Для знаходження розв’язків діофантових рівнянь використовують такі способи:
1)Спосіб розкладу на множники.
2)Спосіб оцінок та обмежень знизу та зверху виразів та унікальних
комбінацій із невідомих. Використання класичних та узагальнених нерівностей
вигляду Коші, Шварца, Гельдера та інших.
3)Метод параметризації. Розгляд рівнянь з багатьма змінними як
рівняння степеневого рівняння з параметрами. Вираження однієї змінної як
лінійної комбінації інших. Наприклад. х= ky; х= k+y; х= ny+m.
4) Метод конгруенцій. Пошук множини остач для лівої і правої
частини рівності.
5) Метод математичної індукції.
6) Метод скінченого спуску, метод Ферма.
Розв’язати в цілих числах
х(х+1)(х+7)(х+8) = у2.
Вказівка. Використаємо оцінки знизу і зверху лівої
частини рівняння, перед цим виконавши тотожні перетворення:
х(х+1) (х+7) (х+8)=
х(х+8) (х+1)(х+7) =
=(х2+8х) (х2+8х+7)=
z(z+7), z = х2+8х
Якщо z>9,
тоді
(z+3)2 =z2+6z+7< z2+7z< z2+6z+16<(z+4)2
Між двома послідовними
цілими квадратами не існує квадрату цілого числа.
Тому розглядаємо
випадок х2+8х =z<=9.
Варто розглянути такі рівняння:
х2+8х =-9;
х2+8х =-8;
х2+8х =-7;
х2+8х =-4;
х2+8х =-1;
х2+8х =0;
х2+8х =1;
Отримаємо розв’язки: (-9;-12), (-9; 12), (-8;0), (-7;0),
(-4; 12), (-4;-12), (-1;0), (0;0), (1; 12), (1;-12).
Розв’язати в цілих числах
х6+3х3+1= у4.
Вказівка. х>0
Оцінимо зверху та знизу:
(х3+1)2 = х6+2х3+1< х6+3х3+1=у4< х6+4х3+4<( х3+2)2
Між двома послідовними
цілими квадратами не існує квадрату цілого числа.
(х3+1)2 <
у4 <( х3+2)2
х3+1< у2 < х3+2
Аналогічне протиріччя
отримуємо, для х>-1.
(х3+2)2 = х6+4х3+4< х6+3х3+1=у4< х6+2х3+1<( х3+1)2
-(х3+2)2 < у4 <-( х3+1)2
|х3+2|= -(х3+2)< у2 < -(х3+1)= |х3+1|
Це не виконується для цілих у.
Якщо х= -1, то у4 =-1. Немає розв’язку.
Якщо х= 0, то у4 = 1. Отже (0;-1), (0;1).
Розв′язати
в натуральних числах рівняння:
2x +1= y2
Вказівка: Розглянемо функції: f(n)= 2n +1 таf(n)= n2.
Графіки цих двох функцій перетинаються в двох точках, одна із яких
має натуральні значення координат точки, це точка (3; 9), а інша таких немає.
21+1=3;
22+1 =5;
23+1 =9=32 .
2p =(y +1)(y-1), а це
можливо, якщо у=3,
отримаємо 23 =(3 +1)(3-1)=4*2.
2m +1m =(2 +1)( 2m-1 +2m-2 …+1)=3n.
Відповідь: х=3, у=3.
Розв′язати
в натуральних числах рівняння:
a2+b2+c2 =59n .
Вказівка: 72+32+12 =59.
592 =(72+32+12)(72+32+12)=59*59=502 +302+92.
(50k2+9)2=2500k4+900k2+92= (50k2)2 +(30k)2+ 92.
(7*59(n-1):2) 2+(3* 59(n-1):2 )2+(1*59(n-1):2)2=59n.
Одна із трійок буде такою
a= 7*59(n-1):2
b= 3*59(n-1):2
c= 1*59(n-1):2,
де n- натуральне число.
Розв’язати
рівняння в цілих числах
x + y + z = xyz.
x + y + z = xyz.
Вказівка. Від кругової перестановки невідомих х на у, у на z, z
на х рівняння не змінює свого
вигляду. Отже, якщо розв’язок ( k,m,n),
то розв’язком будуть і такі трійки чисел: ( n,k,m),
( m,n,k),
( n,m,k), ( k,n,m),
( m,k,n).
Якщо х2+у2+z2 =0. Отримаємо: х=у=z =0.
Якщо х2+у2+z2 <>0. Тоді 1/yz+ 1/xz +
1/yx =1.
Із рівності 1/2+ 1/3 + 1/6 =1. Отримаємо систему
рівнянь:
yz=2
xz=3
yx=6
Тому розв’язок системи рівнянь:
х = 3; у= 2; z =1.
Розглянемо випадки для цілих значень:
x + y + z = xyz.
1)Якщо хуz =0.
2)Якщо хуz =-1. х = 1; у= 1; z = -1.
3)Якщо хуz =1. х = 1; у= 1; z = 1.
4)Якщо хуz =2.
5)Якщо хуz =-2.
6)Якщо хуz =3.
7)Якщо хуz =-3.
8)Якщо хуz =4.
9)Якщо хуz =-4.
10)Якщо хуz =-5.
11)Якщо хуz =5.
12)Якщо хуz =6. х = 3; у=
2; z =1.
13)Якщо хуz =-6. х = -3; у= -2; z =-1.
Тотожними
перетвореннями отримаємо рівність :
z( xy-1)=x+y,
у якої ліва і права частини цілі.
Якщо х+у =0, z=0
або xy-1 =0, тому
якщо xy-1 =0, у цілих числах отримаємо дві рівність
xy=1 , x=-y виконується, якщо x=-1,
y=-1 або x=
1, y= 1.
якщо z =0, у цілих числах рівність xy=1
виконується, якщо x=-1, y=-1
або x=
1, y= 1.
Якщо х+у =n, z=n або xy-1 =1, тому у цілих числах рівність xy=2 виконується, якщо x=2,
y=1 або x= -2,
y= 1.
Якщо х+у =0, z=0
або xy-1 =0, тому у цілих числах рівність xy=1виконується, якщо x=-1,
y=-1 або x= 1,
y= 1.
Відповідь.
( -m,m,0), ( -m,0,m), ( 0,m,-m),
( 0,-m,m),
( m,0,-m)
( m,-m,0), де m - ціле число.
( 1,2,3), ( 1,3,2), ( 2,3,
1), ( 2, 1,3), ( 3,1,2
) (3,2,1).
Розв′язати в натуральних числах рівняння:
1. a2+b2+c2 =77n
2. x2 + xy + y2 = x2y2
3. (x+2)4 - y4 = y3
4. x3+ (x+1)3+(x+2)3+...+(x+7)3= y3.
5. x3+ (x+1)3+(x+2)3 = y3. де х,у – натуральні числа.
6. Довести,
що для непарних значень a, b,c рівняння ax2+bx+c=0 немає розв’язків в
раціональних числах.
7. x2+y2 =3z2
8.
x2+y2+z2 =x2y2
9.
x4+4x =p, де р – просте число.
10.xx+y+(x+y)x , де x,y – додатні раціональні число.
Вказівка. х = (1+z)z y = z(1+z)z, де z – натуральне число.
11. x2+5 =у3
12.a2+b2+c2 =74n
13.a2+b2+c2 =77n
Немає коментарів:
Дописати коментар