Лінійні діофантові рівняння з двома невідомими.

Лінійні діофантові рівняння з двома невідомими.

Важливим класом діофантових рівнянь є лінійні рівняння вигляду

ax + bу = c,  де a, b, c – цілі числа.

Зрозуміло, що коли с не ділиться на спільний дільник чисел а та b, то таке рівняння не має розв’язків у цілих числах. Якщо ж а та b взаємно прості, то існує нескінченна множина розв’язків:

x = x₀ + bn,

y = y₀+ an,

де (x; y) – який-небудь один (частковий) із розв’язків, n Î Z. Справді, якщо (x; y) – розв’язок,

ax₀+ by₀= с.

Віднімаючи цю рівність від заданого рівняння, дістанемо

а(х- x₀)+ b(у- y₀) = 0,

звідки                  

х = x+( y-у).

Для того, щоб х було цілим, необхідно, щоб другий з доданків останній рівності був цілим числом. Оскільки а та b – взаємно прості, то (y-у) має ділитися на а. Отже, y₀-у = аn, n Î Z. Звідси і знаходимо всі цілочислові розв’язки (х; у) за вказаними вище формулами.

Приклад. Розв’язати у цілих числах рівняння

19х + 97у = 1997.

Розв’язання. Виразимо х через у:

х = .

Надаватимемо змінній у послідовних значень 0, 1 ,… , 18, перебираючи всі можливі остачі від ділення

1997-97у на 19.

Оскільки 19 та 97 – взаємно прості, то

1997-97у

 ділитиметься на 19 лише для одного такого у. Легко  пересвідчитись, що таким значенням є

y = 1.

Тоді

х=100 .

Отже, всі розв’язки данного рівняння у цілих числах задаються рівностями

х = 100+97n

та      

у=1-19 n, n Î Z.

Зауважимо, що, виражаючи х через у при розв’язуванні останнього рівняння, ми могли б записати його також у вигляді

х=105-5у+.

Зрозуміло, що тоді перевіряти подільність чисельника одержуваного дробу на 19 було б значно простіше.

Означення. Рівняння  виду   ах +bу = с  називається лінійне діофантове рівняння з двома невідомими, якщо  а, b, с  – цілі числа, а  ≠ 0, b ≠ 0 , с ≠  0.

Приклад 1:

Приклади лінійних діофантових  рівнянь з двома невідомими:

1)  2х +3у = -5, коефіцієнти рівняння а =2, b =3, с = -5.

2) - х - 3у = 10, коефіцієнти рівняння  а =-1, b = -3, с =10.  

3) 32х +17у = 3, коефіцієнти рівняння а =32, b =17, с =3.  

4) 32/х +17у = 3^0,5 - це недіофантове рівняння(бо коефіцієнти а та b  являються нецілими числами), проте це лінійне рівняння відносно двох невідомих х та  у.

Зауваження. До виду лінійних діофантових рівнянь з двома невідомими можна звести рівняння виду  pх +qу = g, якщо  p, q, g – звичайні дроби, p  ≠ 0, q ≠ 0 , g ≠  0.

Для цього  досить: записати всі коефіцієнти звичаними дробами і помножити ліву та праву частину рівняння на спільний знаменник, тобто помножити на найменше спільне кратне коефіцієнтів, НСК(p, q, g). Покажемо це на прикладах.

Приклад 2:

1) x/2 +у/3 = 3/5, коефіцієнти рівняння а =0,5; b =1/3;  с =1/5; якщо це рівняння помножити на  спільний знаменник 30, і скоротити коефіцієнти, тоді отримаємо лінійне діофантове рівняння з двома невідомими:  15х +10у = 18.

2)   -0,25 х – у/6 = 1/12, коефіцієнти рівняння  а =-0,25; b =1/6;  с =1/12; якщо це рівняння помножити на  спільний знаменник 12, і скоротити коефіцієнти, тоді отримаємо лінійне діофантове рівняння з двома невідомими:  -3х - 2у = 1. 

3) 1,34х –4,17у = 7,3 коефіцієнти рівняння  а =1,34  ; b =-4,17;  с = 7,3;  якщо це рівняння помножити на на  спільний знаменник 100,  тоді отримаємо лінійне діофантове  рівняння з двома невідомими:  134х - 417у = 730.  

Твердження 1. Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими  ах + bу = с можна  розв’язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли число  с ділиться націло на НСД(а, b), тобто с: НСД(а, b).

Припустимо, що для лінійного діофантового рівняння з двома невідомими ах + bу = с

виконується умовa :  n =  a/c; m =  b/c.      Якщо поділити обидві частини рівняння на число с, тоді отримаємо рівняння виду:  nх + mу = 1.  Отже маємо більш краще твердження:

Твердження 2. Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими   ах + bу = с можна  розв’язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли НСД(а, b) =1, НСД(а, b,с) =1, тобто, цілі числа  а та  b – взаємно прості, ( не мають спільного дільника, крім 1).

Приклад 3:

Приклади лінійних діофантових  рівнянь з двома невідомими:

1)  2х +3у = -5, коефіцієнти рівняння а =2, b =3, с = -5, НСД(а, b) = НСД(2, 3)= 1, тому це рівняння має розв’язки в цілих числах.

2) - 6х - 3у = 10, коефіцієнти рівняння  а =-6, b = -3, с =10, НСД(а, b) = НСД(-6, -3) = 3, тому це рівняння не має розв’язків  в цілих числах.

 3) 34х +17у = 51, коефіцієнти рівняння а =34, b =17, с =51, поділимо  обидві частини даного рівняння на 17, отримаємо рівняння 2х +1у = 3. НСД(2, 1) = 1,  при цьому 3: НСД(2, 1), тому це рівняння має розв’язків  в цілих числах.

Метод  «спуску» для лінійних діофантових рівнянь

Перебір варіантів при вирішенні рівняння в цілих числах часто опиняється вельми трудомістким. Тому розглянемо ще один старовинний прийом – метод «спуску» (або метод розсіювання). Таким методом вирішення невизначених (діофантових) рівнянь першого степеня з цілими коефіцієнтами займалися ще в Стародавній Індії. Цим способом іноді у наш час розв’язують такі рівняння.

         Приклад. Розв’язати рівняння в цілих числах:    

19х – 8у = 13          (1).

        Розв’язування. Виражаючи  у – невідоме з найменшим по модулю коефіцієнтом через  х  отримаємо:   

                               у = (19х –13):8                (2).

         Тепер потрібно з'ясувати, при яких цілих значеннях х відповідні  значення  у  також є цілими числами. Тобто, виділивши цілу частина, запишемо рівняння (2) таким чином:  

                               у = 2х + (3х –13):8                            (3).

З рівняння (3) виходить, що  у  при цілому значенні  х  матиме ціле значення тільки в тому випадку, якщо вираз (3х –13):8   також матиме ціле значення, замінимо цей вираз на  ціле число z.         Значить

(3х –13):8 = z         (4),

зведемо до розв’язування  рівняння (4) з двома невідомими   х  і  z, тоді його можна записати так:     

3x – 8z = 13          (5).

        Продовжуючи тим же способом, з рівняння (5) отримаємо:

(8z +13):3 = 2z + (2z +13):3         (6).

         Виходить, невідоме  х  приймає ціле значення при цілому  z  тоді, коли (2z +13): 3     прийматиме ціле значення. Нехай цей вираз рівний  цілому числу p, отримаємо:

р = (2z +13):3               (7)

 або   

3р – 2z = 13            (8).

        Далі:                                     

z = (3р –13):2 = р + (р –13):2                           (9).

       Аналогічно (4) і (7)  (р –13):2  повинно бути цілим числом, підставимо замість цього виразу  ціле значення q  отримуємо:    

q = (р –13):2        (10)

перетворимо                                        

 р – 2q = 13              (11).

      З рівняння (11) отримуємо:       

р = 2q + 13              (12).

     Відмітимо, що при будь-яких значеннях 2q   матимемо цілі значення p.

     З рівності (3), (6), (9), (12) за допомогою послідовних підстановок знаходимо наступні вирази для невідомих  х  і   у  рівняння (1):

x = 2z + p = 2(p+q) + p = 3p + 2q =  3(2q + 13) + 2q = 8q + 39

y = 2x + z = 2(8q + 39) + p + q = 16q +78 +(2q +13)+ q =19q + 91.

  Таким чином, формули:    

 x = 8q + 39

y = 19q + 91,

при  q  =  0       … дають можливість знаходити пари чисел, які задовольняють рівняння (1)

     Наведемо приклади таких рішень:

q	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
x=8q + 39	7	15	23	31	39	47	55	63	71
y=8q + 91,	15	34	53	72	91	110	129	148	167

Cпосіб знаходження «часткового»  розв’язку діофантового рівняння

Для розв’язування лінійного діофантового рівняння з двома невідомими

ах + bу = с

треба помножити все рівняння на спільний знаменник,  а  потім:

1) перевірити умову розв’язності даного рівняння в цілих числах. Для цього  спочатку ділять обидві частини рівняння на число m = НСД(а, b,с) , а потім перевіряють умову:

НСД(a/m;  b/m ) = НСД(p;s) = 1, де  a/m = p; b/m = s;

якщо ця умова не виконується, тоді роблять висновок дане рівняння не має розв’язку в цілих числах.

2) якщо рівняння має розв’язок в цілих числах, тоді треба відшукати хоча б одну пару (х_о, у_о) цілих чисел, яка є розв’язком даного рівняння

ах + bу = с;

(це можна зробити:  методом підбору,  методом Евкліда, графічним способом та іншими способами.)

3) записати всю множину розв’язків лінійного діофантового рівняння з двома невідомими, як множину цілочисельних пар у вигляді

(х_о - ak,  у_о+ bk),  де k – довільне ціле число.

Cпосіб розкладу  одиниці  на суму цілочисельних добутків.

При такому способі  розв’язання лінійного діофантового рівняння  ах + bу = с  треба:

1) перевірити  умову  розв’язності  даного  рівняння;

2)  якщо розв’язки існують, тоді  знайти за допомогою алгоритму Евкліда цілочисельний розв’язок  (n; m) для    рівняння:

ах + bу = 1;

3) рівність  ах + bу = 1 помножити на  ціле число  с і отримати:   а(nc) + b(mc) = c,

записати цілочисельну пару   х_о = nc,    у_о  = mc,  що є  розв’язком ах + bу = с.

4) записати всю множину розв’язків лінійного діофантового рівняння з двома невідомими,  як множину цілочисельних пар у вигляді

х = nc - ak,

у  = mc + bk;

або

(х_о - ak,  у_о+ bk),

де k – довільне ціле число.

Приклад 4:

Розв’язати рівняння в цілих числах

3x + 5y = 7

Розв’язання:

1) Перевіримо умову розв’язності: коефіцієнти рівняння

а =3, b =5, с =7,

НСД(3, 5) = 1,

отже  маємо ціле число, якщо 7: НСД(3, 5), тому дане рівняння має множину розв’язків в цілих числах.

2) Знайдемо спочатку який-небудь розв’язок. Тут використаємо  таку ідею, до речі, часто допомагає і при розв’язанні інших завдань.

Спочатку знайдемо одну пару цілих чисел (m; n), яка є  рівняння розв’язком іншого, легшого рівняння:

3x + 5y = 1,

тоді матимемо правильну  рівність:

3m + 5n = 1,

 а для того, щоб знайти один розв’язок (х_о, у_о)  для рівняння

3x + 5y = 7,

треба буде помножити  правильну рівність 

3m + 5n = 1 на 7.

Продемонструємо цю ідею на практиці.  Оскільки легко встановити, що

3m + 5n = 3∙2 + 5∙(-1) = 1, то  3x + 5y = 3∙(2∙7) + 5∙(-7∙1) = 1∙7

і, отже,

x₀ = 14,

y₀ = 7 –

це розв’язок даного рівняння (одне з багатьох, не більш!).

3) Отже, маємо дві рівності:

3x + 5y = 7, 

3x₀ + 5y₀ = 7,

Віднімемо одне рівняння з іншого, позначимо

x- x₀ і у -y₀

через p і g, і отримаємо

3a + 5b = 0.

Звідси ми бачимо, що b ділиться на 3, а  а – на 5. Покладемо p = 5k,  тоді  g = 3k – тут очевидно,  що  k - може бути будь-яким цілим числом. Отже, ми отримуємо набір розв’язків:

х - x₀ = 5k; 

у - y₀ = -3k,

звідси маємо, 

x = 14 + 5k;

y = -7 - 3k,

де  k - може бути будь-яким цілим числом. Інших розв’язків, звичайно, немає.

Відповідь: (14 +5k;  -7 -3k), де k – довільне ціле число.

Приклад 5:

Розв’язати рівняння  в цілих числах

3x -12y = 7.

Розв’язання:

1)Це рівняння не має цілих розв’язків. Ліва частина ділиться на 3,  бо НСД(3;12) = 3, тоді як права частина не ділиться на 3.  Звертаємо вашу увагу, що не виконується умова розв’язності: 7 не ділиться на ціло на 3.

Відповідь:  розв’язку в цілих числах рівняння не має.

Приклад 6:

Розв’язати рівняння  в цілих числах

1990x - 173y = 11.

Розв’язання:

1)Числа, що беруть участь у рівнянні, такі великі, що підбором тут конкретного розв’язку не знайти. Проте нам допоможе те, що числа 1990 і 173 взаємно прості (перевірте це). Це означає, що дане рівняння має розв’язки в цілих числах.

2)Отже,  НСД(1990;173) = 1, а це значить, що одиницю  можна подати  у вигляді суми 1990m -173n = 1, де m і n – деякі цілі числа.

Продемонструємо використання алгоритму Евкліда.  Більше число 1990 поділимо на 173 стовпчиком, отримаємо неповну частку 11 і остачу 87. Згідно цього маємо рівність

1990 = 173 ∙11 + 87 ( або 87 = 1990 -173∙11).                      (3)

Тепер число 173 поділимо на 87 стовпчиком, отримаємо неповну частку 1, а остачу 86. Згідно цього маємо рівність

173 = 87∙1 + 86 ( або 86 = 173 - 87∙1).                      (2)

Далі, число 87 поділимо на 86 стовпчиком, отримаємо неповну частку 1 а остачу 1. Згідно цього маємо рівність

87 = 86∙1 +1 ( або 1 = 87 - 86∙1).                       (1)

Враховуючи рівності (1), (2), (3), які записані в дужках число 1 можна записати отак:

1= 87 – 86 = 87 – (173 - 87∙1) = 87∙2 - 173∙1 = (1990 - 173∙11)∙2 - 173∙1 = 1990∙2 - 173∙22 - 173∙1 = 1990∙2 - 173∙23 = 1.

Отже, якщо не вдається легко підібрати конкретний розв’язок, як в даному випадку, то, використовуючи алгоритм Евкліда, можна завжди  отримати  потрібну пару:

m = 2,

n = 23.

Отже, за допомогою такої могутньої зброї, як алгоритм Евкліда, ми отримуємо конкретне вирішення допоміжного рівняння

1990m - 173n = 1:

пару (2, 23).

3) Якщо помножити числа на 11, то отримаємо  

x₀ = 22,

y₀ = 253 –

це цілочисельний  розв’язок рівняння

1990x - 173y = 11.

Далі отримуємо, згідно формул множину цілих розв’язків:

x = 22+173k;  

y = 253 +1990k,

 k - будь-яке ціле число.

Відповідь:  (22+173k; 253+1990k), де k - будь-яке ціле число.

Отже, діофантовими називають алгебраїчні рівняння з раціональними коефіцієнтами з вимогою визначити розв’язки у цілих або раціональних числах. Як правило, діофантові рівняння містять більше однієї невідомої величини, у зв’язку з чим їх ще називають невизначеними рівняннями.

Ми ознайомилися з класом діофантових рівнянь, які є лінійні, тобто це рівняння, які можна звести до вигляду

ax + bx = c, де a, b, c - цілі числа.

Зрозуміло, що коли с не ділиться на спільний дільник чисел а та b, то таке рівняння не має розв’язків у цілих числах. Якщо ж а та b взаємно прості, то існує нескінченна множина розв’язків:

x = x_o + bn,

y = y_o - an,

де (x_o; y_o) – який-небудь один (частковий) із розв’язків, n Î Z. Справді, якщо (x_o; y_o) – розв’язок, ax+ by= с. Віднімаючи цю рівність від заданого рівняння, дістанемо

а(х - x_o) + b(у – y_o) = 0,

звідки                

х = x+ b(y_o-у):a.

Для того, щоб х було цілим, необхідно, щоб другий з доданків останній рівності був цілим числом. Оскільки а та b – взаємно прості, то (y_o-у) має ділитися на а. Отже,

y_o - у = -аn, n Î Z.

Звідси і знаходимо всі цілочислові розв’язки (х; у) за вказаними вище формулами.

Задача. Розв’язати у цілих числах рівняння  19х + 97у = 1997.

Розв’язання. Виразимо х через у:  х = (1997 - 97y):19.

Надаватимемо змінній у послідовних значень 0, 1 ,… , 18, перебираючи всі можливі остачі від ділення 1997 - 97у  на 19. Оскільки 19 та 97 – взаємно прості, то  1997 - 97у

ділитиметься на 19 лише для одного такого у. Легко пересвідчитись, що таким значенням є y _o = 1. Тоді х _o = 100 . Отже, всі розв’язки данного рівняння у цілих числах задаються рівностями

х = 100 + 97n     та       у=1-19 n,          n Î Z.

Зауважимо, що, виражаючи х через у при розв’язуванні останнього рівняння, ми могли б записати його також у вигляді  х = 105 - 5у +  (2 - 2y):19.

Зрозуміло, що тоді перевіряти подільність чисельника одержуваного дробу на 19 було б значно простіше.

Задача. Газету розрізали на 7 шматків. Потім вибрали деякі шматки газети і їх теж розрізали на 7 шматків. І продовжили так розрізати ще  кілька разів.  Чи можна в результатів таких розрізань отримати 2017 шматків газети?

Розв'язання. Внаслідок розрізання одного шматка газети на сім частин, загальна кількість шматків газети збільшиться на 6. Це є інваріантна величина. Наприклад, внаслідок розрізання цілої газети отримали 1+ 6 шматків.  Отже, якщо ми виконаємо  n розрізань шматків газети, то в результаті отримаємо 1+6∙n шматків газети. Залишилося розв’язати в  цілих числах рівняння 1+6∙n = 2017.  Отже після 336 розрізань отримаємо  2017.

Відповідь. Можна.

Завдання  для самостійного опрацювання:

1. Знайдіть цілі розв’язки рівняння: 

1) 21x + 48y = 6;     2) 2x + 8y = 6;     3) 17x + 51y = 68;  4) 6х - 2у = 1.

2. Запишіть розв’язки рівнянь в цілих числах:

1)  х+ 3у = 5;         2) 2х - 5у = 4;     3) 7х + 2у = 13      4) - 6х - 5у = 1.

3. Розв’язати в цілих числах невизначені рівняння:

1)   12х + 5у = 17;  2) 5х + 7у = 11; 3) 21х + 19у = 73;   4) 15х - 7у = 19.

4. Розкласти число 200 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге – на 13.

5. Розкласти число 800 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 17, а друге – на 23.

Лінійні діофантові рівняння з трьома невідомими.

Розглядають також лінійні діофантові рівняння з більшою кількістю невідомих. Якщо серед чисел а, b, c є принаймні два взаємно прості, то діофантове рівняння

ах + by + cz = d

просто зводиться до рівняння з двома невідомими. Справді, припустивши, що взаємно простими є числа а та b, дістанемо

ах + by = d - cz.

Тоді для кожного цілого z матимемо нескінченне число розв’язків (х;у). При цьому елементи  x та y часткового розв’язку (x; y) виявляється деякими функціями змінної z.

Якщо серед чисел а, b, c немає жодної пари взаємно простих, але найбільший спільний дільник усіх трьох цих чисел дорівнює 1, то для розв’язування рівняння

ах + by + cz = d

поступають так. Нехай  р – найбільший спільний дільник чисел а та b. Тоді

а = ра,

b = pb,

і задане рівняння набирає вигляду

ах + by = .

Для того, щоб це рівняння мало розв’язки в цілих числах, необхідно, щоб дріб у його правій частині був цілим числом. Позначаючи

d-cz = pn,

матимемо:

a₁x + b₁y = n₁,

cz + pn = d.

Оскільки a₁ та b₁ – взаємно прості, то

х = х₀ + b₁у = n,

cz + pn = d, kÎZ,

причому х₀ та у₀ лінійно залежать від n. Оскільки с та р – теж взаємно прості, то рівняння

cz + pn = d

має розв’язки вигляду

z = z₀ + pm,

n = n₀ – cm, mÎZ.

Підставляючи значення n у формулі для х та у, одержимо разом з формулою для z шукані розв’язки (х; у; z).

Задача 10.2. (9-11) Розв’язати в цілих числах рівняння

12х + 15у + 20z = 181.

Розв’язання. Жодні 2 з чисел 12, 15, 20 не є взаємно простими, але найбільший спільний дільник усіх трьох чисел дорівнює  1. Отже, це рівняння має нескінчену кількість розв’язків у цілих числах. Запишемо його у вигляді

4x ­­+ 5y = (181 - 20z)/3.

Тоді

181 – 20z = 3n.

Звідси маємо

20z + 3n = 181.

Оскільки значення

z₀ =8 та n₀=7

задовольняють останнє рівняння, то

z = 8+3m,

n = 7-10m, mÎz.

Отже , для визначення x,y дістаємо рівняння

4х + 5у = 7 - 20m.

Одним із його з його розв’язків є

х₀ = 3 – 5m, у₀ = -1.

Тому остаточно маємо:

х = 3 - 5m + 5k,

y = -1 - 4 k,

z = 8 + 3m,

де kÎZ, mÎZ.

Нелінійні діофантові рівняння

Нелінійні діофантові рівняння – це рівняння з декількома невідомими, степінь яких рівна цілому числу, яке не дорівнює одиниці, а коефіцієнти при невідомих – ненульові раціональні числа. 

Наводимо декілька   способів міркування при розв’язання нелінійних діофантових рівнянь.

1)Якщо ліва частина рівняння розкладається на множники, які набувають цілих значень для цілих значень змінних, а права частина рівняння – ціле число, то дане рівняння можна замінити рівносиль­ною йому сукупністю систем рівнянь.

Наприклад, рівняння

х² - у² = 13,  де 1∙13=(-13)∙(-1)=(х – у) (х + у)

  рівносильно сукупності 4-ьох систем в цілих числах.

2) Розв'язки рівняння можна знайти, якщо ви­разити одну змінну через іншу і дослідити, для яких значень другої змінної перша змінна набуває цілих значень.

3) Рівняння не має розв'язків у цілих числах, якщо для довільних цілих значень змінної в лівій і правій частинах рівняння одержуються цілі числа, для яких виконується хоча б одна з таких умов:

4)Ліва і права частини під час ділення на деяке ціле число дають різні остачі. Наприклад, у рівнянні n³-n = 3m²+1

для довільних цілих чисел ліва частина рівняння, тобто вираз

n(n - 1)(n + 1),

ділиться на 3, а права частина під час ділення на 3 дає в остачі 1.

5)Остання цифра числа в лівій частині інша, ніж остання цифра числа в правій частині. Наприк­лад, у рівнянні

х²+х -1 = 3^2у+1

 для довільних натуральних х та у числа, які одер­жуються в лівій частині, закінчуються цифрами 1, 5 і 9, а числа, які одержуються в правій частині, закінчуються цифрами 3 і 7.

6) Одна з частин рівняння є точним квадратом (кубом), але друга частина такою не є. Наприклад, у рівнянні

4^m = 3∙k + 2

ліва частина для довільного натурального m є точним квадратом, тоді як права частина ні для якого нату­рального k не може бути точним квадратом (точний квадрат під час ділення на 3 дає в остачі або 0, або 1).

Рівняння Піфагора

Цікавим прикладом діофантового рівняння є рівняння Піфагора

х² + у² = z²,

розв’язки (x; y; z) якого є цілочисловими довжинами відповідно катетів та гіпотенузи у прямокутних трикутниках. Взаємно прості розв’язки цього рівняння знаходять за формулами:

x = m² - n²,

y = 2mn,

z =  m² + n² ,

де m, n – взаємно прості натуральні числа і m>n. Помноживши кожен із цих розв’язків на натуральні числа k, можна дістати всі розв’язки заданого рівняння.

Таблиця  сторін піфагорових  прямокутних  трикутників                  

m/n	2	4	6	8	10	12
1	3, 4, 5	15, 8,17	35,12,37	63,16,65	99,20,101	143,24,145
3	5,12,13.	7, 24. 25	-------------	55. 48 .73	91. 60, 109	--------------
5	21. 20. 29	9. 40. 41	11, 60, 61	38, 80, 89	-------------	169,120,119
7	45. 28. 53	33. 56. 65	13. 84. 85	15. 112. 113	51. 140. 149	95. 169. 193
9	77. 36. 85	65. 72. 97	------------	17. 144. 145	19. 180. 181	-------------
11	44.117.125	88.105.137	85.132.157	57.176.185	21.220.221	23.264.265
13	52.165.173	104.153.135	133.156.175	105.208.233	69.260.269	25.312.313
15	60.221.229	120.209.241	-----------	161.240.289	-------------	--------------
17	68.285.293	136.273.305	204.253.325	225.273.353	189.340.380	145.408.433
19	76.357.365	152.345.377	228.325.397	297.304.425	261.380.461	217.456.505
21	84.437.445	168.425.457	------------	366.377.505	341.420.541	--------------
23	92.525.533	184.513.540	276.493.565	368.468.593	429.460.629	385.552.673
25	100.621.629	200.609.641	589.300.661	400.561.689	-------------	481.600.769

Приклад. Знайти всі прямокутні трикутники з цілочисловими довжинами сторін, одна з яких дорівнює 1997.

Розв’язання. Сторони таких трикутників задовольняють співвідношенню

a² + b² = c².

Оскільки 1997 – просте число , то числа

a, b, c

 мають бути попарно взаємно простими. Зрозуміло, що

2mn≠1997.

Якщо ж

m²-n² = 1997,

то

(m+n)(m-n) = 1997,

звідки

m + n = 1997,

m – n = 1.

Отже

m = 999, n = 998.

Якщо

m² + n² = 1997,

то повним перебором по

m Î[1;p], де р = 44 – ціла частина числа ,

знаходимо, що дану рівність при умові m>n задовольняють лише числа

m = 34,

n = 29.

Отже, сторони шуканих трикутників є такими:

 1997,

2·999·998 = 1994004,

999²+998² = 1994005

та

34²-29² = 315,

2·34·29 = 1972,

1997.

     Звичайно, розв’язування діофантового  рівняння значно спрощується, якщо його вдається  звести до знаходження взаємно простих розв’язків.

Наприклад, рівняння

m + n = kmn

при кожному фіксованому цілому k разом з парою (m;n) задовольняє також пара (mр;np), де р довільне ціле число, і навпаки, якщо розв’язки m та n мають спільний дільник р, то після ділення обох цих чисел на р одержимо нову пару чисел, які теж є розв’язками даного рівняння. Якщо ж m та  n – взаємно прості, то з рівняння випливає, що m має ділитися на n, а n на m. Зокрема, при натуральних m та n це можливо лише при m = n = 1. Звідси одержуємо, що задане рівняння має розв’язки в натуральних числах лише при k = 2. При цьому m = n, де n-довільне натуральне число.