Діофантові рівняння в текстових задачах

Деякі рівняння в цілих числах

Задачі на розв'язування рівнянь у цілих чис­лах традиційно пропонують на математичних олім­піадах для учнів. Під час розв'язування рівнянь у цілих числах часто бувають корисними такі факти.

1) Якщо а, b, с – цілі числа, а та b – взаємно прості, то рівняння

ах + bу = с

має розв'язки в цілих числах.

2) Якщо а, b, с – натуральні числа, а та b – взаємно прості, то рівняння

ах – bу = с  

ах – bу = 0 

ах – bу = 1

 має роз­в'язки в натуральних числах.

3) Якщо ліва частина рівняння розкладається на множники, які набувають цілих значень для цілих значень змінних, а права частина рівняння – ціле число, то дане рівняння можна замінити рівносиль­ною йому сукупністю систем рівнянь. Наприклад, рівняння

х² - у² = 13,  де

1∙13=(-13)∙(-1)=(х – у) (х + у)

  рівносильно сукупності 4-ьох систем в цілих числах.

4) Розв'язки рівняння можна знайти, якщо ви­разити одну змінну через іншу і дослідити, для яких значень другої змінної перша змінна набуває цілих значень.

5) Рівняння не має розв'язків у цілих числах, якщо для довільних цілих значень змінної в лівій і правій частинах рівняння одержуються цілі числа, для яких виконується хоча б одна з таких умов:

1)Ліва і права частини під час ділення на деяке ціле число дають різні остачі. Наприклад, у рівнянні n³-n = 3m²+1

для довільних цілих чисел ліва частина рівняння, тобто вираз

n(n - 1)(n + 1),

ділиться на 3, а права частина під час ділення на 3 дає в остачі 1.

2)Остання цифра числа в лівій частині інша, ніж остання цифра числа в правій частині. Наприк­лад, у рівнянні

х²+х -1 = 3^2у+1

 для довільних натуральних х та у числа, які одер­жуються в лівій частині, закінчуються цифрами 1, 5 і 9, а числа, які одержуються в правій частині, закінчуються цифрами 3 і 7.

3) Одна з частин рівняння є точним квадратом (кубом), але друга частина такою не є. Наприклад, у рівнянні

4^m = 3∙k + 2

ліва частина для довільного натурального m є точним квадратом, тоді як права частина ні для якого нату­рального k не може бути точним квадратом (точний квадрат під час ділення на 3 дає в остачі або 0, або 1).

Задачі  для самостійного осмислення.

1. Знайти найменше натуральне число, яке під час ділення на 9 і 14 дає відповідно остачі 7 і 5.

Відповідь. Найменше шукане натуральне число m = 61.

2. П'ятикласник розставляє іграшкових солдатів по 10 в шеренгу. В
останній шерензі не вистачило трьох солдатів. Він почав ставити в шеренгу по 12
солдатів - 7 залишилося. Потім він склав їх в коробки по 100 штук - третя
коробка виявилася неповною. Скільки всього солдатів в школяра?

3. Чи можна між 30 дітьми розділити порівну 29 цукерок, не розрізаючи їх
більш ніж на 6 частин?

4. Кілька років тому були в ходу монети по 3 і 5 коп. Скількома способами
можна набрати ними суму в 10 рублів(100 коп = 1 рубль)?

5.  Якщо кожен хлопчик купить пиріжок, а кожна дівчинка – булочку, то вони витратять разом на одну копійку менше, ніж якби кожен хлопчик купив булочку, а кожна дівчинка – пиріжок. Відомо, що хлопчиків більше, ніж дівчаток. На скільки?

6. 175 Шалтаїв стоять дорожче, ніж 125, але дешевше, ніж 126 Болтаїв. Доведіть, що на трьох Шалтаїв і одного Болтаєвого рубля не вистачить.

7. У класі кожен хлопчик дружить з трьома дівчатками, а кожна дівчинка – з двома хлопчиками. При цьому в класі всього 19 парт і 31 піонер. Скільки в класі учнів?

8. Дві команди розіграли першість школи в десяти видах, причому за перемогу команда отримувала 4 очки, за нічию – 2 і за програш – 1 очко. Разом обидві команди набрали 46 очок. Скільки було нічиїх?

9. Четверо товаришів купили разом човен. Перший вніс половину суми, внесеної останніми; другий – третина суми, внесеної останніми; третій – чверть суми, внесеної останніми, а четвертий вніс 130 рублів. Скільки коштує човен і скільки вніс кожен?

10.  На дорозі, що сполучає два аули, немає горизонтальних ділянок. Автобус йде в гору завжди із швидкістю 15 км/ч, а під гору – 30 км/ч. Знайдіть відстань між аулами, якщо відомо, що шлях туди і назад автобус проїжджає за 4 години.

11. Чи існують такі натуральні а і b, що ab(а -b) = 45045?

При розв'язуванні багатьох задач практичного характеру часто доводиться розв'я­зувати рівняння з двома змінними, розв'язком яких можуть бути лише цілі числа. Такими рівняннями і задачами цікавилися ще в стародавні часи. Багато уваги приді­лив їм Діофант із Александрії. На його честь ці рівняння називають діофантовими.

Прикладом такого рівняння є лінійне рівняння

ах + bу = с,

 де а, b, с ‒ цілі числа, відмінні від 0.

Доведемо, що якщо число c не ділиться на найбільший спільний дільник чисел а і b, то рівняння ах + bу = с не має розв'язків серед множини цілих чисел.

Нехай НСД (а; b) = n і число с не ділиться на n. Якщо рівняння має цілі розв'язки х = х₀ і у = у₀, то справедлива рівність ах₀ + bу₀ = с, в якій ліва частина ділиться на n, а права ‒ ні. Ми прийшли до протиріччя. Отже, рівняння не має розв'язків серед множини цілих чисел.

Задача 1. Чи можна виплатити 100 гривень сорока купюрами вартістю 1, 10 і 100 гривень?

Розв'язання. Якщо 100 гривень можна виплатити, задовольнивши умову задачі, то справедливі рівності:

х + 10y + 100z = 1000      і      х + у + z = 40.

З другого рівняння отримаємо х = 40 - у - z і підставимо в перше рівняння:
40 - у - z + 10у + 100z = 1000,   9у + 99z  = 960.

Оскільки НСД (9; 99) = 9, а 960 не ділиться на 9, то рівняння

х + 10у + 100z = = 1000

не має розв'язку серед цілих чисел. Отже, виплатити 1000 гривень, задоволь­нивши умову задачі, не можна.

Задача 2. Довести, що будь-яку суму, виражену цілим числом гривень, більшим за 7, можна заплатити без здачі, маючи лише купюри вартістю 3 і 5 гривень.

Задача 3. Довести, що будь-яку покупку вартістю в ціле число гривень можна заплатити одними тригривенними купюрами, якщо в касира будуть лише п'ятигривенні купюри.

Задача 4. На складі є цвяхи в ящиках по 16, 17 і 40 кг. Чи можна взяти 140 кг цвяхів, не відкриваючи ні одного ящика?

Задача 5. Привезли 420 т вугілля у вагонах по 16, 20 і 25 т. Скільки яких вагонів було використано, якщо відомо, що всього було 27 вагонів?

Практична частина заняття.

Задачі, пов'язані з цілими числами.

Розв'язування багатьох задач приводить до системи рівнянь, що містять більше невідомих, ніж кількість рівнянь. У таких випадках потрібно врахувати додаткові умови чи властивості. Наприклад, іноді заздалегідь відомо, що шуканий розв'язок повинен бути цілим або невід'ємним цілим одноцифровим числом.

При розв'язуванні задач, пов'язаних із цілими числами, зручно використовувати такі позначення: — двоцифрове число, в якому a  цифра десятків і b цифра одиниць. Аналогічно

abc = 100а + 10b + с;

abcd= 1000а + 100b + 10с + d.

Задача 1. Вік людини в 1973 році дорівнює сумі цифр її року народження. Скільки їй років?

Розв'язання. Нехай людина народилася в 19хy році. Її вік буде 1 + 9 + х + у. Тоді 1900 + 10х + у + 10 + х + у = 1973, або 11х + 2у = 63. Звідси

х=(63-2у)/11

Оскільки 63 - 2у повинно бути кратним 11, то 63 – 2у може дорівнювати: 55, 44, 33, 22, 11. Враховуючи, що х, у <9; х,у є N, отримаємо х =(63-2*4)/11=5.

Отже, х = 5, у = 4. Людина народилася в 1954 році і їй було 19 років.

Задача 2. Вік студента в 1977 році дорівнює сумі цифр року його народження. Скільки років студенту?

Відповідь: 17 років.

Задача 2а. Моєму брату у 1998 році було стільки років, скільки дорівнювала сума цифр його року народження. В якому році народився мій брат?

Відповідь: 1980 рік народження.

Задача 3. Від двоцифрового числа відняли суму його цифр і отримали число, записане тими самими цифрами, але в оберненому порядку. Яке це число?

Задача 4. Знайти двоцифрове число, перша цифра якого дорівнює різниці між цим числом і числом, записаним тими самими цифрами, але в оберненому порядку.

Задача 5. Знайти двоцифрове число, яке дорівнює сумі числа його десятків і квадрату числа одиниць.

Задача 6. У трицифровому числі закреслили середню цифру. Отримане двоцифро­ве число в 6 разів менше даного трицифрового. Знайти це трицифрове число.

Задача 7. Скількома способами можна скласти відрізок довжиною 1 м із відрізків довжинами 7 і 12 см?

Задача 8. Якщо першу цифру трицифрового числа збільшити на n, а другу і третю цифру зменшити на n, то отримаємо число в n раз більше даного. Знайти n і дане число.

Задача 9. У першому ящику на 6 горіхів менше, ніж у двох інших разом, а в другому — на 10 менше, ніж у першому і третьому разом. Скільки горіхів у третьому ящику?

Задача 10. У трицифровому числі закреслили цифру сотень, отримане двоцифрове число помножили на 7 і отримали дане трицифрове число. Яке це число?

Задача 11. Яке число в 19 разів більше від числа його одиниць?

Задача 12. Про два прості числа відомо, що якщо від першого відняти половину другого, а від другого відняти половину першого, то перша різниця буде в 5 разів більша, ніж друга. Знайти ці числа.

Задача 13. У кінці 1969 року онук виявив, що коли між цифрами його року народження послідовно вставити знаки *, +, *, то в результаті отримається число, яке дорівнює його віку. Коли він це сказав за обідом, то дід зауважив, що він може сказати про себе те саме. На скільки років дід старший за онука?

Задача 14. Два покупці купили відповідно 5 та 31 однакових блокнотів. Перший дав касирові 5 гривень, другий — купюру в 25 гривень. Касир помилково дав здачу першого другому, а другого — першому. Визначити, скільки коштує блокнот і яку суму перший покупець повинен передати другому?

Задача 15. Добуток п'яти послідовних натуральних чисел у 120 разів більший від числа аbаbаb. Знайти ці числа.

Задача 16. Добуток трьох послідовних непарних чисел у 5 разів менший від числа bаbаbа. Знайти ці непарні числа.


Історична довідка.

Значний внесок у розвиток теорії розв'язування рівнянь зроби­ли математики середньовічного Сходу, які писали арабською мовою. Насамперед тут слід назвати узбецького вченого Мухаммеда ібн-Мусу ал-Хорезмі (ЇХ ст.) та таджицького математика й поета Омара Хайяма (1048–1131). Зокрема, саме слово «алгебра» виникло в зв'язку із заголовком книги ал-Хорезмі «Ал-джебр ал-мукабала». У цій книзі ал-Хорезмі обмежується лінійними та квадратними рівняннями. Проте в трактаті Омара Хайяма «Про доведення задач алгебри і ал-мукабали» знаходимо вже строгу класифікацію всіх рівнянь до третього степеня включно. Більше того, згаданий трактат – перший в історії науки твір, де алгеб­ра розглядається як самостійна математична дисципліна, що має загальнотеоретичне значення.

Зауважимо, що згадані вище дослідження вавілонських, єгипетських, грецьких, індуських та середньоазіатських математиків зовсім не торкалися рівнянь, степінь яких перевищував третій.

У цих самих межах залишалися дослідження середньовічних західноєвропейських алгебраїстів та алгебраїстів епохи Відродження. Тут можна назвати імена Італійських математиків Леонардо Пізанського (Фібоначчі) (XIII ст.) та Луки Пачолі (XIV ст.), у яких зустрічаються оригінальні методи розв'язування рівнянь та початки сучасної алгебраїчної символіки.

Лише в XVI ст. були знайдені методи розв'язування рівнянь третього та четвертого степенів; тут слід назвати імена італійців С. Ферро (1465–1526), Н. Тарталья (1500–1557), Дж. Кардано (1501–1526) та Л. Феррарі (1522–1565). Зокрема, у праці Дж. Кардано «Велике мистецтво, або про правила алгебри» (1545) викладено повну теорію розв'язування кубічного рівняння

х³ + ах²+ bх + с = 0

і подано спосіб розв'язування рівняння четвер­того степеня виду

х⁴+ ах² + bх + с=0.

Значний вклад в розвиток науки про рівняння зробив французький математик Ф. Вієта (1540 – 1605), який фактично є твор­цем алгебраїчної символіки.

Важливим відкриттям Ф. Вієта є також залежність між коефі­цієнтами рівнянь і його коренями (формули Вієта).

У XVII та XVIII ст. відбулася інтенсивна розробка загальної теорії рівнянь, у якій взяли участь найвидатніші вчені того часу: Р. Декарт (1596–1650), І. Ньютон (1643-1727), Ж. Дaламбер (1717–1783) та Ж. Лагранж (1736–1813). Було завершено ство­рення майже сучасної алгебраїчної символіки. Центральною на той час стала проблема знаходження формул, які подавали б корені рівнянь п'ятого і вищих степенів через коефіцієнти цих рівнянь за допомогою радикалів (можливо, й дуже «багатоповер­хових»). Доведення неможливості знайти такі формули в 1799 р. дав італійський учений П. Руффіні (1765–1822). Його доведення, проте, було не досить строгим. У 1826 р. норвезький математик Н. Абель (1802–1829), незалежно від Руффіні, строго довів цей факт.

Відповідна теорема (теорема Руффіні – Абеля) стверджує, що рівняння загального виду, степінь якого вищий за четвертий, не­можливо розв'язати в радикалах; проте ця теорема не виключає можливості розв'язання в радикалах окремих класів таких рів­нянь. Широкий клас рівнянь, які допускають розв'язання в ради­калах, вказав Абель.

Залишалося ще розв'язати питання про те, за яких умов дане рівняння окремого виду може бути розв'язане в радикалах.

Це питання було повністю розв'язане завдяки дослідженням французького математика Е. Галуа (1811–1832). Ці дослідження привели його до поняття про групу, яке відіграє сьогодні фунда­ментальну роль у всіх галузях математики та її численних засто­суваннях.

Зауважимо, що відсутність формул для розв'язування рівнянь вищих степенів не слід вважати дуже прикрою обставиною – на­віть у випадку рівнянь третього та четвертого степеня, де такі формули існують, вони дуже громіздкі і практично майже не за­стосовні. Крім того, коефіцієнти більшості рівнянь, які доводить­ся розв'язувати фізикам чи інженерам, є звичайно величинами, знайденими в результаті вимірювань, тобто наближеними, а тому й корені потрібно знати лише наближено, із заданою точністю. Це дало поштовх до розробки різних методів наближеного розв'я­зування рівнянь.

З появою електронної обчислювальної техніки(ЕОМ) роль таких методів особливо зросла, оскільки завдяки їм вдалося істотно розширити клас задач, розв'язуваних за допомогою ЕОМ.

Таким чином, центральним у теорії розв'язування рівнянь є не питання про практичну можливість відшукання коренів, а не питан­ня про їх існування. Відомо, що існують навіть квадратні рівняння з дійсними коефіцієнтами, які не мають дійсних коренів. Попов­нюючи запас чисел до сукупності всіх комплексних чисел, ми ба­чимо, що квадратні рівняння, а також рівняння третього та четвертого степеня, вже обов'язково мають корені – це випливає з існування формул для їх розв'язування.

Виникає, проте, запитання: чи не знайдеться таке рівняння п'ятого чи вищого степеня, яке не має жодного кореня навіть се­ред комплексних чисел і чи не доведеться для відшукання коренів таких рівнянь переходити від комплексних чисел до якоїсь шир­шої їх сукупності?

Відповідь на це запитання дає так звана основна теорема ал­гебри, згідно з якою кожне рівняння з довільними числовими кое­фіцієнтами, не лише дійсними, а й комплексними, має комплексні (можливо, зокрема, й дісні) корені, причому коренів цих стільки, який степінь рівняння. Цю теорему у 1799 р. довів видатний німецький математик К. Гаусс(1777–1855). За­кінчуючи короткий огляд історії розвитку теорії розв'язування рівнянь, яка є предметом пропонованої книжки, зауважимо, що ця теорія є лише складовою частиною великої, дуже розгалуженої алгебраїчної науки,  яка, образно кажучи, стала мовою сучасної математики, постійно розвивається і знаходить численні застосу­вання у квантовій механіці, у фізиці кристалів, в економіці, при конструюванні сучасних ЕОМ та інших галузях науки й вироб­ництва.

Довідник. Формули скороченого множення

Властивості степенів з цілим показником

аⁿa^m=a^n+m;  аⁿ:a^m=a^n-m;  (аⁿ)^m=a^nm;  а⁰=1;  а^-n=1:aⁿ; а=а^0,5a^0,5=1a¹ =(a^0,5)²;

(ab)^m = a^mb^m = a^{– m}b^{– m} =(ab)^m;     a^m:b^m = (a:b)^m = b^{– m} a^{– m} =(b:a) ^{– m}       

   

Різниця та сума квадратів

a² + b² – не розкладається  на множники на множині цілих чисел.

a² – b² = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.

Різниця та сума кубів

а³ – b³ = (a – b)(a² + аb + b²) – це різниця кубів двох виразів.

а³ + b³ = (a + b)(a² – аb + b²) – це cума кубів двох виразів.

Різниця та сума біквадратів

а⁴ – b⁴ = (a – b)(a³ + а²b + аb² + b³) = (a – b)(a + b)( a² + b²);

а⁴ + b⁴  - не розкладається на множники

а⁵ – b⁵= (a – b)(a⁴+ а³b + а²b² + аb³ + b⁴);

а⁵ + b⁵= (a+b)( a⁴ – а³b + а²b² – аb³ + b⁴);

a^2m + b^2m  - не розкладається на множники

аⁿ – bⁿ = (a–b)( a^n-1+ а^n-2b + а^n-3b² +… + а²b^n-3 + аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді  аⁿ – 1= (a–1)( a^n-1+а^n-2  + а^n-3  +… +а² + а + 1);

Степінь суми двох виразів.

(a±b)⁰ = 1;        (a±b)¹ = a±b;  1:aⁿ ±(1:bⁿ) =a^-n±b^-n=(ab)^-n(aⁿ ± bⁿ) =a^-n ± b^-n 

Квадрат  двочлена:

(a + b)² =(b + a)² = a² + 2ab + b² –  це квадрат суми двох чисел.

(a – b)² =(b – a)² = a² – 2ab + b² –  це квадрат різниці двох чисел.

Куб  двочлена:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  – це куб суми двох чисел;

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  – це куб суми або різниці двох чисел;

Іноді стають у нагоді такі формули:

(a±b)⁴ = a⁴±4a³b +6a²b² ±4ab² + b⁴;

(a±b)⁵ = a⁵±5a⁴b +10a³b² ±10a²b³ +5ab⁴ ± b⁵;

(a±b)⁶= a⁶±6a⁵b +15a⁴b² ±20a³b³ +15a²b⁴ ±6ab⁵ +b⁶.

Для непарних n: аⁿ + bⁿ = (a+b)( a^n-1-а^n-2 b + а^n-3b² -… +а²b^n-3 - аb^n-2 + b^n-1);

Якщо  b =1, тоді a²ⁿ⁺¹ + 1= (a+1)( a^n-1- а^n-2  - а^n-3  +… +а² - а + 1);

Сума трьох квадратів і трьох кубів.

а³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² +c² –аb–bc–ac);

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2аb + 2bc +2ac;

Три способи запису квадратного тричлена

ax² + bx + c = а(х – х₁)(х – х₂)= а(х - 0,5b:a)² – 0,25D:a.

Дискримінант D = b² – 4ac.  Два корені:   х₁ = (‒ b ‒ (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a),  х₂ = (‒ b + (b² ‒ 4ac)^0,5 )/(2a).   Координати вершини  квадратичної  параболи: х_в = - 0,5b:a;  у_в =  - -0,5b:a.

   xy + x + y  + а = (х + 1)(y + 1) + а - 1_.                xy + x + y  + 1= (х + 1)(y + 1)

aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a).

Якщо b² ‒ 4ac – невід’ємний,  то ax² + byх + cy² = а(х ‒ k₁y) (х ‒ k₂y),

де k₁, k₂ ‒ корені квадратного рівняння  ak² + bk + c = 0.