Тест на перевірку знань з теми КОМБІНАТОРИКА

Тест на перевірку знань з теми КОМБІНАТОРИКА

8. Якщо в результаті перетину двох множин  маємо: А Ç В = В, то ОБОВ'ЯЗКОВО...

А) А = В ;             Б) А = 0 ;              В)  А Ç В=А;      Г) А = Æ;             Д)  В Ì А.

9. Якщо А È В = Æ, то ОБОВ'ЯЗКОВО...

А) А = В = Æ ;    Б) А =Æ  ;            В) В = Æ ;            Г) А = Æ або В = Æ;        Д) В Ì А.

10. Із Києва до Сімферополя можна дістатися або поїздом, або автобусом, або літаком, а з Сімферополя до Ялти - або авто­бусом, або тролейбусом. Скільки існує різних способів дістатися до Ялти з Києва через Сімферополь?

А)  2+3;                Б) 2∙3 ;  В) 2³ ;   Г) 3²;      Д)  (2+3)! .

11. За умовою попередньої задачі знайдіть кількість варіан­тів здійснення подорожі за маршрутом Київ - Сімферополь -Ялта - Сімферополь - Київ, якщо зворотний шлях провести в поїзді.

А) 6;      Б) 12;     В) 18;   Г) 24;   Д) 36 .

12. Скільки тризначних чисел можна утворити, використову­ючи три картки з цифрами: 1, 5, 5?

А)одне;               Б) два;  В) три;                 Г) чотири;          Д) більше чотирьох .

13. Скільки трикутників можна скласти, обираючи три з чо­тирьох відрізків, довжини яких дорівнюють 1 см, 1 см, 2 см і 3 см?

А)  жодного;     Б)  один;             В) два ;                Г) три;  Д) більше трьох.

14. Скільки чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, не повторюючи їх?

А) 24 ;   Б)  22;   В)  20;                   Г) 18;        Д) 16.

15. Правильний тетраедр, грані якого пофарбовані в різні ко­льори, кидають послідовно три рази. Скільки існує різних наборів кольорів граней, на які може впасти цей тетраедр?

А)  12;   Б)  37;   В)  64;                   Г) 125;   Д) 216.

16. Телеведучий має надати слово чотирьом особам: журна­лісту А, експерту Б, чиновнику В і депутату Г. Скільки існує різних способів виступу гостей студії, якщо чиновник В катего­рично відмовляється виступати раніше, ніж депутат Г?

А)  24;   Б)  18;   В) 12;   Г) 6;         Д)  3.

17. У ресторані швидкого харчування пропонують n  перших страв, m других страв і k третіх страв. Скільки різних варіантів обіду може запропонувати цей ресторан своїм клієнтам?

А) 3!∙(n+m+k) ;                Б) 3!∙n∙m∙k;          В) n∙m∙k;   Г) n+m+k;   Д) (n∙m∙k ):3.

18. Завуч має скласти розклад для 11-го класу на понеділок, маючи для цього сім різних уроків. Скільки існує різних варіантів такого розкладу?

А) 7;   Б) 7∙7;  В) 7∙7∙7∙7∙7∙7∙7;   Г)7! = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7;   Д)77.

19. Після вдалого вступного тестування п'ятеро щасливих сту­дентів здійснили подорож до Закарпаття, замовивши для цього автомобіль на 5 пасажирських місць. Хазяїн фірми, до якої звернулися друзі, запропонував їм подорожувати Україною щороку за умови, що кожного наступного разу вони сідатимуть у той самий автомобіль по-іншому. Після того як усі способи посадки будуть вичерпані, хазяїн фірми пообіцяв, що їх возитимуть безкоштовно. Коли настане цей день?

А) через 24 роки;           Б) через 50 років; В) через 75 років; Г) через 100 років; Д) через 120 років.

20. За умовою попередньої задачі одного дня двоє з п'яти друзів повинні були відвідати супермаркет. Скількома способами можна здійснити вибір цього «продуктового десанту»?

А) двома;           Б) п'ятьма;         В) десятьма;   Г) двадцятьма; Д) тридцятьма.

21. Після конвокації п'ятеро магістрів зайшли до ресторану відзначити цю непересічну подію. Директор ресторану запропону­вав їм і надалі відвідувати саме цей ресторан цього дня щороку, причому кожного разу сідати за той самий КРУГЛИЙ стіл іншим способом. Директор пообіцяв, що, після того як усі способи посад­ки за стіл будуть вичерпані, їх годуватимуть у ресторані безкош­товно. Коли настане цей день?

А) через 5 років;            Б) через 10 років;  В) через 24 роки;   Г) через 50 років;            Д) через 120 років.

22. Скільки існує різних способів складання трикольорового прапора з вертикальними смугами, якщо є тканина п'яти різних кольорів?           

А) 10;    Б)  15;   В)  30;                   Г) 60;       Д) 120 .

23. На загальних зборах трудового колективу з 12 осіб обгово­рюють кандидатів на посади керівника цього колективу та йог заступника. Кожний варіант керівного складу обговорюється окремо протягом НЕ МЕНШ ніж 10 хв. Скільки ЩОНАЙМЕНШІ триватиме засідання трудового колективу, якщо планується об­говорити ВСІ варіанти?

А) 24 год;            Б)  22 год;           В) 20 год;   Г) 16 год;      Д) 12 год.

24. У далекій Країні Чудес між кожними двома містами є чарівна стежка. Скільки в цій країні міст, якщо всіх стежок біль­ше ніж 70, але менше ніж 80?

А) 10;    Б) 11;    В) 12;                   Г) 13;       Д) 14.

25. На площині розташовано 25 різних точок так, що ніякі три з них не лежать на одній прямій. Скільки існує трикутників із вершинами в цих точках?

А) 2300;               Б) 13 800;            В) 7500;               Г) 10 000 ;            Д) 3400 .

26. Експерт із управління цінними паперами розглядає 9 об'єк­тів для інвестування. Лише 3 з них будуть вибрані. Скільки варіантів вибору є в експерта?

А)  A³₉ = 9∙8∙7;   Б) 9∙9∙9 ;              В) 9∙3 ;                  Г) 3⁹;        Д)  C³₉  = (9∙8∙7):(1∙2∙3).

27. Скількома способами можна із колоди в 36 карт взяти п'ять карт так, щоб чотири з них були тузами?

А) C⁵₃₆; Б) 4∙C⁵₃₆ ;            В) C⁴₃₆;                 Г) C¹₃₂;  Д) 4∙C¹₃₂.

28. Із великої колоди (52 карти) обирають шість. Скільки існує варіантів, у яких серед цих шести карт буде три королі?

А) 4∙C³₄₈;             Б) 4∙A³₄₈;             В) C³₆;                   Г) 4∙C⁶₅₂;              Д) 4∙A⁶₅₂.

29. Є дві паралельні прямі. На першій з них вибрано n різ­них точок, а на другій - k різних точок. Скільки існує трапецій з вершинами в цих точках?

А) C⁴_n+k;               Б) A⁴_n+k;               В) C²_n∙A²_k;           Г) A²_n∙A²_k;           Д) C²_n∙C²_k.

30. На випускному вечорі присутні n дівчат і m хлопців. Скількома способами можна утворити з них k пар для виконан­ня вальсу (k < m < n)

А) C^k_n∙C^k_m;          Б) C^k_n+C^k_m;    В)  A^k_n∙A^k_m;             Г) A^k_n+A^k_m;   Д) C^k_n∙A^k_m.

31. Скільки доданків у розкладі бінома (а² + b)²⁰⁰⁸ міститимуть парні натуральні степені числа b?

А) 2009;               Б) 2008;               В) 1005;               Г) 1004;                Д) інша відповідь.

32. У розкладі бінома (x - 2) ²⁵ знайдіть доданок, який містить x¹⁰.

А) 2¹⁵ ∙ С¹⁰₂₅ х¹⁰ ;              Б) - 2¹⁵ ∙ С¹⁰₂₅ х¹⁰;             В)  С¹⁰₂₅ х¹⁰;   Г) - С¹⁰₂₅ х¹⁰;   Д) інша відповідь.

33. У продажу є квіти чотирьох сортів. Яку найбільшу кількість різних букетів, що складаються з семи квіток, можна утворити?

А) С⁷₄  = 120;      Б) 28;      В) 49;   Г) 16;       Д) інша відповідь.

34. Яка найбільша кількість різних  шестицифрових чисел, які можна складати з трьох двійок, двох сімок, і однієї п’ятірки?

 А) С⁶₃;  Б) (6!):(1!∙2!∙3!) = 60;  В) 6∙(2∙3∙1);   Г) 6∙5∙4∙3∙2∙1;   Д) інша відповідь.

 35.  Яка найбільша кількість різних  трицифрових чисел, які можна складати з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри в числі можуть повторюватися?

 А) С⁶₃;  Б) (6!):(1!∙2!∙3!) = 60;  В) 6∙(2∙3∙1);   Г) 6∙5∙4;   Д) 216 = 6∙6∙6.

36.  Яка найбільша кількість різних  трицифрових чисел, які можна складати з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо цифри в числі не можуть повторюватися?

 А) С⁶₃;  Б) (6!):(1!∙2!∙3!) = 60;  В) 6∙(2∙3∙1);   Г) А³₆ = (6!):(6-3!) = 6∙5∙4;  Д) 216 = 6∙6∙6.

37.          Знайдіть усі комплексні корені рівняння х² + 4х + 5 = 0. У відповідь запишіть СУМУ КВАДРАТІВ модулів цих коренів.

Відповідь:          10.

38.          Обчисліть (1 + і)¹²
Відповідь:          -64.

39.          Туристична фірма провела вуличне опитування 2000 гро­мадян України стосовно планів на цьогорічний літній відпочинок. Серед опитаних 1200 осіб планують побувати на морі, 650 - у горах, а 500 - у сільській місцевості. Відомо також, що 250 осіб
планують цього року відвідати і море, і гори, 200 - і море, і сільсь­ку місцевість, а 100 - і гори, і сільську місцевість. Знайдіть кількість осіб, які НЕ планують відвідати ЖОДНУ із названих місцевостей, якщо всі три місцевості бажають відвідати 50 осіб.

Відповідь:          150 осіб.

40.          За умовою попередньої задачі вкажіть кількість опита­них (у тисячах осіб), які бажають відвідати цього літа ТІЛЬКИ ОДНУ з наведених місцевостей: або лише море, або лише гори, або лише село. Відповідь:           1400 осіб.

41.          Василько має намір заповнити цифрами 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3 квадрат розміром 3x3 клітинки так, щоб у кожному стовп­чику і рядку сума чисел дорівнювала 6. Скількома способами він може це зробити?

Відповідь:          12.         

42.          Знайдіть кількість непарних шестицифрових чисел, які складаються лише з нулів та трійок.

Відповідь: 1∙2∙2∙2∙2∙1 = 16.        

43.          Скільки є чотирицифрових чисел, кратних 25?
Відповідь: 9∙10∙4 = 360.              

44.          Скільки існує прямих у = ах + b, де а, b - натуральні числа, не більші за 10?

Відповідь: 10∙10 = 100.

45.          У шаховому турнірі було зіграно 105 партій. Знайдіть кіль­кість учасників турніру, якщо відомо, що кожний із них зіграв із кожним з інших учасників по одній партії.

Відповідь: 14∙(14+1):2 =105, отже 15 учасників.            

46.          Пан Забувайло поклав речі в автоматичну камеру схову, кодовий замок якої замикається шифром, що складається з трьох цифр. Наступного дня, забувши код, Забувайло почав його під­бирати. Він пам'ятав, що останні дві цифри коду різні, але пра­вильний номер вдалося набрати лише з останньої спроби серед можливих. Скільки спроб передувало вдалій?

Відповідь: 10∙10∙9 -1 = 899.       

47.          Шифровки агента 001 містять лише два різних символи: нуль та одиницю. Скільки різних «слів» може зашифрувати агент, якщо кожне слово є послідовність не більш ніж шести символів.

Відповідь:          2¹ +2^{2 +} 2³ +2^{4 +} 2⁵  + 2⁶ =126.

48.          Нехай а і b - відповідно кількість правильних і непра­вильних дробів m/n ( m не рівне n), які можна скласти з одноцифрових чисел 1, 2, 3, 4, 5. Укажіть правильне співвідношення між а і b із наведених нижче. У відповідь запишіть НОМЕР цього співвідношення. 1) а = b = 20; 2) а - b = 10; 3) а - b = 20; 4) а = 2b; 5) b = 2а;  6) b - а = 20;

7) b - а = 10;  8) а = b =10. Відповідь: 8.

49. Маленький Андрійко склав із кубиків слово БАРАБАН. Старший брат Андрійка, Іванко, запропонував йому з УСІХ цих кубиків скласти нові «слова» (набори літер, які не обов'язково мають зміст). Скільки всього НОВИХ «слів» (не враховуючи початкове) може скласти Андрійко на прохання Іванка?

Відповідь: 419 = (7!):(2!∙3!) -1.

50. Пончик вирішив поснідати в кафе, замовивши для себе 6 порцій каші. Скільки різних варіантів ранкового меню для Пон­чика є  в офіціанта, який його обслуговує, якщо в кафе на момент замовлення було лише 4 різних види каші? Під час відповіді врахуйте, що примхливий гурман Пончик вимагає, щоб усі порції йому принесли одночасно.

Відповідь:  C⁶_4+6-1 = (9∙8∙7∙6∙5∙4):(1∙2∙3∙4∙5∙6) = 84

51. Знайдіть дві останні цифри числа, яке є значенням виразу

C⁰₂₃ +C¹₂₃ +C²₂₃ + … + C²¹₂₃ + C²²₂₃ +C²³₂₃

Відповідь: це число 2²³ і воно закінчується такими двома цифрами   08.

52. Скільки існує різних телефонних номерів, які містять не менше двох, але не більше семи цифр, якщо телефонний номер може починатися і з нуля?

Відповідь: 10² +10³ +10⁴ + …+ 10⁷ = 10²∙(1+10¹ +10² + …+ 10⁵) = 10²∙(10⁶ -1) / (10-1) = 1 млн 111 тис100 номерів.  

53. Доведіть, що С²₂₀₁₀ + С⁴₂₀₁₀ +С⁶₂₀₁₀ + С⁸₂₀₁₀ +... + С²⁰⁰⁶₂₀₁₀ + С²⁰⁰⁸₂₀₁₀ ділить­ся на 30.

54. Для святкування Нового року дитячий садок замовив Діда Мороза. За контрактом Дід Мороз мав святкувати в трьох групах чисельністю 15 осіб кожна і роздати 30 однакових подарунків у кожній групі. У першій групі Дід Мороз роздав подарунки порівну; у другій групі — так, що ніхто не залишився без подарунка; у третій групі знесилений Дід Мороз роздав подарунки навмання. Скількома способами можна було здійснити розподіл подарунків у кожній із груп?

Відповідь: У першій групі один спосіб. У другій групі – C¹⁵₁₅₊₁₄ = (29!):(14!∙15!). У третій групі – C³⁰₁₅₊₂₉ =  (44!):(30!∙14!).