понеділок, 9 березня 2015 р.

Геометричні нерівності.

Нерівність для сторін трикутника
Картинки по запросу геометричні нерівності

Картинки по запросу геометричні нерівності

Для будь-яких

трьох точок А, В, С,

що не лежать на одній прямій

виконуються нерівності:

АВ<BC+AC

АC<BC+AB

CВ<BA+AC.

Нерівність для медіан трикутника
Картинки по запросу геометричні нерівності

Картинки по запросу геометричні нерівності

Будь-яка медіана
трикутника АВС

менше півсуми сторін,
між якими вона лежить:

0,5(a+b-c)<m_c<0,5(b+c)

0,5(a+c-b)<m_b<0,5(a+c)

0,5(b+c-a)<m_a<0,5(a+c)

Довести нерівності:

(a+b-c)(c-b+a)(c-a-b) =<abc,

a²b(a-b)+ b²c(b-c) + c²a(c-a) > =0,

a(b-c)²+b(c-a)² +c(a-b)² +4abc > a³+b³+c³,

якщо додатні усі дійсні змінні та a, b, c- сторони трикутника.

Заглянь на цю сторінку:

Главная / Коллекции / Предметные коллекции / Математика / Задачи по геометрии / Планиметрия

ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ

В данном разделе представлены задачи по геометрии. [Карточка ресурса]

Лицензионное соглашение

Лицензионное соглашение на передачу прав на использование набора ЦОР к коллекции ?Задачи по геометрии?

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Нерівності математичних олімпіад.

Каталог класичних нерівностей:

Осмислення способів доведення нерівностей.

На практиці математики використовують для доведення різні способи:

за визначенням(віднімання більшого від меншого);
способом додавання лівих та правих частин класичних нерівностей;
способом від супротивного;
методом математичної індукції;
штучні способи;
синтез декількох способів доведення.

Означення

Для довільних дійсних чисел виконується нерівність

a^2+b^2+c^2 \ge ab + ac + bc

Доведення

перенесемо всі члени в ліву частину і помножино на 2:

2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc \ge 0

виділимо повні квадрати:

(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 \ge 0

Очевидно що рівність досягається тоді і тільки тоді, коли всі три числа рівні.

Завдання для самостійного опрацювання

1.Довести нерівність

x³(1+y)^-1(1+z)^-1 + y³(1+x)^-1(1+z)^-1 +z³(1+y)^-1(1+x)^-1 >=0,75,

якщо додатні усі дійсні змінні та xyz=1

2.Довести нерівність

a²(a+2b³)^-1+ b²(b+2c³)^-1+ c²(a+2a³)^-1>=1,

якщо додатні усі дійсні змінні та a + b + c = 3.

3.Довести нерівність

(1+a) (1+ b²)^-1 +(1+b) (1+ c²)^-1+(1+c) (1+ a²)^-1>=3,

якщо додатні усі дійсні змінні та a + b + c = 3.

4.Довести нерівність

(z+y+x)^0,5>=(x-1)^0,5+ (y-1)^0,5+ (z-1)^0,5

якщо усі дійсні змінні не менше 1 та x ^-1 + y ^-1 +z^-¹ = 2.

5.Довести нерівність

a³(a³+b³+abc)^-1+ b³(a³+c³+abc)^-1+ c³(a³+c³+abc)^-1>=1,

якщо додатні усі дійсні змінні.

6.Довести нерівність

(a²+1) (b²+1) (c²+1) >=8,

якщо додатні усі дійсні змінні та ab+ cb + ac = 3.

Каталог класичних нерівностей:

1. Сума двох взаємно обернених додатних чисел не менше двох, тобто якщо для чисел a∙b=1, тоді

^a/_b+^b/_a>=2

Сума двох взаємно обернених недодатних чисел не менше двох, тобто якщо для чисел a∙b= -1, тоді

^a/_b+^b/_a=<-2

2. Для невід’ємних n:

¹/_n+ n>=2

3. Якщо для невід’ємних чисел a∙b=1, тоді

(a+b)>=2.

4. Якщо для невід’ємних m чисел a∙b∙c∙d∙e∙…∙f=1, тоді

(a+b+c+d+e+…+f)> =m.

5. Для довільного а вірно:

а²>=0.

6. Для довільної послідовності чисел а_і вірно:

а₁²+ а₂² +а₃²+ …+а_n²>=0

7. Для додатного числа а>0 та від’ємного дискримінанта: b²-4aс<0 завждивиконується квадратна нерівність:

ax²+bx+c>0.

8. Для від’ємного числа а<0 та від’ємного дискримінанта: b²-4aс<0 завждивиконується квадратна нерівність:

ax²+bx+c<0.

Яку нерівність можна використати для доведення нерівності Несбіта:

д?ля додатних (a, b, c).

Із нерівностей Коші-Буняковського і трьох квадратів отримуємо:

\dfrac{a^2}{a(b+c)}+\dfrac{b^2}{b(a+c)}+\dfrac{c^2}{c(a+b)}\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}\ge\dfrac{3}{2},

з чого негайно слідує нерівність Несбіта.

1. Довести, що для будь-яких чисел

a²+b²+c^2>=ab+bc+ac.

Вказівка. Додати окремо ліві та праві частини нерівностей:

a²+b^{2 >=}2ab, с²+b^{2 >=}2сb, a²+с^{2 >=}2aс. Рівність досягається, якщо a=b=c.

2.Довести, що для будь-яких чисел a, b, c, які мають однакові знаки:

. ^a/_b+^b/_c+^c/_a>=3

3.Для додатних a, b дріб ^c⁺^d/_a₊_bлежить між дробами ^c/_a та^b/_dДовести.

4.Довести, що невід’ємних трьох дійсних чисел виконується нерівність:

. ^ab/_c+^ac/_b+^cb/_a>=3

Визначення

Якщо

p

— дійсне число не рівне нулю, можна визначити середнє степеня $p$ для будь-яких додатніх чисел

x_1,\dots,x_n \!

як:

M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}.

Через граничний перехід довизначаються такі величини:

M_0(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{p\to 0} M_p(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}

M_{-\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{p\to -\infty} M_p(x_1, \ldots, x_n) = \min\{ x_1, \ldots, x_n \}

M_{+\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{p\to +\infty} M_p(x_1, \ldots, x_n) = \max\{ x_1, \ldots, x_n \}

Часткові випадки

Геометричний зміст середніх значень для двох чисел.

M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}

— середнє гармонійне (HM),

M_0(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}

— середнє геометричне (GM),

M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}

— середнє арифметичне (AM),

M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}

— середнє квадратичне (RMS).

1 коментар:

Unknown15 жовтня 2020 р. о 08:58
чівоооооооооооооо

ВідповістиВидалити
Відповіді

Додати коментар

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)