понеділок, 9 березня 2015 р.

Нерівності математичних олімпіад. Каталог класичних нерівностей:

Осмислення способів доведення нерівностей.

На практиці математики використовують для доведення різні способи:

за визначенням(віднімання більшого від меншого);
способом додавання лівих та правих частин класичних нерівностей;
способом від супротивного;
методом математичної індукції;
штучні способи;
синтез декількох способів доведення.

Означення

Для довільних дійсних чисел виконується нерівність

a^2+b^2+c^2 \ge ab + ac + bc

Доведення

перенесемо всі члени в ліву частину і помножино на 2:

2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc \ge 0

виділимо повні квадрати:

(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 \ge 0

Очевидно що рівність досягається тоді і тільки тоді, коли всі три числа рівні.

Завдання для самостійного опрацювання

1.Довести нерівність

x³(1+y)^-1(1+z)^-1 + y³(1+x)^-1(1+z)^-1 + z³(1+y)^-1(1+x)^-1 >=0,75,

якщо додатні усі дійсні змінні та xyz=1

2.Довести нерівність

a²(a+2b³)^-1+ b²(b+2c³)^-1+ c²(a+2a³)^-1>=1,

якщо додатні усі дійсні змінні та a + b + c = 3.

3.Довести нерівність

(1+a) (1+ b²)^-1 +(1+b) (1+ c²)^-1+(1+c) (1+ a²)^-1>=3,

якщо додатні усі дійсні змінні та a + b + c = 3.

4.Довести нерівність

(z+y+x)^0,5>=(x-1)^0,5+ (y-1)^0,5+ (z-1)^0,5

якщо усі дійсні змінні не менше 1 та x ^-1 + y ^-1 + z^-¹ = 2.

5.Довести нерівність

a³(a³+b³+abc)^-1+ b³(a³+c³+abc)^-1+ c³(a³+c³+abc)^-1>=1,

якщо додатні усі дійсні змінні.

6.Довести нерівність

(a²+1) (b²+1) (c²+1) >=8,

якщо додатні усі дійсні змінні та ab+ cb + ac = 3.

Каталог класичних нерівностей:

1. Сума двох взаємно обернених додатних чисел не менше двох, тобто якщо для чисел a∙b=1, тоді

^a/_b+^b/_a>=2

Сума двох взаємно обернених недодатних чисел не менше двох, тобто якщо для чисел a∙b= -1, тоді

^a/_b+^b/_a=<-2

2. Для невід’ємних n:

¹/_n+ n>=2

3. Якщо для невід’ємних чисел a∙b=1, тоді

(a+b)>=2.

4. Якщо для невід’ємних m чисел a∙b∙c∙d∙e∙…∙f=1, тоді

(a+b+c+d+e+…+f)> =m.

5. Для довільного а вірно:

а²>=0.

6. Для довільної послідовності чисел а_і вірно:

а₁²+ а₂² +а₃²+ …+а_n²>=0

7. Для додатного числа а>0 та від’ємного дискримінанта: b²-4aс<0 завжди виконується квадратна нерівність:

ax²+bx+c>0.

8. Для від’ємного числа а<0 та від’ємного дискримінанта: b²-4aс<0 завжди виконується квадратна нерівність:

ax²+bx+c<0.

Яку нерівність можна використати для доведення нерівності Несбіта:

д?ля додатних (a, b, c).

Із нерівностей Коші-Буняковського і трьох квадратів отримуємо:

\dfrac{a^2}{a(b+c)}+\dfrac{b^2}{b(a+c)}+\dfrac{c^2}{c(a+b)}\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}\ge\dfrac{3}{2},

з чого негайно слідує нерівність Несбіта.

1. Довести, що для будь-яких чисел

a²+b²+c^2>=ab+bc+ac.

Вказівка. Додати окремо ліві та праві частини нерівностей:

a²+b^{2 >=}2ab, с²+b^{2 >=}2сb, a²+с^{2 >=}2aс. Рівність досягається, якщо a=b=c.

2.Довести, що для будь-яких чисел a, b, c, які мають однакові знаки:

. ^a/_b+^b/_c+^c/_a>=3

3.Для додатних a, b дріб ^c⁺^d/_a₊_bлежить між дробами ^c/_a та ^b/_dДовести.

4.Довести, що невід’ємних трьох дійсних чисел виконується нерівність:

. ^ab/_c+^ac/_b+^cb/_a>=3

Визначення

Якщо

p

— дійсне число не рівне нулю, можна визначити середнє степеня $p$ для будь-яких додатніх чисел

x_1,\dots,x_n \!

як:

M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}.

Через граничний перехід довизначаються такі величини:

M_0(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{p\to 0} M_p(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}

M_{-\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{p\to -\infty} M_p(x_1, \ldots, x_n) = \min\{ x_1, \ldots, x_n \}

M_{+\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{p\to +\infty} M_p(x_1, \ldots, x_n) = \max\{ x_1, \ldots, x_n \}

Часткові випадки

Геометричний зміст середніх значень для двох чисел.

M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}

— середнє гармонійне (HM),

M_0(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}

— середнє геометричне (GM),

M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}

— середнє арифметичне (AM),

M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}

— середнє квадратичне (RMS).

Нерівності[ред. • ред. код]

Якщо $p < q \!$ , тоді $M_p(x_1,\dots,x_n) \le M_q(x_1,\dots,x_n)$ , і рівність наступає тільки при $x_1=x_2=\dots=x_n \!$ .

Це слідує з того, що

\forall p \in \mathbb{R}: \frac{\partial M_p(x_1,\dots,x_n)}{\partial p}\geq 0

, що може бути доведено за допомогою нерівності Йєнсена.

Частковим випадком попередньої нерівності є:

\min\{ x_1, \ldots, x_n \} \le \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \le \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} \le \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \le \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}} \le \max\{ x_1, \ldots, x_n \}.

Квазі-арифметичне середнє (середнє за Колмогоровим) для дійсних чисел

x_1, \ldots, x_n \!

визначається як

M_f(x_1,\ldots,x_n) = f^{-1} \left( \frac{f(x_1)+ \ldots +f(x_n)}{n} \right)

де

f \!

— неперервна строго монотонна функція, а

f^{-1} \!

— обернена функція до

f \!

.

Часткові випадки

При $f(x)=x\!$ — отримуємо середнє арифметичне,
При $f(x) = \log x \!$ — отримуємо середнє геометричне,
При $f(x) = x^{-1}\!$ — отримуємо середнє гармонійне,
При $f(x) = x^2 \!$ — отримуємо середнє квадратичне,
При $f(x) = x^\alpha, \ \alpha \ne 0$ — отримуємо середнє степеневе.

У 1930 році А. М. Колмогоров довів, що будь-яка середня величина має вигляд функції

M(x_1\ldots,x_n)

, якщо володіє властивостями:

неперервна та монотонна по кожному $\ x_i, i=1,\ldots,n,$
симетрична (значення не змінюється при перестановці аргументів)
деяку групу значень можна замінити їх власним середнім, не міняючи спільного середнього.

Середні Колмогорова використовують в прикладній статистиці і економетриці.

Середнє зважене, точніше середнє арифметичне зважене для дійсних чисел

x_1, \ldots, x_n \!

з ваговими коєфіцієнтами

w_1, \ldots, w_n \!

визначається як

\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}.

Коли всі вагові коефіцієнти рівні між собою

w_1=w_2=\dots=w_n \!

, середнє арифметичне зважене буде дорівнювати середньому арифметичному.

Існують також зважені версії середнього геометричного, середнього гармонійного, середнього степеневого, а також їх узагальнення —середнього за Колмогоровим.

Нерівність Чебишова для сум чисел

Нерівність Чебишова для сум чисел, названа на честь Пафнутія Львовича Чебишова, стверджує, що якщо

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n

і

b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n,

то

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).

Аналогічно, якщо

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n

і

b_1 \leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n,

то

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).

Доведення[ред. • ред. код]

Нерівність Чебишова легко вводиться з нерівності перестановок:

Припустимо, що

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n \,

і

b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n. \,

Зважаючи на нерівність перестановок вираз

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,

є максимально можливим значенням скалярного добутку даних послідовностей. Додаючи нерівності

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \,

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \,

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \,

\vdots \,

a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1} \,

одержуємо

n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geqslant (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);

або, розділивши на

n^2

:

\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geqslant \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.

Завдання для самостійного опрацювання

Нехай а, b, с – додатні дійсні числа. Доведіть, що

.

Немає коментарів:

Дописати коментар

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)