовому добутку множин. Число всіх відображень.

Число всіх підмножин.

Бінарні відношення. Класи еквівалентності.

Число k-елементних підмножин n-елементної множини. Властивості біноміальних коефіцієнтів. Геометрична інтерпретація біноміальних коефіцієнтів.

Розміщення із n по k.

Біном Ньютона. Трикутник Паскаля

Мала теорема Ферма.

Теорема Ямамото про шпернерові сімейства.

Перестановки з повтореннями. Комбінації з повтореннями.

Модель Максвела-Больцмана. Модель Бозе-Ейнштейна.

Поліноміальна теорема.

Формула включення і виключення. Приклади застосування формули включення і виключення в теорії чисел.

Функція Ойлера.

Функція Мебіуса.

Принцип обертання Дедекінда-Ліувілля.

Теорема про число сюр’єктивних відображень.

Нерівності Чебишева для сум (формули підсумовування).

Формули обертання для біноміальних коефіцієнтів.

Приклади обчислення сум рядів.

Співвідношення Вандермонда.

Співвідношення Нерлунда.

Композиція послідовностей. Експоненційна композиція послідовностей.

Генератриси і формули обертання.

Формула Біне.

Числа Каталана.

Різницевий оператор. Антирізницевий оператор. Різницеві рівняння.

Числа Стірлінга І та ІІ роду. Рекурентна формула чисел Стірлінга. Ортогональність чисел Стерлінга. Явна формулу чисел Стірлінга ІІ роду.

Формула Добінського. Експоненційні генератриси чисел Стірлінга.

Експоненційна генератриса чисел Бела.

Експоненційна генератриса многочленів Апеля.

Числа Бернуллі. Многочлени Бернуллі. Теорема про різницевий оператор від многочлена Бернуллі. Сума степенів чисел натурального ряду.

Комбінаторика в теорії груп підстановок.

Графи. Лема про рукостискання. Пряма сума зв’язних графів.

Оцінка числа ребер з k компонентами зв’язності.

Ойлерові графи.

Гамільтонові графи.

Теорема Оре.

Дерева. Теорема Келі.

ЛІТЕРАТУРА

а) основна

1.      Ядренко М.Й. Дискретна математика. – К.: Експресс, 2003.

2.      Ямненко Р.Є. Дискретна математика. – К.: Четверта хвиля, 2010.

3.      Дрозд Ю.А. Дискретна математика.  – К.: 2004.

4.      Ерусалимский Я.М. Дискретная математика теория, задачи, приложения. – М.: Вузовская книга, 2000.

б) додаткова

5.      Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики.  – М.: Наука, 1982.

6.      Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. – М.: Мир, 1998.

7.      Deistel R. Graph theory. Springher, 2000.

8.      Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. – М.: ИЛ, 1963.

9.      Уилсон Р. Введение в теорию графов.  – М.: Мир, 1977.

10.  Оре О. Теория графов.  – М.: Мир, 1965.

11.  Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1986.

12.  Рыбников К.А. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. – М.: Наука, 1982.

13.  Холл М. Комбинаторика. Пер. с англ. – М.: Мир, 1970.

14.  Grimaldi R.P. Discrete and combinatorial mathematics. Addison-Wesley, 1994.

15.  Biggs N. Discrete Mathematics. – Oxford Science Publications, 1990.

16.  Matson A.F. Discrete Mathematics with applications.  – John Wiley and Sons Inc., 1993.

17.  Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики.  –– М.:Наука, 1977.

18.  Феллер В. Введение в теорию вероятностей. – М.: Мир, 1984.

19.  Ядренко М.Й. Принцип Діріхле та його застосування. – К.: "Вища школа", 1985.

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ПРОЦЕСІВ РИЗИКУ

Основні поняття теорії ймовірностей. Стохастичні ситуації та їх математичні моделі.

Випадкові величини та їх розподіли.

Основні типи розподілів величин індивідуальних позовів та їх кількості.

Генератриси.

Випадкові вектори.

Умовні розподіли та щільності.

Умовне математичне сподівання.

Суміші розподілів.

Статистичне оцінювання параметрів розподілу. Метод моментів. Метод максимальної вірогідності. Метод квантилів.

Модель колективного ризику. Розподіл сумарної величини виплат за портфелем та його характеристики. Складний пуассонівський, біноміальний, від’ємно біноміальний розподіли.

Модель індивідуального ризику.

Пропорційне перестрахування, перестрахування ексцеденту збитку та збитковості.

Системи знижок за відсутність позовів. Ланцюги Маркова з дискретним часом і скінченною кількістю станів. Рівняння Колмогорова-Чепмена. Ергодична теорема.

Аналіз стаціонарного стану. Єдиність, час перебування.

Вплив систем бонус-малус на схильність до позовів.

Елементи статистичної теорії прийняття рішень.

Баєсівський ризик та баєсівські рішення.

Процедури прийняття рішень в умовах невизначеності.

Задачі зі спостереженнями.

Баєсівські вирішувальні функції.

Спряжені сімейства розподілів.

Баєсівська премія.

Оцінювання параметрів. Функції втрат.

Теорія довіри.

Модель Бюллмана-Штрауба.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Зінченко Н.М. Математичні методи в теорії ризику. – К.: ВПЦ ''Київський університет'', 2008

2.      Карташов М.В. Імовірність, процеси, статистика. – К.: ВПЦ ''Київський університет'', 2008.

3.      Кельберт М.Я., Сухов Ю.М. Вероятность и статистика в примерах и задачах. Т. І: Основные понятия теории вероятности и математической статистики. – М.: МЦНМО, 2007.

4.      Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970.

5.      Королёв В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска: Учебн. пособ. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

6.      Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. – К.: Інформтехніка, 1995.

7.      Моклячук М.П., Ямненко Р.Є. Лекції з теорії вибору та прийняття рішень. – К.: ВПЦ ``Київський університет'', 2007.

8.      Фалин Г.И., Фалин А.И. Теория риска для актуариев в задачах. – М.: Мир, Научный мир, 2004.

АКТУАРНА МАТЕМАТИКА

Основні поняття актуарної математики. Галузі, форми і види страхування.

Математика складних відсотків. Фактичні і номінальні відсоткові ставки.  Коефіцієнти нарощення та дисконтування. Ренти. Класифікація рент.

Схеми повернення кредитів. Внутрішня норма прибутку.

Тривалість майбутнього життя індивіда. Математична модель. Обмежена тривалість подальшого життя. Сила смертності. Таблиці тривалості життя. Ймовірність смерті для дробових частин року. Оцінювання сили смертності.

Елементарні типи страхування життя. Загальні типи страхування життя.

Стандартні типи змінних страхувань. Елементарні типи ануїтетів. Чисте дожиття, довічний та відстрочений довічний ануїтети: разові нетто-премії. Співвідношення між звичайними та авансовими довічними ануїтетами.

Дробові ануїтети. Змінні ануїтети. Виплати, що починаються з дробового віку.

Елементарні типи страхування життя з виплатами в момент смерті: разові нетто-премії. Стандартні типи змінних страхувань життя. Співвідношення між змінними страхуваннями та змінними ануїтетами. Принцип еквівалентності. Дробові нетто-премії. Нетто-премії для елементарних видів страхувань. Поліси з поверненням премій.

Перспективний та ретроспективний методи розрахунку резерву нетто-премій. Рекурентні співвідношення для резервів нетто-премій. Премія ризику та премія заощаджень. Ризик виживання.

Резерви для полісів з дробовими преміями, резерви нетто-премій в неперервних моделях. Резерви нетто-премій при дробових строках.

Розподіл загальних збитків за роками полісу. Конверсія страхування.

Технічний прибуток. Неперервна модель.

Кратні декременти. Резерви у випадку кратних декрементів.

Страхування життя групи осіб. Стан сумісного (спільного) життя. Стан виживання останнього. Загальні симетричні стани. Стан сумісного життя і комутаційні функції.

Формула-Шуетта-Несбіта. Асиметричні ануїтети і страхування. Реверсивні ануїтети.

Загальна сума вимог виплат у портфелі. Нормальна апроксимація.

Складний пуассонівський розподіл. Перестрахування.

Навантаження на витрати. Премія, навантажена на витрати. Резерви навантажених на витрати премій.

Оціночні ймовірності смерті. Кратні декременти.

Комутаційні функції. Оцінювання ймовірності смерті.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Гербер Х. Математика страхования жизни. – М.: Мир, 1995.

2.      Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статичтині методи в економетриці та фінансовій математиці. – К., 1995.

3.      Пономаренко О.І. Основи математики фінансів і страхування. – Київ, 2004.

4.      Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. – М., 1994.

5.      Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. – М., 1994.

ВЕЙВЛЕТ-АНАЛІЗ

Перетворення Фур’є та його властивості.

Багаторівневий аналіз.

Система Хаара.

Вейвлети Шенона. Вейвлети Мейєра.

Базиси Рісса.

Побудова f-вейвлетів.

Побудова m-вейвлетів.

Розклад випадкових процесів по системам вейвлетів.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Ю.В.Козаченко. Лекції з вейвлет аналізу. ТВiМС, Київ, 2004.

2.      B.Vidacovic, Statistical Modeling by Wavelets. John Wiley and sons, New York, 1999.

3.      К.Чуи, Введение в вейвлеты., Мир, 2001.

4.      И.Добеши, Десять лекцій по вейвлетам, РХД, Москва-Ижевск, 2001.

5.      D.Persival, A.Walden, Wavelet Methods for Time Series Analysis, Cambridge Univ.Press, 1999.

ПОБУДОВА ТАБЛИЦЬ ТРИВАЛОСТІ ЖИТТЯ

Тривалість майбутнього життя індивіда. Інтенсивність смертності.

Таблиці тривалості життя.

Ймовірність смерті для дробових частин року.

Математична демографія. Діаграми Лексиса.

Неперервна демографічна модель.

Оцінювання сили смертності.

Комутаційні функції. Оцінювання ймовірності смерті.

Елементарні типи страхування життя. Загальні типи страхування життя.

Стандартні типи змінних страхувань. Елементарні типи ануїтетів. Чисте дожиття, довічний та відстрочений довічний ануїтети: разові нетто-премії.

Дробові ануїтети. Змінні ануїтети. Виплати, що починаються з дробового віку.

Елементарні типи страхування життя з виплатами в момент смерті: разові нетто-премії. Стандартні типи змінних страхувань життя. Співвідношення між змінними страхуваннями та змінними ануїтетами. Принцип еквівалентності. Дробові нетто-премії. Нетто-премії для елементарних видів страхувань. Поліси з поверненням премій.

Рекурентні співвідношення для резервів нетто-премій. Премія ризику та премія заощаджень. Ризик виживання.

Резерви для полісів з дробовими преміями, резерви нетто-премій в неперервних моделях. Резерви нетто-премій при дробових строках.

Розподіл загальних збитків за роками полісу. Конверсія страхування.

Технічний прибуток. Неперервна модель.

Кратні декременти. Резерви у випадку кратних декрементів.

Страхування життя групи осіб. Стан сумісного (спільного) життя. Стан виживання останнього. Загальні симетричні стани. Стан сумісного життя і комутаційні функції.

Формула-Шуетта-Несбіта. Асиметричні ануїтети і страхування. Реверсивні ануїтети.

Загальна сума вимог виплат у портфелі. Нормальна апроксимація.

Складний пуассонівський розподіл. Перестрахування.

Навантаження на витрати. Премія, навантажена на витрати. Резерви навантажених на витрати премій.

Кратні декременти. Оціночні ймовірності смерті.

Застосування теорії ризику. Перестрахування.

Пуассонівський потік вимог та його властивості. Перевірка гіпотези про те, що потік вимог – пуассонівський. Моделі страхування при пуассонівському потоці вимог.

Дисконтування. Обчилення ціни страхового поліса у випадках простих і складних відсотків. Гауссівське наближення.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Гербер Х. Математика страхования жизни. – М.: Мир, 1995.

2.      Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статичтині методи в економетриці та фінансовій математиці. – К., 1995.

3.      Пономаренко О.І. Основи математики фінансів і страхування. – Київ, 2004.

4.      Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. – М., 1994.

5.      Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. – М., 1994.

6.      H.Buhlmann. Mathematical methods in risk theory. Springer Verlag, (1970)

7.      Risk Theory: Unpublished notes and exercises by H. Schmidli.

8.      T.Rolski, H.Schmidli, V.Schmidt J.Teugel. Stochastic Processes for Insurance and Finance. John Wiley & Sons, Chichester , (1990)

РОЗРАХУНКИ У ПЕРЕСТРАХУВАННІ

Простір елементарних подій. s-алгебра випадкових подій.  Ймовірність.

Ймовірнісний простір. Випадкові величини. Функція розподілу і щільність випадкової величини, їх властивості.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини.

Сумісний розподіл та сумісна щільність двох випадкових величин.

Умовні щільності. Умовні математичні сподівання.

Потоки s-алгебр. Мартингал, субмартингал, супермартингал. Марківські моменти. Мартингальні нерівності.

Механізм страхування. Ризики. Функції корисності та їх властивості. Принципи вибору страхових внесків.

Розподіли, придатні для опису кількості вимог на виплату, що надходять до страхової компанії; їх характеристичні функції, моменти, дисперсії.

Розподіли, придатні для опису величини вимог, що надходять до страхової компанії; їх характеристичні функції, моменти, дисперсії.

Пропорційне перестрахування.

Перестрахування ексцеденту збитку.

Перестрахування ексцеденту збитковості.

Процес ризику в класичній моделі.  Ймовірність банкрутства страхової компанії в класичній моделі ризику. Асимптотична поведінка ймовірності банкрутства.

Оцінювання ймовірності банкрутства в класичній моделі ризику. Нерівність Крамера-Лундберга, коефіцієнт Лундберга.

Звичайний та стаціонарний процеси відновлення. Ймовірність банкрутства в звичайному процесі відновлення.

Ймовірність банкрутства в стаціонарному процесі відновлення. Порівняння класичної моделі ризику і моделі з процесом відновлення.

Змішаний пуассонівський процес. Моделювання флуктуацій портфелю за допомогою неоднорідного пуассонівського процесу. Випадкові процеси Кокса.

Апроксимація Беекмана-Боверса. Апроксимація Де Вільдера. Дифузійна апроксимація для процесів ризику. Порівняння різних апроксимацій для ймовірностей банкрутства. Статистичні оцінки коефіцієнта Крамера-Лундберга.

ЛІТЕРАТУРА

а) основна:

1.      Бондарев Б.В. Математические модели в страховании. – Донецк: АПЕКС, 2002. – 116 с.

2.      Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. - К.: Інформтехніка, 1995. – 380 с.

3.      Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. 2-е изд. перер. и доп. - К.: Вища школа, 1988.

4.      Карташов М. В. Теорія ймовірностей та математична статистика, Київ, ТВіМС, 2004.

б) додаткова:

5.      Феллер В. Введение в теорию вероятностей. - М.:Мир, 1984.

6.      H.Buhlmann. Mathematical methods in risk theory. Springer Verlag, (1970)

7.      Risk Theory: Unpublished notes and exercises by H. Schmidli.

8.      T.Rolski, H.Schmidli, V.Schmidt J.Teugel. Stochastic Processes for Insurance and Finance. John Wiley & Sons, Chichester , (1990)

СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ У РИЗИКОВОМУ СТРАХУВАННІ

Основні поняття теорії ймовірностей. Стохастичні ситуації та їх математичні моделі.

Випадкові величини та їх розподіли.

Основні типи розподілів величин індивідуальних позовів та їх кількості.

Генератриси.

Випадкові вектори.

Умовні розподіли та щільності.

Умовне математичне сподівання.

Суміші розподілів.

Статистичне оцінювання параметрів розподілу. Метод моментів. Метод максимальної вірогідності. Метод квантилів.

Модель колективного ризику. Розподіл сумарної величини виплат за портфелем та його характеристики. Складний пуассонівський, біноміальний, від’ємно біноміальний розподіли.

Модель індивідуального ризику.

Пропорційне перестрахування, перестрахування ексцеденту збитку та збитковості.

Системи знижок за відсутність позовів. Ланцюги Маркова з дискретним часом і скінченною кількістю станів. Рівняння Колмогорова-Чепмена. Ергодична теорема.

Аналіз стаціонарного стану. Єдиність, час перебування.

Вплив систем бонус-малус на схильність до позовів.

Елементи статистичної теорії прийняття рішень. Процедури прийняття рішень в умовах невизначеності.

Баєсівський ризик та баєсівські рішення.

Задачі зі спостереженнями. Баєсівські вирішувальні функції.

Спряжені сімейства розподілів.

Баєсівська премія.

Оцінювання параметрів. Функції втрат.

Теорія довіри. Довірча оцінка за квадратичних втрат.

Модель Бюллмана-Штрауба.

Емпірична довірча оцінка.

Довіра для частоти позовів. Довіра для величини позовів.

Теорія довіри у випадку великих вимог.

Ієрархічні моделі довіри.

Основні положення теорії класифікації.

Аналізу даних типу “трикутника із запізненням  (або випередженням)”  та проектування кінцевих станів. Метод ланцюгових сходів. Метод Борнхуеттера-Фергюсона.

Узагальнена лінійна модель. Множинна лінійна регресійна модель та нормальна лінійна модель. Експоненційний клас розподілів.

Часові ряди. Стаціонарні часові ряди. Часові ряди типу авторегресії , ковзного середнього, авторегресії інтегрованого рухомого середнього. Випадкові блукання.

Ідентифікація та оцінювання параметрів часових рядів.

Моделювання методом Монте-Карло з  використанням послідовностей псевдовипадкових чисел.

ЛІТЕРАТУРА

а) основна:

1.      Бондарев Б.В. Математические модели в страховании. – Донецк: АПЕКС, 2002. – 116 с.

2.      Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. - К.: Інформтехніка, 1995. – 380 с.

3.      Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. 2-е изд. перер. и доп. - К.: Вища школа, 1988.

4.      Карташов М. В. Теорія ймовірностей та математична статистика, Київ, ТВіМС, 2004.

б) додаткова:

5.      Феллер В. Введение в теорию вероятностей. - М.:Мир, 1984.

6.      H.Buhlmann. Mathematical methods in risk theory. Springer Verlag, (1970)

7.      Risk Theory: Unpublished notes and exercises by H. Schmidli.

8.      T.Rolski, H.Schmidli, V.Schmidt J.Teugel. Stochastic Processes for Insurance and Finance. John Wiley & Sons, Chichester , (1990)

РЕГРЕСІЙНИЙ АНАЛІЗ

Задачі, що розглядає регресійний аналіз. Розділи регресійного аналізу – лінійна, нелінійна та непараметрична регресія.

Розділи лінійної регресії – проста регресія, багатозначна регресія, дисперсійний аналіз (ANOVA), багатозначний дисперсійний аналіз (MANOVA), коваріаційний аналіз (ANOCVA). Види регресії – звичайна (модель повного рангу), гетероскедастична, гомоскедастична, мультиколінеарна.

Оцінки найменших квадратів та їх геометричний зміст. Теорема Гауса-Маркова. Випадок нормальних даних. Зважений МНК, узагальнений МНК.

Мультиколінеарність, проблеми, що про цьому виникають. Строга та нестрога мультиколінеарність. Способи відшукання оцінок МНК в мультиколінеарних моделях – приведення до моделі повного рангу, введення ідентифікуючих обмежень, обчислення узагальненої оберненої матриці. Властивості УОМ, функції що допускають оцінку. Теорема про характеризацію функцій, що допускають оцінки.

Регресія на головні компоненти. Власні вектори кореляційної матриці, головні напрямки.

Гребенева (рідж) регресія, два способи побудови рідж оцінок. Порівняння дисперсій гребеневих та звичайних оцінок.

Оцінювання за лінійних обмежень.

Перевірка гіпотез в регресійному аналізі, загальна лінійна гіпотеза, F-статистика та її розподіл. Обчислення F-статистики в різних моделях. Стандартна гіпотеза, коефіцієнт детермінації. F-статистика для моделей з неповним рангом. T-тести.

Стійкість F-статистики до нормальності даних.

Коваріаційний аналіз. Перевірка гіпотез про взаємне положення ліній регресії.

Оптимальний вибір множини регресорів. PRESS, відбір на основі тесту.

Логістична регресія, багатозначна логістична регресія.

Нелінійна регресія. Приклади нелінійних моделей. Оцінка параметрів в нелінійних моделях. МНК для нелінійних моделей. Проблеми з обчисленням МНК в нелінійних моделях. Наближені методи обчислення МНК.

Перевірка статистичних гіпотез в нелінійних моделях.

Непараметрична регресія. Задачі, що розглядає непараметрична регресія. Способи побудови оцінок. Поняття згладжування.

ЛІТЕРАТУРА

а) основна:

1.      Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика.- К.: ТВіМС, 2004, 307с.

2.      Боровков А.А. Математическая статистика.-М.:Наука, 1984.-472с.

3.      Майборода Р.Є. Регресія: Лінійні моделі.- К.:ВПЦ «Київський університет»,  2007.- 296 с.

4.      Себер Дж. Линейный регрессионный анализ.- М.: Мир, 1980.-456с.

5.      Xin Yan, Xiao Gang Su Linear Regression Analysis. Theory and Computing. - World Scientific, 2009. - 349 p.

6.      Seber G., Wild C. Nonlinear Regression, John Wiley & Sons. Inc., 2003. - 781 p.

7.       Takezawa K. Introduction to Nonparametric Regression. - John Wiley & Sons. Inc., 2005. - 557 p.

8.      László Györfi, Michael Kohler, Adam Krzyzak, Harro Walk A Distribution-free Theory of Nonparametric Regression. - Springer, 2010. - 664 p.

9.      Wolfgang Härdle, Applied Nonparametric Regression, 1992. - 433 p.

б) додаткова:

10.  Shao J. Mathematical statistics. Springer-Verlag, New York, 1998.

ФІНАНСОВА МАТЕМАТИКА

Випадкова ціна активу. Безризикові та ризикові активи. Одноперіодна модель ринку зі скінченним числом активів. Портфель інвестора. Капітал інвестора. Арбітражна можливість фінансового ринку.

Міра, нейтральна до ризику. Еквівалентність відсутності арбітражу і існування міри, нейтральної до ризику.

Платіжне зобов’язання. Опціони, пут-колл паритет. Закон однієї ціни.

Справедливі ціни. Структура множини справедливих цін.

Обчислення умовного прибутку.

Досяжні платіжні зобов’язання. Повнота ринку.

Фінансові ринки зі зліченним числом активів.

Приклад безарбітражного і повного ринку. Ефект кратності опціонів.

Фінансові ринки з випадковими початковими даними.

 Динамічна теорія арбітражу.

 Біноміальна модель. Граничний перехід. Формула Блека–Шоулса.

 Американські платіжні зобов’язання. Стратегії покупця і продавця.

Обчислення справедливих цін Американських опціонів.

Мінімізація локального квадратичного ризику.

Розклад платіжного зобов’язання.

Мінімальні мартингальні міри.

Квадратично-оптимальне хеджування.

Відношення переваги. Числове зображення.

Числове зображення фон Неймана-Моргенштерна.

Аксіоми незалежності і Архімеда. Парадокс Аллєса.

 Функція корисності. Коефіцієнт Арроу-Пратта.

Властивості функцій корисності. Приклади.

Повторні ігри. Асимптотична поведінка числових коефіцієнтів.

Максимізація портфеля інвестора.

Експоненціальна сім’я і розподіли, які вона породжує.

 Відносна ентропія. Перетворення Есшера.

 Максимізація платіжного зобов’язання.

 Мікроекономічна рівновага.

ЛІТЕРАТУРА

а) основна:

1.      Mc Cutheon J.J., Scott W.F. An introduction to the mathematics of finance. - Oxford: Heineman, 1986.

2.      Пономаренко О.І. Фінансовий аналіз. Частина 1. Фінансова математика банківського сектора. - К.: ЕМЦ, 1999.

3.      Antony M., Biggs N. Mathematics for economics and finance. - Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.

б) додаткова:

4.      Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. Изд. 2-е перер. и доп. - М.: Тривола, 1995.

5.              Hull J.C. Options, Futures and other Derivatives, 2nd ed. - Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NI, 1993.

КОМП’ЮТЕРНА СТАТИСТИКА

Поняття статистичної оцінки. Характеристики якості оцінки.

Поняття тесту для перевірки статистичних оцінок. Його характеристики якості.

Основні дескриптивні статистики середнього положення та розкиду.

Тест χ² у загальному випадку.

Тест χ² для простих гіпотез і для перевірки узгодженості.

Перевірка гіпотези про незалежність за допомогою тесту χ².

Метод найменших квадратів у регресійному аналізі.

Довірчі інтервали для коефіцієнтів лінійної гауссової регресії, їх застосування для перевірки гіпотез.

Тест Фішера. Використання тесту Фішера для перевірки розшарованості вибірки.

Тести для перевірки однорідності середніх у однофакторному дисперсійному аналізі.

 Тести для перевірки однорідності дисперсій у однофакторному дисперсійному аналізі.

Коефіцієнт кореляції Пірсона.

Коефіцієнт кореляції Спірмена.

Графічні засоби аналізу розподілу: гістограми, Q-Q діаграми.

Баєсів та емпірично баєсів класифікатори.

ЛІТЕРАТУРА

а) основна:

1.      Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика.- К.: ТВіМС, 2004, 307с.

2.      Майборода Р.Є. Комп’ютерна статистика.-К.:ВПЦ «Київський університет»,  2002.- 57с.

б) додаткова:

3.      Боровков А.А. Математическая статистика.-М.:Наука, 1984.-472с.

4.      Майборода Р.Є. Регресія: Лінійні моделі.- К.:ВПЦ «Київський університет»,  2007.- 296 с.

5.      Я.К.Шмидский. Mathematica 5. Самоучитель.-М.:Издательский дом «Вильямс», 2004. – 529 с.

ФІНАНСОВИЙ АНАЛІЗ

Основні принципи фінансів – категорії фінансів, розділи фінансової науки.

Історія фінансових відносин.

Бізнесові одиниці (фізична, юридична особа). Види юридичних осіб.

Товариство з обмеженою відповідальністю.

Акціонерні товариства (відкритого та закритого типів).

Холдинги, групи компаній, консорціуми, концерни.

Корпорації, публічні компанії.

Податки – основні поняття та функції.

Історія виникнення податків.

Особливості оподаткування в Україні.

Фінансові інструменти – загальна характеристика, та огляд фінансових інструментів.

Акції.

Облігації.

Деривативи.

Випуск цінних паперів.

Первинна публічна пропозиції (IPO).

Фінансова звітність – основні принципи.

Класифікація фінансової звітності.

Форми фінансової звітності.

Організація бухгалтерських рахунків.

Подвійний запис, прості та складні бухгалтерські проводки

Види бухгалтерських балансів.

Облікові принципи.

Амортизація.

Балансовий звіт.

Рахунок прибутків та збитків

Звіт про рух грошей

Капітал та резерви

Звіт про зміни у капіталі

Об'єднання підприємств у групи. Поглинання підприємства.

Консолідована фінансова звітність.

Вартість капіталу підприємства.

Міри ризику. Волатильність, бета-коефіцієнт.

Оцінка капітального проекту.

Чиста сучасна вартість та внутрішня норма прибутку, як методи оцінювання проектів.

Методи оцінки проекту не пов'язані с ЧСВ та ВНП.

Аналіз та управління ризиками.

Покриття прибутком (активами) та пріоритетні процентилі з прибутків (активів).

Важелі активів та капіталу.

Міри які пов'язані з акціонерним капіталом.

Коефіцієнти рентабельності.

Коефіцієнти ліквідності.

Коефіцієнти ефективності.

ЛІТЕРАТУРА

а) основна:

1.      Мішура Ю.С., Шевченко Г.М.. Фінансова математика.-

2.      Борисенко О.Д., Мішура Ю.С. Радченко В.М., Шевченко Г.М. Збірник задач з фінансової математики.-

3.      Швець. Основи бухгалетрського обліку.- Львів: ЗУІВЦНК, 2005. - 240 с.

б) додаткова:

4.      Лучко М. Р., Бенько І. Д. Бухгалтерський облік у зарубіжних країнах - Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 205 с.

ЧАСОВІ РЯДИ

Часові ряди та їх приклади

Основні поняття теорії часових рядів. Задачі аналізу часових рядів

Тренди та їх різновиди. Визначення трендів методами регресійного аналізу

Злагоджування часових рядів та його властивості рухомі середні.

Теорія цинічних трендів

Застосування серіальних кореляцій до часових рядів

Узагальнення часових рядів. Ряди просторової та просторово-часової динаміки. Їх експрес-аналіз.

Лінійні стохастичні моделі часових рядів. Моделі МА(q) та AR(p).

Модель авто регресії та рухомого середнього ARMA(p,q)

Модель ARIMA (p,d,q) та її застосуванння.

Загальні стаціонарні та спорідненні їм моделі часових рядів. Білінійні моделі. BL(p,d,q,n,m).

Моделі динаміки ринкових цін. (Гаусові, умовно-гаусові, біноміальні, з дискретним втручанням випадку, тощо).

Нелінійні стохастичні умовно-гаусові моделі фінансових часових рядів.

Моделі ARCH та GARCH.

Моделі Е GARCH, Т GARCH, Н ARCH.

Моделі стохастичної волатильності.

ЛІТЕРАТУРА

1. Кендэл М. Временные ряды.- М.: «Финансы и статистика» 1981.

2. Андерсон Т.Статистический аналыз временных рядов.- М.: Изд. «Мир», 1976.

3. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці.- К.: Інформтехніка, 1995.

4. Пономаренко О.І Системні методи в економіці, менеджменті та бізнесі.- К.: «Либідь», 1995.

5.Пономаренко О.І. Методи й моделі сучасних фінансів.- Н.:Вид.Лисенко, 2011.

ДОДАТКОВІ РОЗДІЛИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Ймовірнісний простір на множині послідовностей Rⁿ

Ймовірнісний простір на множині послідовностей R^¥

Випадкові величини та елементи. Породжені розподіли та сигма-алгебри, теорема про  вимірність відносно породженої сигма-алгебри

Незалежні системи випадкових подій та їх перетворення

Незалежні системи випадкових векторів та їх перетворення

Закон нуля та одиниці Колмогоpова. Приклади та наслідки

Закон нуля та одиниці Хьюитта-Севіджа для переставних величин

Рівномірна інтегровність, її властивості

Граничний перехід для рівномірно інтегровних послідовностей

Умовне математичне сподівання для скінчених сигма-алгебр

Загальне визначення умовного математичного сподівання. Існування та єдиність

Властивості умовного математичного сподівання як оператора від величин

Властивості умовного математичного сподівання в залежності від умови

Екстремальна властивість та перехід до границі під знаком умовного сподівання

Умовне математичне сподівання відносно систем випадкових величин. Властивості. Функція регресії

Обчислення функції регресії через сумісну щільність. Нормальна регресія на площині

Умовні ймовірності, властивості. Регулярні умовні ймовірності

Існування регулярних умовних розподілів

Нерівності Колмогорова

Теореми Колмогорова про один та два ряди, лема про фундаментальность м.н.

Теорема Колмогорова про три ряди. Наслідок про посилений закон великих чисел

Закон повторного логарифму

Строго стацінарні послідовності. Лема про перетворення. Теорема Гарсіа

Теорема Біркгофа-Хінчина та ергодична теорема для стаціонарних послідовностей

Формула обертання для характеристичних функцій,  розклад логарифму характеристичної функції

Метод характеристичних функцій для уточнення центральної граничної теореми. Розклад Еджворта

Співвідношення метрик для функцій розподілу та характеристичних функцій

Теорема Бері-Есеєна

Цілочисельне блукання на прямій. Решітковість, моменти досягнення

Загальний критерій рекурентності блукання. Блукання Бернуллі

Критерій рекурентності через характеристичну функцію стрибка

Критерій рекурентності при скінченому середньому

Нескінчено подільні розподіли та канонічні міри.

Теорема Леві-Хінчина

ЛІТЕРАТУРА

1.      М. В. Карташов. Теорія ймовірностей і математична статистика. К., ВПЦ “Київський університет”. 2009.- 479 c.

2.      И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика. К.,"Вища школа", 1988.

3.      Н.В. Карташов, Методичні вказівки до самостійних робіт з дисципліни “Додаткові розділи теорії ймовірностей”, Київ, КНУ, www.probability.univ.kiev.ua/met_dgu.pdf

4.      А.Я. Дороговцев, Д.С. Сiльвестров, А.В. Скороход, М.Й. Ядренко. Теорiя ймовiрностей. Збiрник задач. К., Вища школа.

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Основні поняття та аксіоми теорії ймовірностей, випадкові події та їх властивості

Властивості ймовірностей, які випливають з аксіом

Класичне означення ймовірностей, дискретний ймовірнісний простір

Геометричне означення ймовірностей, задача про зустріч, парадокс Бертрана, задача Бюффона.

Умовні ймовірності, ймовірність перетину подій

Формули повної ймовірності та Байеса.

Незалежні випадкові події, їх перетворення, ймовірність перетину, приклад Бернштейна.

Дискретні випадкові величини, їх розподіл та основні властивості

Схема Бернуллі. Розподіли біноміальний, геометричний, гіпергеометричний та Пуассона.

Граничні теореми Пуассона, Муавра-Лапласа

Загальне означення випадкової величини та вектора, борелева сігма-алгебра, критерій вимірності.

Функції від випадкової величини, перетворення величин, апроксимація простими величинами.

Функція розподілу та її властивості, породжена міра Лебега-Стілтьєса.

Щільність та її властивості, абсолютно неперервні, дискретні та сингулярні функції розподілу.

Обчислення ймовірностей для функції від випадкової величини.

Приклади абсолютно неперервних розподілів: показниковий, Вейбула, Коші, нормальний.

Математичне сподівання дискретної величини та його властивості

Загальне означення математичного сподівання для невід’ємних та знакозмінних величин та його коректність

Основні властивості математичного сподівання

Перехід до границі під знаком математичного сподівання.

Приклади обчислення математичного сподівання (дискретний та неперервний випадки)

Обчислення математичного сподівання функції від випадкової величини через її функцію розподілу.

Дисперсія, її властивості та обчислення

Приклади обчислення дисперсії (дискретний та неперервний випадки).

Ймовірнісні нерівності (Чебишева, Йенсена, Ляпунова, Гельдера, Коші, Мінковського)

Випадкові вектори, сумісна функція розподілу та щільність, породжена міра Лебега-Стілтьєса

Розподіл функцій від випадкових векторів, їх числові характеристики, дисперсія лінійної форми та коваріація лінійного перетворення

Незалежні випадкові величини, критерій незалежності, перетворення незалежних величин

Математичне сподівання добутку та дисперсія суми незалежних величин

Функція розподілу та щільність суми незалежних величин.

Розподіли Ерланга, гама та хі-квадрат

Нормальні випадкові вектори, їх сумісна щільність та параметри, нормальні вектори на площині.

Лінійні перетворення нормальних векторів, незалежність та некорельованість.

Різні типи збіжності випадкових величин та співвідношення між ними

Збіжність за ймовірністю та її властивості.

Закон великих чисел, поліноми Бернштейна, метод Монте-Карло.

Збіжність майже напевне, лема Бореля-Кантеллі

Нерівність Колмогорова.

Посилений закон великих чисел Колмогорова

Критерій Колмогорова посиленого закону великих чисел.

Збіжність в основному та її властивості

Слабка збіжність та її властивості

Співвідношення між збіжностями слабкою та в основному

Теорема Хелі про компактність в основному

Теорема Прохорова про критерій слабкої компактності

Характеристична функція випадкової величини та її властивості

Теорема Леві про збіжність функцій розподілу та їх характеристичних функцій.

Класична центральна гранична теорема

Загальна гранична теорема для стандартних послідовностей

Теореми Ліндеберга і Ляпунова для стандартних послідовностей

Теореми Ліндеберга і Ляпунова для загальних послідовностей

Центральна гранична теорема для випадкових векторів.

Процес Пуассона та його розподiл

Властивостi траекторiй процесу Пуассона

Вiнерiвський процес та його розподiл

Властивостi траекторiй Вiнерiвського процесу

ЛІТЕРАТУРА

1.      М. В. Карташов. Теорія ймовірностей і математична статистика. К., ВПЦ "Київський університет". 2009.

2.      И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика. К.,"Вища школа", 1988.

3.      "Теорія ймовірностей", Методичні вказівки до лабораторних та самостійних робіт / Упорядники: О.І.Василик, М.В.Карташов, Г.М.Шевченко, Р.Є.Ямненко - К., ВПЦ "Київський університет", 2008.

4.      А.Я. Дороговцев, Д.С. Сiльвестров, А.В. Скороход, М.Й. Ядренко. Теорiя ймовiрностей. Збiрник задач. К.:"Вища школа", 1976.

ПРОЦЕСИ МАРКОВА В АКТУАРНІЙ МАТЕМАТИЦІ

Ланцюги Маркова, Визначення та приклади   

Скінченовимірні розподіли, рівняння Колмогоpова-Чепмена, розширена та строго марковська властивість  

Досяжність, істотність, періодичність, класифікація станів

Рекурентність

Імовірності числа досігнень та відвідувань

Критерії рекурентності

Ергодичність у середньому

Позитивність та ланцюг народження і загибелі

Ергодичні теореми Дебліна та Колмогорова

Марковські процеси та перехідні оператори

 Прямі рівняння Коломогорова

 Обернені рівняння Коломогорова

 Процеси з дискретною множиною станів

 Процеси зі скінченою множиною станів

 Існування та єдииність розв’язків обернених систем Колмогорова для стрибкоподібних процесів

 Існування та єдииність розв’язків прямих систем Колмогорова для стрибкоподібних процесів

 Стрибкоподібні дискретні процеси

 Неоднорідні процеси Маркова

 Строго Марковські процеси

 Моменти перебування та вкладений ланцюг для стрибкоподібного процесу

 Побудова стрибкоподібного процесу за інфінітезімальними характеристиками

 Класифікація станів стрибкоподібних процесів

 Неоднорідні процеси Пуассона та народження і загибелі

 Марковські моделі полісів та класичний поліс

 Приклади Марковських моделей страховх полісів

 Грошові потоки у Марковській моделі

 Функція витрат та резерв премій

 Рівняння Тілі та функція ризиків

 Обчислення та збурення резерву премій

 Дискретні моделі

 Дисперсія функції витрат

 Теорема Хаттендорфа

ЛІТЕРАТУРА

1.      М. В. Карташов. Теорія імовірностей і математична статистика. К., ВПЦ “Київський університет”. 2009.

2.      М. В. Карташов, Процеси Маркова у актуарній математиці. К., ВПЦ “Київський університет”, 2008

СТОХАСТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Моменти зупинки та пов’язані з ними σ-алгебри.

Нерівності для мартингалів з неперервним часом.

Теорема Дуба-Мейєра для мартингалів з неперервним часом (формулювання, пояснення).

Квадратична варіація (передбачуваний випадок). Властивості.

Означення інтегралу простої функції за мартингалом. Властивості.

Означення інтегралу за мартингалом. Властивості.

Теорема про замикання простору простих функцій в L₂(<X>).

Семі-мартингали. Означення та властивості інтегралу за семі-мартингалом.

Нерівність Куніта-Ватанабе.

Теорема про зображення мартингалу.

Квадратична варіація, загальний випадок.

Формула Іто (зображення І)

Теорема Леві.

Означення та властивості процесу Леві.

Випадкова пуассонівська міра, компенсатор.

Формула Іто (зображення ІІ).

Існування та єдність розв’язку стохастичного диференціального рівняння.

Теорема Гірсанова (формулювання, пояснення).

ЛІТЕРАТУРА

1.      С.Ватанабэ, Н.Икэда. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М.: Наука, 1986.

2.      Р.Эллиотт. Стохастический анализ и его приложения. М.: Мир, 1986.

3.      А.В.Скороход. Случайные процессы с независимыми приращениями  М.: Наука, 1964.

НЕГЛАДКИЙ АНАЛІЗ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ

Умови екстремуму функціоналів в нормованих просторах.

Похідні за напрямком, перша варіація, похідні та диференціали Гато, похідні та диференціали Фреше (означення, властивості, приклади).

Теорема про середнє. Наслідки з теореми про середнє. Похідні та диференціали вищих порядків. Інтегрування. Формула Тейлора.

Задачі на умовний екстремум. Метод Лагранжа.

Опуклі множини.

Опуклі множини. Опуклi конуси. Афінні множини. Основні означення. Властивості.

Опуклі, афінні, конічні комбінації точок та оболонки множин. Теорема Каратеодорі.

Проекція точки на множину. Розділення двох множин. Теорема Мінковського про розділення точки та множини.

Теорема про опорну гіперплощину. Теорема Фенхеля про власне розділення множин.

Теорема Мінковського про опуклий компакт.

Опуклі функції.

Операцiї у класі опуклих функцiй. Інфімальна конволюція функцій. Опукла оболонка нижньої грані функцій. Функція Мінковського. Індикаторна функція. Опорна функція.

Критерії опуклості диференційовних функцій.

Нерівності для опуклих функцій. Неперервність опуклих функцій.

Спряжені функції. Властивості. Перетворення Юнга-Фенхеля. Нерівність Юнга–Фенхеля. Теорема Фенхеля-Моро.

Теореми двоїстості.

Додатньо однорідні опуклі функції. Властивості.

Узагальнення опуклих функцій. Квазіопуклі, псевдоопуклі функції.

Властивості субдиференціала опуклої функції. Обчислення субдиференціалів. Приклади.

Теорема Моро-Рокафеллара.

Теорема Дубовицького-Мілютіна.

Задачі опуклого програмування. Диференціальні умови оптимальності.

Субдиференціальна умова оптимальності.

Принцип невизначених множників Лагранжа. Диференціальна форма теореми Куна-Таккера.

Двоїсті задачі опуклого програмування. Вектор Куна-Таккера. Теорема двоїстості.

Теорема Куна-Таккера у формі двоїстості.

Верхня опукла апроксимацiя.

Конуси дотичних напрямкiв та шатра. Шатра. Функцiї, що допускають верхню опуклу апроксимацiю.

Головнi верхнi апроксимацiї i головнi субдиференцiали.

Необхiднi умови мiнiмуму. Обмеження, що задаються довiльними множинами.

Обмеження, що задаються рiвностями i нерiвностями.

Похiднi за напрямком.

Похiднi Дiнi та Адамара

Апроксимацiї множин та функцiй за допомогою конусiв. Конус допустимих напрямкiв.

Конус можливих напрямків. Конус дотичних напрямкiв.

Умови экстремуму диференцiйовних за напрямками функцiй. Умови экстремуму функцiї на Rn. Умови экстремуму функцiї на S.

Субдиференцiйовнi функції.

Узагальненi похiднi та субдиференцiали. Субдиференцiал Кларка.

Верхня i нижня регуляризацiї функцій. Верхня i нижня похiднi Кларка

Взаємозвязок похiдної Кларка та похiдної Дiнi

Субдиференцiал Кларка. Приклади. Субдиференцiал Шора та субдиференцiал Кларк

Властивостi субдиференцiала Кларка. Дотичний конус Кларка

Умови мiнiмуму субдиференцiйовної функцiї.

Квазiдиференцiйовнi функцiї.

Квазiдиференцiальне числення. Означення та приклади квазiдиференцiйовних функцiй

Основнi формули квазiдиференцiйного числення. Приклади обчислення квазiдиференцiалiв.

Рiзницi опуклих компактiв. Умови регулярностi.

Умови екстремуму квазiдиференцiйовної функцiї на Rn. Квазiдиференцiйовнi множини та умови оптимальностi.

Cубдиференцiали Мiшеля–Пено i Кларка та квазiдиференцiали

Верхнi опуклi апроксимацiї та квазiдиференцiали

Дослiдження моделi математичної економiки.

Аналiз кооперативних iгор.

Кодиференцiйовнi функцiї.

Означення i приклади кодиференцiйовних функцій. Основнi формули кодиференцiального числення

Приклади застосування формул кодиферецiального числення. Кодиференцiйовнiсть суперпозицiї

Неперервно кодиференцiйовнi множини.

Двiчi кодиференцiйовнi функцiї. Приклади двiчi кодиференцiйовних функцiй. Формули обчислення кодиференцiалiв другого порядку.

Умови мiнiмуму гiподиференцiйовної функцiї.

Метод кодиференцiального спуску. Безумовна мiнiмiзацiя. Умовна мiнiмiзацiя

Умови мiнiмуму другого порядку.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Моклячук М.П. Негладкий аналіз та оптимізація. Вид-во Київського ун-ту, 2008, 400 с.

2.      Моклячук М. П. Основи опуклого аналiзу. – Київ, ТВiМС, 2004. –240 с.

3.      Моклячук М. П. Варiацiйне числення. Екстремальнi задачi. – Київ, 2004. – 384 с.

4.      Borwein J. M., Lewis A. S. Convex analysis and nonlinear optimization.– Springer-Verlag, N.Y., 2000. – 273 p.

5.      Boyd S., Vandenberghe L. Convex Optimization.–Cambridge University Press, 2004.– 740 p.

6.      Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация.– М., Наука, 1981. – 384 с.

7.      Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. – М., Наука, 1990. – 432 с.

8.      Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. – М., Наука, 1974. – 480 с.

9.      Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. – М., Наука, 1988. –280 с.

10.  Обен Ж.-П. Нелинейный анализ. – М., Мир, 1988. – 264 с

11.  Обен Ж.–П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. – М., Мир,1988. – 510 с.

12.  Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. – М., Наука, 1980. – 320 с.

13.  Пшеничный Б. Н. Необходимые условия экстремума. – М., Наука,1982. – 144 с.

14.  Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. – М., Мир, 1973. – 472 с.

15.  Hiriart-Urruty J.-B., Lemarechal C. Fundamentals of Convex Analysis.– N.Y., Springer-Verlag, 2002. – 260 p.

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Основи теорії ймовірностей.

Основні поняття та аксіоми теорії ймовірностей, випадкові події та їх властивості.

Класичне означення ймовірностей. Дискретний імовірнісний простір. Геометричне означення ймовірностей. Властивості ймовірностей.

Умовні ймовірності. Формула повної ймовірності. Формула Байеса.

Незалежні випадкові події.

Випадкові величини.

Дискретні випадкові величини. Схема Бернуллі. Розподіли: біноміальний, геометричний, гіпергеометричний, Пуассона.

Загальне означення випадкової величини, Функції від випадкової величини. Функція розподілу та її властивості.

Щільність та її властивості, абсолютно неперервні функції розподілу. Приклади абсолютно неперервних розподілів.

Математичне сподівання дискретної величини. Основні властивості математичного сподівання. Приклади обчислення математичного сподівання.

Дисперсія, її властивості, приклади обчислення. Ймовірнісні нерівності

Випадкові вектори, сумісна функція розподілу. Розподіл функцій від випадкових векторів.

Незалежні випадкові величини, перетворення незалежних величин.

Функція розподілу та щільність суми незалежних величин. Розподіли Ерланга, гама та хі-квадрат.

Нормальні випадкові вектори, сумісна щільність, нормальні вектори на площині.

Закони великих чисел.

Різні типи збіжності випадкових величин, Збіжність за ймовірністю та її властивості.

Закон великих чисел. Метод Монте-Карло.

Збіжність майже напевне, лема Бореля-Кантеллі.

Посилений закон великих чисел Колмогорова.

Центральна гранична теорема.

Збіжність в основному та її властивості. Слабка збіжність,

Характеристична функція та її властивості. Класична центральна гранична теорема.

Граничні теореми Пуассона, Муавра - Лапласа.

Теореми Ліндеберга і Ляпунова для стандартних і загальних послідовностей

Задачі непараметричного оцінювання.

Основні задачі математичної статистики

Статистичний простір, вибірка. Функція вірогідності

Статистики, оцінки та їх властивості

Оцінювання ймовірності успіху в схемі Бернуллі

Емпірична функція розподілу як оцінка теоретичної функції розподілу

Теореми Глівенка - Кантеллі, Колмогорова та їх застосування.

Задачі параметричного оцінювання.

Вибіркові моменти та їх властивості

Метод моментів.

Незміщені оцінки мінімальної дисперсії. Оптимальні оцінки

Теорема Крамера-Рао для скалярного параметра

Приклади оптимальних оцінок в схемі Бернуллі

Приклади оптимальних оцінок для нормальних спостережень

Оцінки максимальної вірогідності, означення, рівняння, обчислення.

Приклади ОМВ для розподілів Бернуллі, Пуассона та нормального

Розподіли хі-квадрат, Стьюдента і Фішера - Снедекора.

Перевірка статистичних гіпотез.

Постановка задач перевірки статистичних гіпотез

Прості та складні гіпотези, їх альтернативи, приклади

Статистика критерію, критична область. Рівень та потужність критерію

Критерії Колмогорова, Смірнова. 

Критерій хі-квадрат для поліноміальної схеми Бернуллі

Критерії хі-квадрат однорідності, незалежності.

Перевірка гіпотез про середнє та дисперсію нормальної вибірки

Перевірка гіпотез про різницю середніх та відношення дисперсій нормальних вибірок.

Випадкові процеси.

Вінерівський процес, його розподіл та властивості траєкторій

Процес Пуассона, його розподіл та властивості траєкторій

Стаціонарні процеси другого порядку, коваріаційна функція. Спектральне зображення коваріаційної функції, спектральна міра.

Стохастичні міри з ортогональними значеннями, стохастичні інтеграли. Спектральне зображення стаціонарного процесу.

Оптимальний лінійний прогноз. Регулярні стаціонарні послідовності, зображення та прогноз. Розв’язок задачі лінійного прогнозу для стаціонарної послідовності

Факторизація спектральної щільності та похибка оптимального прогнозу

Приклади послідовностей з дробово-раціональним спектром

ЛІТЕРАТУРА

1.      И.И. Гихман, А.В.Скороход, М.И.Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика. К., "Вища школа", 1988.

2.      Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1987.

3.      М. В. Карташов. Теорiя ймовірностей та математична статистика.Київ. 2004.

4.      А.Я. Дороговцев, Д.С. Сiльвестров, А.В. Скороход, М.Й. Ядренко. Теорiя ймовiрностей. Збiрник задач. К., Вища школа. 1976.

5.      Ю.А.Розанов. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М., Наука, 1985.

6.      Г.И.Ивченко, Ю.И.Медведев. Математическая статистика. М., " Высшая школа", 1984.

7.      В.М.Турчин. Математична статистика в прикладах i задачах. К., 1993.

ТЕОРІЯ ВИБОРУ ТА ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

3 курс, 2 семестр + 4 курс, 1 семестр

Задачі лінійного програмування

Приклади задач лінійного програмування:

Задача про перевезення (транспортна задача).

Задача про харчовий раціон (задача про дієту).

Задача розподілу ресурсів.

Задача лінійного програмування у загальній формі.

Властивості допустимої області. Теорема Каратеодорі.

Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування.

Стандартна форма задачі лінійного програмування.

Канонічна форма задачі лінійного програмування.

Симплекс-метод. Критерій оптимальності.

Двоїсті задачі лінійного програмування. Теорема двоїстості.

Двоїстий критерій оптимальності.

Економічні інтерпретації двоїстої задачі.

Транспортна задача лінійного програмування.

Метод північно-західного кута.

Двоїстий критерій оптимальності для транспортної задачі.

Метод потенціалів.

Елементи теорії ігор.

Матричні ігри.

Матриця виграшів. Верхня i нижня ціна гри. Сiдлова точка.

Матричні  ігри з сідловими точками. Розв'язок гри у чистих стратегіях.

Основна теорема матричних ігор. Змішані стратегії гри.

Властивості оптимальних стратегій гри. Спрощення матричних ігор.

Графічний метод розв'язування матричних ігор.  Ігри розмірності 2 x n, m x 2.

Матричні ігри та лінійне програмування.

Алгоритм симплекс-методу розв'язування матричних ігор.

Множина всіх розв'язків гри.

Позиційні ігри. Стратегії. Інформаційні множини. Нормальна форма гри.

Оптимальні статистичні рішення.

Байєсівський ризик і Байєсівські рішення.

Рандомізація і змішані рішення. Мінімаксні рішення.

Задачі прийняття рішень зі спостереженнями.

Прийняття рішень в умовах невизначеності.

Побудова Байєсівских вирішуючих функцій.

Ціна спостереження. Обчислення апостеріорного розподілу у тому випадку, коли спостереження відбуваються в кілька етапів.

Спряжені апріорні розподіли.

Байєсівські оцінки параметрів розподілів.

Квадратична функція втрат.

Збиток пропорційний абсолютній величині похибки.

Метод динамічного програмування

Аналіз динамічних процесів. Принцип оптимальності Беллмана.

Динамічні  моделі керування запасами. Цілочисельне лінійне програмування.

Структура динамічні процесів. Область застосування динамічного програмування. Динамічні моделі в економіці. Дослідження задач розподілу фінансів.

4 курс, 1 семестр

Необхідні та достатні умови екстремуму функцій багатьох змінних.

Похідні за напрямком, перша варіація, похідні та диференціали Гато, похідні та диференціали Фреше.

Теорема про середнє. Наслідки з теореми про середнє.

Похідні та диференціали вищих порядків.

Інтегрування в нормованих просторах. Означення. Властивості.

Формула Тейлора.

Необхідні та достатні умови екстремуму функціоналів в нормованих просторах.

Задачі на умовний екстремум. Метод невизначених множників Лагранжа.

Основи опуклого аналізу.

Опуклі множини. Комбінації точок та оболонки множин.

Топологічні властивості опуклих множин.

Теореми про розділяючу площину та їх застосування.

Проекція точки на множину. Розділення двох множин.

Крайні точки опуклої множини.

Опуклі функції.

Операцiї у класі опуклих функцій.

Критерії опуклості диференційованих функцій.

Неперервність та диференцiйовнiсть за напрямком опуклої функції.

Теорема про розділяючу лінійну функцію.

Опукла задача мінімізації.

Субградієнт і субдиференціал опуклої функції.

Властивості субдиференціала опуклої функції.

Субдиференціальне відображення. Обчислення субдиференціалів.

Умови оптимальності в задачах математичного програмування.

Умови оптимальності в термінах напрямків.

Диференціальні умови оптимальності на опуклих множинах. 

Субдиференціальна умова оптимальності в опуклій задачі мінімізації.

Диференціальні умови оптимальності в задачі математичного програмування.

Принцип невизначених множників Лагранжа.

Диференціальна форма теореми Куна-Таккера.

Умови оптимальності другого порядку.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Моклячук М.П., Ямненко Р.Є. Лекції з теорії вибору та прийняття рішень. Вид-во Київського ун-ту, 2007, 256 с.

2.      Моклячук М. П. Варiацiйне числення. Екстремальнi задачi. – Київ, 2004. – 384 с.

3.      Моклячук М. П. Основи опуклого аналiзу. – Київ, ТВiМС, 2004. –240 с.

4.      Ермольев Ю. М., Ляшко И. И., Михалевич В.С. Математические методы исследования операций. - Киев: Вища школа, 1979. – 312 c.

5.      Крушевский А. В. Теория игр. - Киев: Вища школа, 1977. - 216 с.

6.      Де Гроот М. Оптимальне статистические решения. -- М., Мир, 1974.

7.      Беллман Р. Динамическое программирование. M. 1960, 400 c.

8.      Дж. Мак Кисни. Введение в теорию игр.- М.: Физматгиз, 1960. -- 420 с.

ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ З ПРОСТОРІВ ОРЛІЧА

Простори субгауссових випадкових величин Sub()

Еквівалентні норми в просторах Sub()

Експоненціальні моменти субгауссових випадкових величин

Суми незалежних субгауссових випадкових величчин

Нерівність Хевдінга

C-функції Орліча

N-функції Орліча. Перетворення Юнга-Фенхеля

Порівняння C-функцій. Умови ² та g

Простори Орліча випадкових величин

M-характеристика просторів Орліча

Оцінка для розподілу максимуму випадкових величин з просторів Орліча

Простори Орліча експоненціального типу

Простори Sub()

Випадкові процеси з просторів Орліча випадкових величин

Метрична масивність та метрична ентропія

Обмеженість та оцінки для розподілів супремуму випадкових процесів з просторів Орліча

Обмеженість та оцінки для розподілу супремумів Sub() процесів

Неперервність вибіркових функцій випадкових процесів з просторів Орліча

Модулі неперервності випадкових процесів з просторів Орліча

Передгауссові випадкові процеси

Оцінки розподілів супремумів передгауссових процесів

Квадратично-гауссові випадкові процеси

Корелограми гауссових процесів

Перевірка гіпотез про коваріаційні функції стаціонарних гауссових процесів

ЛІТЕРАТУРА

1.      Buldygin V.V.,  Kozachenko Yu.V. Metric Characterization of Random Variables and Random Processes, A.M.S Providence, Phode Island 2000.

2.      Дарійчук І.В., Козаченко Ю.В., Перестюк М.М. Випадкові процеси з просторів Орліча, Чернівці, «Золоті литаври», 2011.

3.      Василик О.І., Козаченко Ю.В.  -субгауссові випадкові процеси, РВЦ Київського університету, 2008.

ВЕЙВЛЕТ АНАЛІЗ. ЗАСТОСУВАННЯ В СТАТИСТИЦІ

Багаторівневий аналіз

Функції, що породжують багаторівневий аналіз в L₂(R)

Побудова m-вейвлетів

Вейвлети Шенона

Вейвлети Мейера

Побудова базисів вейвлетів на основі базисів Рісса

Вейвлети Баттл-Лемарі

Побудова базисів вейвлетів за допомогою «маски»

Апроксимаційні ядра

Швидкість збіжності вейвлет розкладів

Умови рівномірної збіжності вейвлет розкладів

Оцінювання щільності розподілу випадкових величин

Оцінювання спектральних щільностей

Розклад випадкових процесів по вейвлет базисам

Розклад випадкових процесів по базисам породженим вейвлетами

Моделювання випадкових процесів за допомогою вейвлет розкладів

ЛІТЕРАТУРА

1.      Козаченко Ю.В. Лекції з вейвлет аналізу, ТВіМС, 2004

2.      Chui C.K. An introduction to wavelets, Academic Press, New York, 1992 (Рос. переклад Чуи К. Введение в вейвлеты, «Мир», Москва, 2001)

3.      Daubechies I. Ten lecture on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1992 (Рос. переклад Добеши И. Десять лекцій по вейвлетам, РХД, Москва-Ижевск, 2001)

4.      Härdle W., Kerkyacharian G., Picard D., Tsybakov A. Wavelets, Approximation and statistical Applications, Springer, New York, 1998

5.      Hernánder E., Weiss G. A first Course on wavelets, CRC Press Inc. Boca Ratan FL., 1996

МАТЕМАТИЧНА ЕКОНОМІКА

(спеціалісти «математика»)

Відношення переваги. Правила вибору.

Слабка аксіома виявленої переваги. Можливість раціоналізувати структуру вибору.

Вибір споживача. Відповідність попиту Вальраса.

Ефект доходу та ефект цін. Класифікація товарів.

Еластичність попиту відносно доходу і відносно цін. Агрегація Курно та агрегація Енгеля.

Необхідні і достатні умови того, що функція попиту задовольняє слабку аксіому виявленої переваги.

Матриця Слуцького та її властивості.

Класична теорія попиту. Властивості відношення переваги: монотонності, локальна ненасичуваність, опуклість, неперервність.

Лексикографічна перевага та її властивості.

Теорема Дебре.

Властивості відношення переваги та властивості функції корисності.

Задача максимізації корисності. Властивості відповідності попиту.

Необхідні умови 1-го порядку у задачі максимізації корисності.

Непряма функція корисності та її властивості.

Задача мінімізації витрат. Зв’язок розв’язків задачі максимізації корисності та задачі мінімізації витрат.

Функція витрат та її властивості.

Компенсована відповідність попиту Хікса та її властивості. Компенсація доходу за Хіксом.

Співвідношення між функцією попиту Хікса та функцією витрат.

Рівняння Слуцького та рівність Роя.

Відновлення відношення переваги за функцією витрат.

Аналіз добробуту споживача. Еквівалентна варіація, компенсуюча варіація та їх вираз через функцію попиту Хікса.

Критичні втрати від оподаткування товару.

Сукупний попит та його властивості. Некомпенсований закон попиту.

Виробничі множини та їх властивості.

Задача максимізації прибутку. Відповідність пропозиції, функція прибутку та їх властивості.

Задача мінімізації видатків виробництва. Функція видатків, умовна відповідність попиту на фактори виробництва та їх властивості.

Сукупна пропозиція та її властивості.

Ефективні виробничі плани та їх зв’язок із задачею максимізації прибутку.

Лінійні моделі діяльності фірми. Модель Леонтьєва без можливості заміщення. Продуктивні матриці витрати-випуск.

Теорема про не заміщення у моделях Леонтьєва з можливістю заміщення.

Вибір в умовах невизначеності. Теорема про середню корисність.

Несхильність до ризику та її вимірювання. Напевний еквівалент, ймовірнісна премія.

Коефіцієнт абсолютної несхильності до ризику та порівняння степені несхильності до ризику різних осіб.

Порівняння степені несхильності до ризику відносно різних рівнів капіталу. Коефіцієнт відносної несхильності до ризику.

Стохастичне домінування 1-го роду.

Стохастичне домінування 2-го роду.

ЛІТЕРАТУРА

1.      A. Mas-Colell, M.D. Whinston, J.R.Green. Microeconomic Theory. Oxford Univ. Press, 1995

2.      О.І. Пономаренко, М.О. Перестюк, В.М. Бурим. Сучасний економічний аналіз. Мікроекономіка. Київ «Вища школа». 2004

МАТЕМАТИЧНА ЕКОНОМІКА

(магістри)

Відношення переваги. Правила вибору. Слабка аксіома виявленої переваги.

Достатні умови можливості раціоналізувати структуру вибору.

Відповідність попиту Вальраса. Ефект доходу та ефект цін.

Класифікація товарів. Еластичність попиту відносно доходу і відносно цін.  Основні співвідношення порівняльної статики.

Слабка аксіома виявленої переваги для функції попиту. Компенсація доходу за Слуцьким.

Необхідні і достатні умови того, що функція попиту задовольняє слабку аксіому виявленої переваги (компенсований закон попиту).

Матриця Слуцького.  Властивості матриці Слуцького.

Властивості відношення переваги: монотонності, локальна ненасичуваність, опуклість, неперервність.

Лексикографічна перевага, її властивості і не існування відповідної функції корисності.

Теорема Дебре.

Властивості відношення переваги та властивості функції корисності.

Необхідні і достатні умови квазіугнутості функції.

Задача максимізації корисності. Властивості відповідності попиту.

Непряма функція корисності та її властивості.

Задача мінімізації витрат. Зв’язок розв’язків задачі максимізації корисності та задачі мінімізації витрат.

Функція витрат та її властивості.

Компенсована відповідність попиту Хікса та її властивості.

Співвідношення між функцією попиту Хікса та функцією витрат.

Рівняння Слуцького та рівність Роя.

Відновлення відношення переваги за функцією витрат.

Еквівалентна варіація, компенсуюча варіація. інтегральне зображення через функцію попиту Хікса.

Аналіз добробуту споживача при оподаткуванні товару або опадкуванні споживчого доходу.

Аналіз добробуту споживача при оподаткуванні товару і виплаті компенсації.

Сукупний попит. Умови при яких сукупний попит є функцією сукупного споживчого доходу.

Некомпенсований закон попиту і слабка аксіома для сукупного попиту.

Виробничі множини та їх властивості. 

Умови при яких виробнича множина буде адитивною і задовольняти умову не зростання доходу від розширення масштабу виробництва.

Задача максимізації прибутку. Відповідність пропозиції, функція прибутку та їх властивості.

Задача мінімізації видатків виробництва. Функція видатків виробництва та її властивості.

Умовна відповідність попиту на фактори виробництва та їх властивості.

Сукупна пропозиція та її властивості.

Ефективні виробничі плани та їх зв’язок з задачею максимізації прибутку.

Лінійні моделі діяльності фірми.  Теорема про максимальний прибуток у лінійних моделях.

Модель Леонтьєва без можливості заміщення.

Теорема про продуктивні матриці витрати-випуск.

Теорема про не заміщення у моделях Леонтьєва з можливістю заміщення.

Функція корисності  фон Неймана. Властивості функція корисності фон Неймана.

Аксіома незалежності і умова неперервності відношення переваги на множині простих лотерей.  Теорема про існування середньої корисності.

Несхильність до ризику та її вимірювання. Напевний еквівалент, ймовірнісна премія.

Еквівалентні твердження відносно несхильності до ризику.

Коефіцієнт абсолютної несхильності до ризику, порівняння степені несхильності до ризику двох осіб.

Спадання абсолютної несхильності до ризику. Порівняння степені несхильності до ризику відносно різних абсолютних рівнів капіталу.

 Коефіцієнт відносної несхильності до ризику. Порівняння степені несхильності до ризику відносно різних відносних рівнів капіталу.

Стохастичне домінування 1-го порядку та його властивості.

Стохастичне домінування та 2-го порядку та його властивості.

Конкурентна рівновага та цінова рівновага з перерозподілом багатства.

Перша фундаментальна теорема економіки добробуту.

Цінова квазірівновага. Друга фундаментальна теорема економіки добробуту.

ЛІТЕРАТУРА

1.      A.Mas-Colell, M.D. Whinston, J.R.Green. Microeconomic Theory. Oxford Univ. Press, 1995

2.      О.І. Пономаренко, М.О. Перестюк, В.М. Бурим. Сучасний економічний аналіз. Мікроекономіка. Київ «Вища школа». 2004

МЕТОДИ ЕКОНОМІЧНИХ ОБЧИСЛЕНЬ

(4 курс «статистика»)

Функція корисності фон Неймана. Властивості функції корисності  фон Неймана.

Аксіома незалежності і умова неперервності відношення переваги на множині простих лотерей.  Теорема про існування середньої корисності.

Несхильність до ризику та її вимірювання. Напевний еквівалент, ймовірнісна премія.

Еквівалентні твердження відносно несхильності до ризику.

Коефіцієнт абсолютної несхильності до ризику, порівняння степені несхильності до ризику двох осіб.

Спадання абсолютної несхильності до ризику. Порівняння степені несхильності до ризику відносно різних абсолютних рівнів капіталу.

 Коефіцієнт відносної несхильності до ризику. Порівняння степені несхильності до ризику відносно різних відносних рівнів капіталу.

Стохастичне домінування 1-го порядку та його властивості.

Стохастичне домінування та 2-го порядку та його властивості.

Ризикові і без ризикові активи. Капітал, прибуток, портфель інвестора.

Дисконтовані ціни ризикових активів, дисконтований капітал та прибуток.

Домінантні стратегії та їх властивості.

Лінійна цінова міра та її зв'язок з існуванням домінантних стратегій.

Можливість арбітражу та існування ризиково-нейтральної міри.

Принцип визначення справедливої вартості ринкового платіжного зобов’язання.

Ризиково-нейтральний принцип визначення ціни платіжного зобов’язання.

Необхідні і достатні умови повноти ринку.

Необхідні і достатні умови ринковості платіжного зобов’язання.

Оцінка вартості неринкового платіжного зобов’язання.

Доходність ризикових активів та умова існування ризиково-нейтральної міри.

Премія за ризик портфеля інвестора.

Оптимальний портфель та існування ризиково – нейтральної міри.

Ризиково – нейтральний метод знаходження оптимальних портфелів.

Оптимальні плани споживання та інвестування.

Процес капіталу і дисконтованого капіталу у багатоперіодній моделі фінансового ринку.

Само-фінансовані стратегії.

Мартингали дискретного аргументу та їх властивості.

Арбітражна можливість.

Процес доходності активів.

Мартингальна міра.

Біноміальна модель.

Ринкове платіжне зобов’язання Європейського типу.

Знаходження породжуючої стратегії.

Опціони купівлі і продажу. Паритет купівлі і продажу.

Вартість опціону купівлі у біноміальній моделі.

Повні і неповні ринки.

Ринкове платіжне зобов’язання Американського типу.

Зв'язок опціонів Європейського і Американського типу.

Супермартингали дискретного аргументу та їх властивості.

Вартість опціону купівлі Американського типу.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М. Мир. 1964.

2.      Pliska S. Introduction to mathematical finance: discrete time models. Oxford, Basel: Blackwell, 1997

3. О.Д. Борисенко, Ю.С. Мішура, В.М. Радченко, Г.М. Шевченко. Збірник задач з фінансової математики. Київ. Техніка. 2007.

ДРОБОВІ ТА МУЛЬТИДРОБОВІ ПРОЦЕСИ

Дробовий броунівський рух (ДБР). Елементарні властивості: неперервність траєкторій, автомодельність, стаціонарність приростів, довгострокова залежність.

Інтегральні зображення ДБР. Зображення Мандельброта–Ван-Несса. Гармонізоване зображення. Зображення ДБР як інтеграла від степеневого ядра по вінерівському процесу. Фундаментальний мартингал.

Нерівність Гарсія–Родеміха–Рамсі. Приклади застосування.

Дробові інтеграли та похідні. Основні властивості: формули інтегрування частинами, формули композиції. Дробове інтегрування та диференціювання як взаємно обернені операції. Приклади обчислення дробових інтегралів та похідних.

Інтеграл Юнга–Стілтьєса, його елементарні властивості: адитивність, лінійність, формула інтегрування частинами. Гельдерівські властивості. Означення інтеграла за допомогою дробових похідних, його коректність. Еквівалентність означень для випадку гельдерівських функцій.

Потраєкторні інтеграли. Інтегрування у дробових просторах типу Бєсова. Означення потраєкторного інтеграла для невипадкових та випадкових функцій. Властивості, приклади. Потраєкторне інтегрування по ДБР. Стохастична теорема Фубіні для потраєкторних інтегралів по ДБР. Формула Іто.

Стохастичні диференціальні рівняння з ДБР. Існування та єдиність розв’язків. Властивості розв’язків: гельдеровість, неперервність за початковою умовою.

Наближення ДБР абсолютно неперервними процесами у просторах типу Бєсова. Наближення розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з ДБР розв’язками звичайних диференціальних рівнянь з випадковими коефіцієнтами.

Узагальнення ДБР на випадок змінного в часі параметра Хюрста, поняття мультидробового броунівського руху (МБР). МБР з рухомим середнім, властивості траєкторій: неперервність, локальна та глобальна гельдеровість. МБР типу Вольтерра, властивості траєкторій. Гармонізований МБР.

Стохастичні диференціальні рівняння з МБР. Існування та єдиність розв’язків. Властивості розв’язків.

Гладкі наближення для МБР у просторах типу Бєсова. Наближення розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з МБР.

Фінансові застосування ДБР. Дробова модель Блека–Шоулза. Наявність арбітражу.

Змішані моделі з вінерівським процесом та ДБР.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Mishura Y. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes. — Berlin : Springer, 2008.

2.      Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск : Наука и техника, 1987.

3.      Friz P.K., Victoir N.B. Multidimensional Stochastic Processes as Rough Paths. Theory and Applications.— Cambridge University Press, 2010.

4.      Dudley R. M., Norvaiša R. Concrete Functional Calculus.— Springer, 2010.

5.      Norros I., Valkeila E., Virtamo J. An elementary approach to a Girsanov formula and other analytical results on fractional Brownian motions // Bernoulli.— 1999.— V. 5, no 4.— P. 571–587.

6.      Garsia A.M., Rodemich E., Rumsey Jr. H. A real variable lemma and the continuity of paths of some Gaussian processes // Indiana University Mathematics Journal.— 1970.— V. 20, no. 6.— P. 565–578.

7.      Nualart D., Răşcanu A. Differential equations driven by fractional Brownian motion // Collectanea Mathematica.— 2002. — V. 53, no. 1.— P. 55–81.

8.      Peltier R.F., Lévy Véhel J. Multifractional Brownian motion: definition and preliminary results // INRIA research report. — 1995. — No. 2645.

9.      Benassi A., Jaffard S., Roux D. Gaussian processes and pseudodifferential elliptic operators // Revista Mathematica Iberoamericana.— 1997.— Vol. 13, no. 1. — P. 19–89.

10.  Андрощук Т.О. Наближення стохастичного iнтегралу по дробовому броунiвському руху iнтегралами по абсолютно неперервним процесам // Теорiя ймовiрностей та математична статистика. — 2005. — Т. 73.— С. 11–20.

11.  Ральченко К.В., Шевченко Г.М. Наближення розв’язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь з дробовим броунiвським рухом розв’язками випадкових звичайних диференцiальних рiвнянь // Український математичний журнал.— 2010.— Т. 62, № 9.— С. 1256–1268.

12.  Ральченко К.В., Шевченко Г.М. Властивостi траєкторiй мультифрактального броунiвського руху // Теорiя ймовiрностей та математична статистика.— 2009.— Т. 80.— С. 106–116.

13.  Ральченко К.В. Наближення мультифрактального броунiвського руху абсолютно неперервними процесами // Теорiя ймовiрностей та математична статистика.— 2010.— Т. 82.— С. 115–127.

ЙМОВІРНІСНІ МЕТОДИ КОМБІНАТОРИКИ

Ймовірнісна міра геометричних елементів. Випадкові точки і випадкові множини. Різні типи параметризації (парадокс Бертрана). Приклади: випадкові точки, прямі та площини.

Теорема Крофтона для скінченого числа точок. Теорема Крофтона для середніх значень. Застосування теореми Крофтона до узагальненої задачі про зустріч. Застосування теореми Крофтона для задачі Сільвестра. Обчислення значення константи Сільвестра для трикутника та кола.

Опуклі фігури на площин та випадкові хорди. Задача Бюффона та її узагальнення для опуклих фігур. Формула Коші для довжини кривої. Розв’язок узагальненої задачі Бюффона.

Поняття випадкового ансамблю точок та  випадкового ансамблю множин. Приклади. Точкові міри: опис «ззовні» та опис «зсередини». Міри з незалежними приростами, пуассонові точкові міри. Приклади.

Випадкові розбиття, покриття та  розміщення. Випадкові розбиття інтервалу. Випадкові розміщення інтервалів на прямій та кіл на площині. Покриття даної множини випадковими множинами. Моделі, що приводять до задач про випадкові розбиття, покриття та  розміщення. Статистичні аспекти: варіаційний ряд, критерій Колмогорова–Смірнова.

Випадкове блукання Бернуллі. Базовий ймовірнісний простір. Узагальнення: загальні випадкові блукання, багатовимірні випадкові блукання. Комбінаторне обчислення ймовірностей перебування у точці. Принцип віддзеркалення. Теорема про балотування. Визначення спільного розподілу максимуму і мінімуму випадкового блукання Бернуллі методом кратних віддзеркалень. Узагальнення методу кратних віддзеркалень для багатовимірних областей.

Застосування методів теорії лінійних рівнянь до обчислення характеристик  випадкових блукань.

Моменти повернення блукання у початковий стан: означення, комбінаторне обчислення розподілу. Теорема арксинуса для останнього відвідування. Теорема арксинуса для часу перебування на півосі.

Рекурентні системи: означення, приклади. Рівняння відновлення, функція відновлення. Теорема відновлення для арифметичних рекурентних систем.

Метод генератрис в теорії рекурентних систем. Означення генератриси, основні властивості. Запис рівняння відновлення в термінах генератрис. Поняття про абелеві та тауберові теореми. Критерій зворотності випадкового блукання.

Складні розподіли: означення, формула для генератриси складного розподілу. Гіллясті процеси: означення, формула для генератриси n-го покоління, обчислення ймовірності виродження гіллястого процесу.

Ймовірнісні метрики: означення, приклади. Теорема Кеніга–Холла та її неперервна версія. Метрика Леві-Прохорова: означення, властивості.

Квантильне перетворення. Метрика Вассерштейна–Канторовича–Рубінштейна: означення, властивості. Екстремальна властивість квантильного перетвореня.

Задача оптимального масопереносу Монжа–Ампера–Канторовича. Розв’язок одновимірної задачі масcопереносу для опуклих функцій вартості.

Відстань за варіацією: означення, властивості. Каплінгова характеризація Лема-Добрушина.

ЛІТЕРАТУРА

а) основна:

1.      Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика.— К.: Вища школа, 1988.

2.      Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности.— М.: Наука, 1975.

3.      Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.— М.: Мир, 1984.— Т. 1.

4.      Ширяев А.Н. Вероятность.— М.: Наука, 1989.

б) додаткова:

5.      Дороговцев А.Я., Сильвестров Д.С., Скороход А.В. Ядренко М.И. Теория вероятностей : сборник задач.—  К.: Вища школа, 1976.

6.      Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Теоремы и задачи о процессах Маркова.— М.: Наука, 1967.

7.      Спитцер Ф. Принципы случайного блуждания.— М.: Мир, 1984.

8.      Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов.— М.: Мир, 1984.

9.      Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин.— М.: Наука, 1986.

ТЕОРІЯ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

Означення випадкового процесу.Траєкторії випадкових процесів. Вимірність. Циліндричні σ-алгебри. Приклади випадкових процесів. Скінченновимірні розподіли. Умови узгодженості. Лема про циліндричні множини.Теорема Колмогорова. Характеристичні функції ймовірнісних розподілів. Умови узгодженості.Теорема про характеризацію процесу з незалежними приростами. Означення пуассонівського процесу з ведучою мірою. Його коректність. Означення вінерівського процесу. Його коректність. Явна конструкція пуассонівського процесу за допомогою процесу відновлення. Означення гауссівського вектора. Щільність багатовимірного гауссівського розподілу. Означення гауссівського процесу. Лема про характеризацію. Характеризація гауссівського процесу за допомогою середнього та коваріаційної функції. Функції Хаара і Шаудера. Дві леми про збіжність детермінованих та випадкових рядів. Теорема про побудову вінерівського процесу на [0; 1] за допомогою функцій Шаудера. Теорема про еквівалентність двох означень вінерівського процесу. Теорема про побудову вінерівського процесу на [0; ∞]. Теорема про недиференційовність траєкторій вінерівського процесу в жодній точці. Означення (суб-, супер-) мартингала. Приклади мартингалів. Перетворення мартингалів та субмартингалів. Розклад Дуба-Мейєра для випадкових процесів з дискретним часом. Розклад Дуба-Мейєра для модуля випадкового блукання. Квадратична варіація та квадратична характеристика квадратично-інтегровного мартингала. Марковські моменти, моменти зупинки та їхні властивості. Теорема Дуба про випадкову зупинку (суб-) мартингала.  Теорема про випадкову зупинку обмеженого мартингала. Знаходження ймовірностей банкрутства для випадкового блукання. Узагальнена теорема про випадкову зупинку мартингала. Теорема про число перетинів смуги субмартингалом. Теорема про існування границі м.н. мартингала. Теорема про існування границі в інтегральному просторі. Гіллястий процес Гальтона-Ватсона. Теорема про зображення рівномірно інтегровного мартингала. Означення сепарабельного процесу. Теорема про існування сепарабельної модифікації. Функції без розривів другого роду. Критерій в термінах епсілон-коливань і поведінки модуля неперервності. Перша допоміжна теорема про відсутність розривів другого роду в термінах тривимірних розподілів. Друга допоміжна теорема про відсутність розривів другого роду в термінах тривимірних розподілів. Основна  теорема про відсутність розривів другого роду в термінах тривимірних розподілів. Марковські процеси. Означення та три леми про еквівалентні форми марковської властивості. Марковська властивість процесу з незалежними приростами.

Марковські ланцюги з неперервним часом. Лема про властивості перехідних імовірностей. Лема про скінченновимірні розподіли марковських ланцюгів: визначення скінченновимірних розподілів марковських ланцюгів через початковий розподіл і перехідні ймовірності. Однорідні марковські ланцюги, означення, рівняння Колмогорова-Чепмена. Однорідний пуассонівський процес як марковський ланцюг.  Ергодична теорема для однорідних марковських ланцюгів. Три наслідки з ергодичної теореми. Процеси, стаціонарні у вузькому розумінні та їхній зв’язок із марковськими ланцюгами. Стандартні однорідні марковські ланцюги. Теорема про існування правих похідних перехідних імовірностей в нулі. Консервативність марковського ланцюга. Приклад консервативного ланцюга і його інфінітезимальної матриці. Обернені рівняння Колмогорова. Прямі рівняння Колмогорова.

Перехідні функції марковських процесів. Приклад – скінченновимірний вінерівський процес. Однорідний марковський процес із перехідною функцією. Напівгрупа операторів, пов’язана з однорідним марковським процесом. Побудова перехідних імовірностей за напівгрупою операторів. Властивості напівгруп, породжених марковським процесом. Резольвента, пов’язана з перехідною марківською функцією. Аналітичні властивості резольвенти. Резольвентне рівняння. Зв’язок між генератором і резольвентним оператором. Теорема Хіллє–Іосіда. Умови відсутності розривів другого роду і неперервності траєкторій сепарабельного марковського процесу з перехідною функцією (теорема Кінні - Динкіна). Дифузійний марковський процес та його інфінітезимальний оператор. Теорема Колмогорова про марковський процес як дифузійний. Обернене рівняння Колмогорова для щільності перехідної функції. Пряме рівняння Колмогорова для щільності перехідної функції (рівняння Фоккера-Планка). Ортогональні випадкові міри. Продовження ортогональної випадкової міри з напівкільця на породжене ним кільце. Прості функції. Стохастичний інтеграл за ортогональною випадковою мірою від простої функції та його властивості. Стохастичний інтеграл за ортогональною випадковою мірою від невипадкової функції, квадратично інтегрованої за структурною мірою, його властивості. Означення ортогональної випадкової міри на множинах з s-алгебри, породженої кільцем. Випадкові процеси, інтегровані з квадратом. Теорема Карунена. Застосування теореми Карунена до стаціонарних процесів з дискретним часом. Теорема Герглотца. Спектральне представлення процеса з дискретним часом, стаціонарного у широкому розумінні. Застосування теореми Карунена до стаціонарних процесів з неперервним часом. Теорема Бохнера та теорема Карунена. Теорема про спектральне зображення процесу з дискретним часом. Задачі прогнозу та екстраполяції для випадкових стаціонарних процесів. Регулярні та сингулярні стаціонарні процеси. Допоміжні результати щодо проектування стаціонарних процесів на підпростір. Теорема про ортогональний розклад стаціонарного процесу на регулярну та сингулярну компоненти.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Булинський А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. – М.: Физматлит, Лаборатория Базовых знаний, 2003.

2.      Венцель А.Д. Курс теории случайных процессов. – 2-е изд. – М.: Наука, 1996.

3.      Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. 1-3 – М.: Наука, 1971, 1973, 1975.

4.      Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. 2-е изд. – М.: Наука, 1977.

5.      Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963.

КОМП’ЮТЕРНА СТАТИСТИКА (3 КУРС)

Предмет і методи комп’ютерної статистики. Вступ до програмної системи Mathematica

Поняття про випадкові і псевдовипадкові послідовності. Аналіз якості генераторів псевдовипадкових чисел. Генерація псевдовипадкових чисел у системі Mathematica.

Поняття про дескриптивні статистики. Статистики середнього положення та розкиду. Їх алгебраїчні властивості (інваріантність та еквіваріантність). Викиди та забруднення вибірки. Робастність. Підрахунок дескриптивних статистик у системі Mathematica.

Візуальний аналіз даних. Методи візуалізації у системі Mathematica.

Оцінювання методом моментів. Консистентність та асимптотична нормальність оцінок методу моментів. Довірчі інтервали на основі оцінок методу моментів. Реалізація методу моментів у системі Mathematica.

Оцінки методу найбільшої вірогідності. Консистентність та асимптотична нормальність оцінок методу найбільшої вірогідності. Однокроковий метод найбільшої вірогідності. Методи оптимізації та реалізація оцінок найбільшої вірогідності у системі Mathematica. Порівняння ефективності оцінок методу моментів та методу найбільшої вірогідності шляхом імітаційного моделювання.

Тести для перевірки простих статистичних гіпотез. Реалізація тесту Неймана-Пірсона у системі Mathematica та оцінка його ймовірнісних властивостей.

Поняття про кореляційний аналіз. Кореляційний аналіз у системі Mathematica. Візуалізація результатів кореляційного аналізу.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика.- К.: ТВіМС, 2004, 307с.

2.    Майборода Р.Є. Комп’ютерна статистика.-К.:ВПЦ «Київський університет»,  2002.- 57с.

3.    Боровков А.А. Математическая статистика.-М.:Наука, 1984.-472с.

4.    Майборода Р.Є. Регресія: Лінійні моделі.- К.:ВПЦ «Київський університет»,  2007.- 296 с.

5.      Я.К.Шмидский. Mathematica 5. Самоучитель.-М.:Издательский дом «Вильямс», 2004. – 529 с.

ДОДАТКОВІ РОЗДІЛИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Прикладні задачі статистичного аналізу залежностей між числовими характеристиками. Функціональна та структурна моделі регресії. Гауссова регресія. Регресія з похибками у змінних. Оцінки найбільшої вірогідності у гауссовій функціональній регресійній моделі. Метод найменших квадратів, його геометричний зміст. Алгебраїчні зображення оцінок методу найменших квадратів.

Залишки та їх аналіз. Викиди, приховані нелінійності, гетероскедастичність. Графічні засоби аналізу залишків.

Ефективність оцінок МНК в класі всіх лінійних незміщених оцінок. Коваріаційна матриця оцінок МНК.  Незміщена оцінка дисперсії похибок. Ефективність оцінок МНК для гауссової регресії.

Ізотропні гауссові вектори та їх властивості. Розподіли хі-квадрат, Стьюдента, Фішера.

Довірчі інтервали для коефіцієнтів регресії. Використання довірчих інтервалів для перевірки гіпотез. Одночасні довірчі інтервали – методи Бонферроні і Шеффе.

Загальна лінійна гіпотеза для коефіцієнтів регресії. Тест Фішера для загальної лінійної гіпотези. Перевірка залежності між двома змінними за допомогою тесту Фішера. Коефіцієнт кореляції Пірсона та його властивості. Перевірка залежності відгуку від хоча б одного з регресорів за допомогою тесту Фішера. Коефіцієнт детермінації та його властивості. Розшарована вибірка. Аналіз розшарованих вибірок за допомогою тесту Чоу.

Однофакторний дисперсійний аналіз. Перевірка однорідності середніх за допомогою графічних тестів та тесту Фішера. Перевірка однорідності дисперсій. Тест Левена.

Структурна лінійна регресія. Консистентність оцінок методу найменших квадратів. Коефіцієнти найкращого прогнозу та їх оцінювання.

Баєсів, нейманів та мінімаксний підходи до вибору оптимального тесту. Випадок простих гіпотез. Тест відношення вірогідності як баєсів тест. Лема Неймана-Пірсона.

Генератриса кумулянтів та її властивості. Перетворення Юнга-Фенхеля. Ймовірності великих відхилень. Нерівність Чернова.

Асимптотика тестів відношення вірогідності для випадку фіксованих альтернатив. Вибір порогу тесту. Гранична ймовірність помилки другого роду. Відстань Кульбака-Ляйблера та її властивості.

Асимтпотика тестів відношення вірогідності у випадку альтернатив, що зближуються. Вибір порогу тесту. Гранична ймовірність помилки другого роду. Інформація Фішера, її зв’язок з дивергенцією Кульбака-Ляйблера.

Тест відношення вірогідності для складних гіпотез. Приклад рівномірно найбільш потужного тесту. Тест хі-квадрат як апроксимація тесту відношення вірогідності. Аналіз таблиць спряженості.

Загальні методи побудови точкових оцінок: метод моментів, метод підстановки, метод найбільшої вірогідності. Побудова оцінок за допомогою оцінюючих рівнянь. Незміщені оцінюючі рівняння. Консистентність ООР. Асимптотична нормальність оцінок методу оцінюючих рівнянь. Коефіцієнт розсіювання та матриця розсіювання. Оптимальність оцінок методу найбільшої вірогідності. Нелінійна регресія. Оцінки нелінійного методу найменших квадратів та методу лінеаризації.

Різні підходи до поняття асимптотичної ефективності. Суперефективні оцінки. Теореми ле-Кама та Гаека.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика.- К.: ТВіМС, 2004, 307с.

2.      Боровков А.А. Математическая статистика.-М.:Наука, 1984.-472с.

3.      Майборода Р.Є. Регресія: Лінійні моделі.- К.:ВПЦ «Київський університет»,  2007.- 296 с.

4.      Shao J. Mathematical statistics. Springer-Verlag, New York, 1998.

5.      Себер Дж. Линейный регрессионный анализ.- М.: Мир, 1980.-456с.

НЕПАРАМЕТРИЧНА СТАТИСТИКА

Поняття про непараметричну статистику.

Загальні непараметричні методи оцінювання розподілу. Емпіричний метод найбільшої вірогідності. Оцінки Варді та Горвіца-Томпсона  для розподілу за зміщеною вибіркою. Цензуровані спостереження. Оцінки Каплана-Мейера та Горвіца-Томпсона для розподілу за цензурованими даними. Оцінювання розподілу за даними поточного стану.

Задача оцінювання щільності розподілу. Ядерні оцінки щільності. Консистентність та асимптотична нормальність ядерних оцінок. Вибір оптимального ядра та параметра згладжування. Мінімаксна межа квадратичного ризику для оцінок щільності.

Статистичний підхід до задач класифікації. Класифікація з навчаючою вибіркою. Баєсова та емпірично-баєсова класифікація. Дискримінантний аналіз, порівняння точності параметричної та непараметричної класифікації. Класифікація за методом найближчого сусіда. Ієрархічні класифікатори, метод CART.

Техніка непараметричної регресії. Оцінки Надарая-Ватсона, їх консистентність та асимптотична нормальність. Сплайнова регресія. Робастність у непараметричній статистиці.

Непараметричні статистичні тести. Тести Колмогорова та Колмогорова-Смірнова. Рангові коефіцієнти кореляції Спірмена та Кенделла. Непараметричний дисперсійний аналіз.

Поняття про семіпараметричне оцінювання. Ефективність семіпараметричних оцінок.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика.- К.: ТВіМС, 2004, 307с.

2.      Боровков А.А. Математическая статистика.-М.:Наука, 1984.-472с.

3.      Майборода Р.Є. Комп’ютерна статистика. – К., 2002.

4.      Shao J. Mathematical statistics. Springer-Verlag, New York, 1998.

5.      Hardle W., Muller M., Sperlich S., Werwatz A. Nonparametric and semiparametric models. An introduction. – Berlin, 2003.

СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ БАГАТОВИМІРНИХ ДАНИХ

Прикладні задачі аналізу багатовимірних даних.

Задачі аналізу прихованих змінних. Факторний аналіз. Метод головних компонент та метод найбільшої вірогідності у факторному аналізі. Обертання факторного простору. Застосування факторного та регресійного аналізу для побудови стандартизованих психометричних тестів. Застосування факторного аналізу для інтерпретації результатів проекційних тестів.

Методи зниження вимірності. Цілеспрямоване проектування. Багатовимірне шкалування.

Задачі класифікації з навчаючою вибіркою. Баєсів підхід до класифікації. Дискримінантний аналіз. Класифікація за допомогою ієрархічних класифікаторів. Метод CART.

Алгоритми кластеризації. Модель скінченної суміші у задачах кластеризації. ЕМ-алгоритм та його застосування у кластеризації.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика.- К.: ТВіМС, 2004, 307с.

2.      Боровков А.А. Математическая статистика.-М.:Наука, 1984.-472с.

3.      Майборода Р.Є. Комп’ютерна статистика. – К., 2002.

4.      Shao J. Mathematical statistics. Springer-Verlag, New York, 1998.

5.      Bilodeau M., Brenner D. Theory of multivariate statistics. - Springer-Verlag, 1999.

КОМП’ЮТЕРНА СТАТИСТИКА (МАГІСТРИ 2 КУРС)

Поняття про комп’ютерну статистику. S та R  як мови програмування статистичних  алгоритмів.

Регресійний аналіз та його реалізація у S-Plus та R. Гетероскедастична регресія. Навантажений метод найменших квадратів. Регресія з похибками, залежними між собою. Двокроковий МНК для гетероскедастичних моделей та для похибок, що утворюють процес авторегресії. Тест Дарбіна-Вотсона для перевірки залежності похибок. Його використання у випадку негауссових похибок.

Різні техніки навантаження: частотне, дисперсійне, корекції зміщення. Навантажене середнє та навантажена медіана. Перевірка гіпотез при наявності навантажень.

Моделі регресії з похибками, залежними від  регресорів. Метод інструментальних змінних. Асимптотика оцінок методу інструментальних змінних. Вибір оптимальної інструментальної змінної.

Системи одночасних рівнянь. Умови ідентифіковності. Переідентифіковні рівняння. Прямий і непрямий МНК для одночасних рівнянь.

Поняття про мультиколлінеарність. Засоби діагностики мультиколлінеарності. Метод головних компонент і його використання для аналізу мультиколлінеарних регресійних моделей. Факторний аналіз. Рідж-регресія.

Вибір оптимального набору регресорів. Покрокова регресія. Критерій Мелоуза і метод складного ножа.

Методи нелінійної оптимізації. Алгоритми Ньютона та Мардкварта-Левенборга. Аналіз нелінійних регресійних моделей.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика.- К.: ТВіМС, 2004, 307с.

2.      Боровков А.А. Математическая статистика.-М.:Наука, 1984.-472с.

3.      Майборода Р.Є. Регресія: Лінійні моделі. – К., 2006.

4.      Shao J. Mathematical statistics. Springer-Verlag, New York, 1998.

5.      Venables W.N., Ripley B.D. Modern Applied Statistics with S 2002. Springer, 2002.

МЕТОДИКА ВИКЛАДАННЯ СТАТИСТИКИ У ВИЩІЙ ШКОЛІ

Специфіка викладання статистики у вищій школі. Статистика для спеціалістів у прикладних областях. Способи організації лекції та курсу лекцій з статистики. Співвідношення числових алгоритмів та графічних засобів статистичного аналізу.

Дескриптивні статистики, їх характеризація, властивості та області застосування.

Викладання основ теорії ймовірностей. Парадокси та несподівані факти теорії ймовірності.

Характеризація якості статистичних алгоритмів у різних предметних областях.

Регресійний аналіз – ключові моменти та камені спотикання.

Особливості викладання кореляційного аналізу. Питання виявлення залежності у загальному випадку.

Баєсів підхід для початківців: з чого почати і як продовжувати пояснення.

Теорія та прикладні задачі статистичної класифікації.

Статистичні методи аналізу даних на основі принципу автоінформативності.

Як навчати методам візуального аналізу даних.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика.- К.: ТВіМС, 2004, 307с.

2.      Боровков А.А. Математическая статистика.-М.:Наука, 1984.-472с.

3.      Майборода Р.Є. Регресія: Лінійні моделі.- К.:ВПЦ «Київський університет», 2007.- 296 с.

4.      Shao J. Mathematical statistics. Springer-Verlag, New York, 1998.

5.      Себер Дж. Линейный регрессионный анализ.- М.: Мир, 1980.-456с.

СТАТИСТИКА ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

Міри та випадкові елементи на нескінченновимірних просторах.

Середнє значення: означення, три достатні умови існування.

Коваріаційний оператор: означення, умови існування.

Гауссові процеси, міри та випадкові елементи: означення та приклади. Гауссів білий шум.

Зображення гауссового випадкового елементу у виді лінійного образу від гауссового білого шуму. Зв’язок з теоремою Карунена.

Простір Камерона-Мартіна гауссової міри та його узагальнення для міри зі слабким порядком 2.

Лінійне оцінювання невідомого параметру зсуву випадкового елемента: постановка, умова існування точної послідовності оцінок, структура незміщеної оцінки найменшої дисперсії.

Сингулярність та абсолютна неперервність мір на нескінченновимірних просторах. Конзистентне оцінювання за сингулярними сім’ями мір.

Інтеграли Хеллінгера та відстань за варіацією. Альтернатива Какутані.

Теорема Гаєка-Фельдмана.

Критерій Неймана-Пірсона. Гіпотези про розподіл гауссового процесу.

Пуассонові точкові міри: означення, розподіли. Умови еквівалентності та сингулярності розподілів.

Перевірка гіпотез про розподіл складних процесів Пуассона та пуассонових точкових мір.

Квадратична варіація. Безпомилкові правила перевірки гіпотез про розподіл дифузійного процесу у випадку сингулярних альтернатив.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Гренандер У. Случайные процессы и статистические выводы. - М.: ИЛ, 1961. – 168 с.

2.      Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. - М.: Наука, 1985. - 368 с.

3.      А.В.Скороход Интегрирование в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1975. - 232 с.

4.      Шилов Г.Е., Фан Дык Тинь Интеграл, мера и производная на линейных пространствах.- М.: Наука, 1967. – 192 с.

5.      Д.В.Гусак, О.Г.Кукуш, О.М.Кулик, Ю.С.Мішура, А.Ю.Пилипенко. Збірник задач з теорії випадкових процесів та її застосувань. - К., 2008. - 398 с.

ТЕОРІЯ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

Скінченновимірні розподіли. Теорема Колмогорова про побудову випадкового процессу.  

Випадкові процеси з незалежними приростами. Процес Вінера, процес Пуассона. 

Функції середнього та коваріацій.

Гауссові процеси.

Простори з фільтрацією. Мартингали, суб- та супермартингали.  

Розклад Дуба для випадкових процесів з дискретним часом. Квадратична варіація.

Марковські моменти часу та моменти зупинки. Теорема Дуба про випадкову зупинку мартингала.  

Максимальна і мінімальна ймовірнісні нерівності для субмартингалів.  Максимальна моментна нерівність для субмартингалів.

Оцінка числа перетинів субмартингалом деякої смуги. Теорема про існування границі субмартингала.

Мартингали Леві.

Вимірні процеси: означення, теорема про існування вимірної модифікації.

Теорема Колмогорова про існування неперервної модифікації.

Нерівності Скорохода. Умови відсутності розривів ІІ-го роду в термінах умовних імовірностей.Відсутність розривів ІІ-го роду у процеса з незалежними приростами.

Процеси Маркова та ланцюги Маркова. Варіанти означення марковської властивості.

Скінченновимірні розподіли марковського ланцюга. Матриці ймовірностей переходу. Рівняння Колмогорова-Чепмена.

Класифікація станів однорідного ланцюга Маркова.

Рекурентність: визначення, критерій, наслідки. Рівняння відновлення.

Строго марковська властивість. Властивості рекурентних станів. 

Ергодична теорема для скінчених  ланцюгів Маркова.

Граничні значення перехідних ймовірностей як розв’язки систем лінійних рівнянь.

Інваріантні розподіли ланцюгів Маркова.

Диференціальні рівняння Колмогорова для ймовірностей переходу ланцюга Маркова з неперервним часом.

Функція переходу процесу Маркова.

Півгрупа операторів, шо відповідає однорідному процесу Маркова, її генератор та резольвента.

Феллерові процеси Маркова.

Строго марковська властивість: означення, достатня умова.

Властивості траекторій однорідних процесів Маркова.

Чисто розривні процеси Маркова: означення та формула для генератора.

Дифузійні процеси: означення, формула для генератора.

Неперервність, диференційовність та інтегровність випадкових процесів в -сенсі: означення, необхідні та достатні умови в термінах функцій середніх та коваріацій.

Ортогональні випадкові міри та їх структурні міри. Стохастичний інтеграл за ортогональною мірою.

Теорема Карунена. Спектральне зображення стаціонарних в широкому сенсі випадкових процесів та послідовностей.

Процеси, стаціонарні в широкому та вузькому сенсі: означення, приклади. Теореми Бохнера та Герглотца для функцій коваріацій.

Поняття фільтра. Приклади фільтрів. Ергодична теорема для стаціонарних в широкому сенсі випадкових процесів та послідовностей.

Ергодичні теореми Неймана та Біркгофа-Хінчина для стаціонарних  у вузькому сенсі процесів та послідовностей.

Стохастичний інтеграл Іто. Лема про квадратичну варіацію вінерового процесу. Формула Іто.

 Теорема існування та єдиності розв’язку СДР. Приклади СДР та іх розв’язків.

Розв’язок СДР як дифузійний процес. 

ЛІТЕРАТУРА

1.      Дж.Л.Дуб, Вероятностные процессы, М., 1956, 605с.

2.      И.И.Гихман, А.В.Скороход, Введение в теорию случайных процессов, М., 1977, 568 с.

3.      В.Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, в 2-х т., М. 1964, 498с.; 1967, 752 с.

4.      А.В.Булинский, А.Н.Ширяев, Теория случайных процессов, М. 2003,  400с.

5.      А.В.Скороход, Лекції з теорії випадкових процесів, К.1990, 164 с. 

6.      Ю.А.Розанов,  Стационарные случайные процессы, М. 1990, 284 c.

7.      Д.В.Гусак, О.Г.Кукуш, О.М.Кулик, Ю.С.Мішура, А.Ю.Пилипенко, Збірник задач з теорії випадкових процесів та її застосувань, К. 2008, 398 с.

ІМОВІРНОСНІ МЕТОДИ КРИПТОАНАЛІЗУ

Джерела ймовірнісних криптоаналітичних задач.

Розподіл та біноміальні моменти числа 2-ланцюгів у випадковій послідовності заданої специфікації. Локальна поведінка зазначеного розподілу.

Розподіл числа S-ланцюгів заданого типу у випадковій послідовності специфікації 0^a1^b. Коваріація числа S₁-ланцюгів та числа S₂-ланцюгів. Локальна поведінка зазначеного розподілу.

Сумісний розподіл числа 2-ланцюгів та 3-ланцюгів у випадковій послідовності специфікації 0^a1^b.

Точна формула для математичного сподівання числа S-ланцюгів, що не з’явилися в послідовності незалежних однаково розподілених випадкових величин. Оцінка залишкових сум в зазначеній формулі.

Теорема про асимптотичне представлення математичного сподівання числа  S-ланцюгів, що не з’явилися в послідовності незалежних однаково розподілених випадкових величин. Наслідки з теореми.

Теорема інваріантності для математичного сподівання числа нетривіальних розв’язків однорідної системи лінійних випадкових булевих рівнянь.

Математичне сподівання числа нетривіальних розв’язків однорідної системи лінійних випадкових булевих рівнянь з слабкозаповненою матрицею коефіцієнтів.

Оцінка розв’язку системи випадкових булевих рівнянь, отриманого методом максимальної вірогідності.

Алгоритм побудови множини найменшої потужності, яка містить із заданою ймовірністю справжній розв’язок системи рівнянь з спотвореною правою частиною.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Масол В.И. О распределении некоторых статистик (0,1)- вектора // Исследование операций и АСУ. – 1987, вып. 29. – с. 23-27.

2.      Масол В.И. Ассимптотическое поведение некоторых статистик (0,1)- вектора // Теория вероятностей и математическая статистика. – 1990, вып. 43. – С. 83-90.

3.      Тихомирова М.И., Чистяков В. П. Об асимптотике моментов числа непоявившихся S-цепочек // Дискретная математика. – 1997, т.9, вып. 1. - С. 12-29.

4.      Колчин В.Ф. Случайные графы. М.: Физматлит, 2004.

5.      Балакин Г.В. Введение в теорию случайных систем уровнений // Труды по дискретной математике. – 1997, т. 1. - С. 1-18.

6.      Балакин Г.В. Алгоритм нахождения множества наименьшей мощности, содержащего истинное решение с заданной вероятностью // Труды по дискретной математике. – 2003, т. 7. - С. 7-21.

ТЕОРІЯ ВИПАДКОВИХ БУЛЕВИХ РІВНЯНЬ

Пуассонівський граничний розподіл числа елементів множини {х₁, х₂,…. х_n}, які не з'явилися в послідовності х_і(t), t=1, … ,T, де i(t) – випадкова величина.

Асимптотика ймовірності сумісності системи булевих рівнянь виду х_і(t)=b_t, t=1, … ,T, де i(t) – випадкова величина.

Асимптотика ймовірності сумісності системи булевих рівнянь виду х_і(t)Åx_j(t)= b_t, t=1, … ,T, де і(t), j(t) – випадкові величини.

Асимптотика ймовірності сумісності системи лінійних випадкових булевих рівнянь.

Необхідна і достатня умова існування єдиного розв'язку однорідної системи лінійних випадкових булевих рівнянь

Нижня та верхня оцінки ймовірності існування сторонніх розв'язків сумісної системи нелінійних випадкових булевих рівнянь

Моменти числа сторонніх розв'язків сумісної системи нелінійних випадкових булевих рівнянь.

Пуассонівський граничний розподіл числа сторонніх розв'язків сумісної системи нелінійних випадкових булевих рівнянь.

Нормальний граничний розподіл нормованого числа сторонніх розв'язків сумісної системи нелінійних випадкових булевих рівнянь.

ЛІТЕРАТУРА

1.      Колчин В.Ф. Системы случайных уравнений. М.:МИЭМ, 1988.

2.      Колчин В.Ф. Севастьянов Б.П., Чистяков В.П. Случайные размещения. М.: Наука, 1986.

3.      Колчин В.Ф. Случайные графы. М.: Физматлит. 2004.

4.      Масол В.І. Про ймовірність єдиного розв'язку системи лінійних випадкових булевих рівнянь // Вісник Київ. ун-ту, серія матем. і мех.- 1988, вип.30.-С. 58-62.

5.      Мasol V.I. Moments of the number of solutions of a system of random Boolean equations // Random Oper. Stoch. Eqs.-1993, v.1, №2.- Р. 169-177.

6.      Масол В.И. Теорема о предельном распределении числа ложных решений системы нелинейных случайных булевых уравнений // Теория вероятностей и её применения, 1998, т. 43, вып. 1.- С. 41-56.

7.      Masol V. and Slobodyan S. On the asymptotic normality of the number of false solutions of a system of nonlinear random Boolean equation // Theory of Stochastic Processes.-2007, 13(29), № 1-2.- Р.144-151.