понеділок, 9 березня 2015 р.

Трикутник. Нерівність Ердеша-Морделла. Чевіани трикутника.

Нерівність Ердеша-Морделла — наступна нерівність:
Якщо \ P  точка всередині трикутника \ ABC , а \ X, Y, Z  основи перпендикулярів опущених з точки \ P  на сторони \ BC, AC, AB відповідно, то
AP+BP+CP\ge 2(PX+PY+PZ)

Про нерівність

Нерівність вперше була сформульована Палом Ердешем у журналі American Mathematical Monthly у 1935 році і у цьому ж році була доведена Морделлом. Найвідоміші доведення - це доведення Андже Авеза через теорему птолемея, Леона Банко через подібністьтрикутників і обрахунок кутів, Вілмоса Коморніка через площі, а також Луіса Морделла із використанням тригонометрії.

Доведення

Для початку доведемо нерівність  AP\ge\dfrac{AB}{BC}PY+\dfrac{AC}{BC}PZ  (єдина різниця між доведеннями перечисленими вище є, як вони доводять цю нерівність). Наведемо класичне доведення цієї нерівності.
Застосувавши теорему синусів, до нерівності  AP\ge\dfrac{AB}{BC}PY+\dfrac{AC}{BC}PZ  отримаємо,
AP\sin{\alpha}\ge PY\sin{\gamma}+PZ\sin{\beta}
остання нерівність негайно слідує, з того, що величина проекції відрізку \ YZ  на пряму \ BC  не перевищуватиме величину самого відрізка.
Аналогічно можна довести, що  BP\ge\dfrac{AB}{AC}PX+\dfrac{BC}{AC}PZ  та  CP\ge \dfrac{AC}{AB}PX+\dfrac{BC}{AB}PY , додавши три нерівності і застосувавши між нерівність Коші, для двох елементів отримаємо
\begin{align} AP+BP+CP &\ge 2\left(PX\left(\dfrac{AB}{AC}+\dfrac{AC}{AB}\right)+PY\left(\dfrac{AB}{BC}+\dfrac{BC}{AB}\right)+PZ\left(\dfrac{BC}{AC}+\dfrac{AC}{BC}\right)\right)\\ &\ge 2(AB+BC+AC).\\ \end{align}

Схожі нерівності

Часто на математичних олімпіадах пропонують нерівності, які схожі на нерівність Ердеша Морделла тобто теж пов'язують величини \ PX, PY, PZ, AP, BP, CP.
Зокрема нерівність, що була доведена Луісом Морделлом у 1962:
AP\cdot BP\cdot CP\ge(PX+PY)(PY+PZ)(PX+PY)
Такі нерівності часто доводять використовуючи, що
AP\ge\dfrac{AB}{BC}PY+\dfrac{AC}{BC}PZ  і AP\ge\dfrac{BC}{AB}PY+\dfrac{BC}{AC}PZ.

Класичні нерівності в трикутнику

Перша нерівність була доведена нами раніше, доведемо другу.
Нехай \ H_A, H_B, H_C  основи перпендикулярів опущених, з вершин \ A, B, C  на сторони \ BC, AC, AB . \ S  — площа трикутника.
Зауважимо, що  AP+PX\ge AH_A  і  \dfrac{1}{2}AH_A\cdot BC=S=\dfrac{1}{2}PX\cdot BC+\dfrac{1}{2}PY\cdot AC+\dfrac{1}{2}PZ\cdot AB виразивши з останього \ AH_A і поклавши його в перше отримаємо
AP\ge\dfrac{BC}{AB}PY+\dfrac{BC}{AC}PZ.

Чевіа́на — будь-який відрізок, що сполучає вершину трикутника та одну з точок на протилежній їй стороні. Частковими випадками ємедіана, симедіана, бісектриса та висота. Назва походить від імені італійського інженера Джованні Чеви, який 1678 року сформулював і довів відому теорему Чеви, що також названа його іменем.

Довжина

Довжина чевіани визначається з теореми Стюарта. Довжина відрізка d з малюнку визначається як:
\,b^2m + c^2n = a(d^2 + mn).
Якщо чевіана є медіаною, маємо
\,m(b^2 + c^2) = a(d^2 + m^2)
або
\,2(b^2 + c^2) = 4d^2 + a^2
оскільки
\,a = 2m.
Якщо чевіана є бісектрисою, то формула перетворюється на
\,(b + c)^2 = a^2 \left( \frac{d^2}{mn} + 1 \right).
Якщо чевіана є висотою:
\,d^2 = b^2 - n^2 = c^2 - m^2.


Теорема Чеви — відома теорема класичної геометрії. Нехай дано трикутник ABC, і точки D, E, і F, що лежать на прямих BC, CA, і AB відповідно. Теорема стверджує, що лінії AD, BE і CF конкурентнітоді і тільки тоді якщо:


\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.
Є також аналогічне тригонометричне формулювання Теореми Чеви, а саме AD, BE, CFконкурентні тоді і тільки тоді:
\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}\times\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF}\times\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE}=1.
Теорему довів в 1678 році Джованні Чева в праці De lineis rectis, але її також довів набагато раніше Юсуф Аль-Мутаман ібн Худ, король Сарагоси в XI столітті.
Медіа́на — в геометрії, відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

  • Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами, а три проведені медіани — на шість рівновеликих.
  • Медіани трикутника перетинаються в точці, яка є його центром мас.
  • Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить трикутник на два рівнобедрені трикутники, та дорівнює половині гіпотенузи.
  • В точці перетину медіани трикутника діляться в відношенні 2:1.
  • При перетворенні медіана переходить в медіану.
  • Якщо дві медіани трикутника перпендикулярні, то сума квадратів сторін, на які вони опущені, у п'ять разів більша за квадрат третьої сторони.

Математичні залежності

Довжина медіани m визначається з рівняння:
m_a = \sqrt{\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4}},
де a — сторона трикутника, на середину якої опущена медіана; b, c — інші сторони трикутника.
Сума квадратів медіан довільного трикутника становить 3/4 від суми квадратів його сторін:
m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac34 (a^2 + b^2 + c^2).
Довжина сторони трикутника через медіани визначається наступним чином:
a=\frac{2}{3}\sqrt {2 (m_b^2 + m_c^2) - m_a^2},
де m_a, m_b, m_c медіани до відповідних сторін трикутника, a, b, c — сторони трикутника.



Бісектри́са (лат. bis — двічі і лат. secare — розсікати, розтинати) — термін, що вживається вгеометрії для позначення кількох споріднених понять[1]:
  • Бісектриса кута — промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл. Кожна точка бісектриси однаково віддалена від сторін кута.
  • Бісектриса трикутника — відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до перетину з протилежною стороною.

Властивості


Побудова бісектриси
  • Теорема про бісектрису: Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін
  • Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.
  • Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка — центр одного з трьох зовнівписаних кіл цього трикутника.
  • Основи бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не є паралельною протилежній стороні трикутника.
  • Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх основи лежать на одній прямій.
  • Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений (теорема Штейнера — Лемуса).
  • Побудова трикутника за трьома заданим бісектрисами за допомогою циркуля та лінійки неможлива,[2] причому навіть за наявностітрисектора.[3]
  • В рівносторонньому трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
  • Відстані від сторін кута до будь-якої точки бісектриси однакові.
  • Кожна бісектриса трикутника ділиться точкою перетину бісектрис у відношенні суми довжин прилеглих сторін до довжини протилежної, рахуючи від вершини.

Формули за участю довжини бісектриси

l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}
l_c = \sqrt{ab-a_lb_l}
l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
l_c = \frac {h_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}}
Де:
  • l_c — бісектриса, проведена до сторони с
  • a, b, c — сторони трикутника проти вершин A, B,C відповідно
  • a_l, b_l — довжини відрізків, на які бісектриса l_c ділить сторону с
  • \alpha, \beta, \gamma — внутрішні кути трикутника, що лежать навпроти сторін а, b,c відповідно
  • h_c — висота трикутника, опущена на сторону c.
Теорема про бісектрису встановлює зв’язок між довжиною сторони протилежної до одного з кутів трикутника та довжинами двох інших сторін.
Нехай дано трикутник ABC, а бісектриса кута A перетинає сторону BC в точці D. Теорема про бісектрису стверджує, що відношення довжин відрізків BD та DC дорівнює відношенню довжин сторін AB та AC.
{\frac {BD} {DC}}={\frac {AB}{AC}}
В загальному випадку, якщо пряма AD ділить кут A довільним чином тоді:
{\frac {BD} {DC}}={\frac {AB \sin \angle DAB}{AC \sin \angle DAC}}
Бісектриса трикутника. Виконується співвідношення BD: DC = AB: AC




Висота́ трику́тника — відрізок, проведений з вершини кута до протилежної сторони або до продовження протилежної сторони і лежить на прямій, перпендикулярній до цієї сторони. Ця сторона називається основою трикутника. Точка перетину сторони і перпендикуляра називається основою перпендикуляра. Довжина висоти — це відстань від вершини до основи трикутника.
Висоту використовують для обчислення площі трикутника: половина добутку довжини висоти на довжину основи дорівнює площі трикутника.
S=\frac{1}{2}bh,
де h — висота трикутника, опущена на сторону.
В рівнобедреному трикутнику (трикутник в якому дві сторони конгруентні) висота проведена до неконгруентної сторони ділить цю сторону на дві рівні частини. В прямокутному трикутнику висота опущена на гіпотенузу ділить її на два відрізки, нехай це буде p і q. Якщо ми позначимо довжину висоти літерою h то отримаємо співвідношення:
h^2 = pq.
Три висоти перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника. Ортоцентр лежить всередині трикутника (і відповідно всі основи перпендикулярів лежать в трикутнику) тоді і тільки тоді, якщо трикутник не тупокутний (в ньому жоден з внутрішніх кутів не більший за прямий кут). Дивіться також ортоцентрична система.


Опубліковано о

Немає коментарів:

Дописати коментар

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)