Задачі на доведення способом розкладу на множники
КВАДРАТНИЙ
ТРИЧЛЕН.
ax2 + bx + c = а(х - х1)(х - х2)
= а(х - m)2+ n
А!. Записати три різних квадратних тричленів у стандартному, якщо його корені дорівнюють:
1) 20 і -1,3; 2) – 80 і 1,6; 3)
70 і -1,6; 4) -50 і -1,2; 5) – 90 і -1,5; 6)
-12 і -4,0; 7) – 20 і 1,6; 8)
40 і -2,5; 9) – 70 і 1,9; 10) 1,3 і -70; 11) -30 і -1,9; 12)
– 1,4 і -80; 13) 90 і -1,2; 14) – 1,3 і - 60; 15) 50 і -2,3; 16)
– 1,7 і 60; 17) 90 і -2,6; 18) -1,4 і -20; 19) – 40 і -1,7; 20)
-1,3 і -40; 21) – 50 і 2,6; 22)
30 і -2,5; 23) – 10 і 3,3; 24)
30 і -2,4; 25) -2,2 і -90; 26) – 40 і -1,2; 27) -15 і -20;
28) – 30 і – 1,6; 29)
20 і -3,6; 30) – 1,2 і 60; 31)
40 і -4,6; 32) -4,4 і -70; 33)
– 90 і -60; 34) -10 і -4,3; 35)
– 20 і 6,1; 36)
40 і -5; 37) – 10 і 3; 38)
-90 і 5,5; 39) -5 і -90; 40) 14 і -2; 41) -12
і -3. 42) -5 і -20.
Б!. Розкласти на множники
квадратний тричлен: а(х-х1)(х-х2)
та виділити квадрат двочлена: а(х-m)2+n
1) -х2 -5х-4; 2)- х2 -х-2; 3)- х2 -6х-5; 4) -х2 -7х-6; 5) -х2 -6х-7; 6) -х2 -9х-8; 7) -х2 -10х-9; 8) -х2 -11х-10; 9) -х2 -12х-11; 10) -х2 -13х-12; 11) -х2 -15х-14; 12) -х2 -16х-15; 13)
- х2 -17х-16; 14) -х2 -18х-17; 15) -х2 -19х-18; 16) -х2 -20х-19; 17)
-х2 -21х-20; 18) -х2 -22х-21; 19) -х2 -23х-22; 20) -х2 -24х-23; 21) -х2 -25х-24; 22) -х2 -26х-25; 23) -х2 -27х-26; 24) -х2 -28х-27; 25) -х2 -29х-28; 26)- х2 -30х-29; 27)
-х2 -31х-30; 28)- х2 -32х-31; 29)
-х2 -33х-32; 30) -х2 -34х-33; 31) -х2 -35х -34; 32)
-х2 -36х-35; 33) -х2 -37х-36; 34)
-х2 -38х-37; 35)- х2 -39х-38; 36)
-х2 -41х-40; 37)
-х2 -42х-41; 38)- х2 - 8х -12; 39)-
х2 -7х+12; 40) -х2 -10х+21; 41)-
х2 +6х-8. 42) -х2 -15х-56; 43) х2 +14х+48. 44) х2 -17х + 72.
В!. Розв’язати
рівняння:
а) - г) і виконати перевірку. У
рівнянні з параметром, що в пункті д) знайти, при якому значенні параметра k рівняння має: а) один корінь; б) один додатний корінь;
в) один від’ємний корінь; г) два корені;
д) два протилежні корені; е) немає
коренів; є) два корені:
нульовий і додатний; ж) два корені:
нульовий і від’ємний; з) два не
додатних корені; и) два корені різних знаків; ї)два взаємно обернені корені.
1. а) z2 = (– 13) 6; б) х3 = 24x; в) (х-1)(х+9) = 8х; г) (6х – 9)2 + (9х + 6)2 = 84; д) -9kх2 – (4-3k)х -0,25k = 0.
2. а) b2 =( – 31) 2 ; б) х3 = 60x; в) (х-4)(х+8) = 4х; г) (7х – 4)2 + (4х + 7)2 = 34; д) -4kх2
– (5-2k)х -0,25k = 0.
3. а) z2 = (– 14) 3; б) х3 = 84x; в) (х-4)(х+7) = 3х; г) (8х – 2)2 + (2х + 8)2 = 42; д) -9kх2
– (6-3k)х -0,25k = 0.
4. а) b2 = - ( – 3) 3; б) х3 = 72x; в) (х-4)(х+6) = 2х; г) (9х – 5)2 + (5х + 9)2 = 52; д) - kх2
– (7-k)х -0,25k = 0.
5. а) z2 = (– 2) 5; б) х3 = 96x; в) (х-4)(х+5) = х; г) (2х – 1)2 + (2х +1)2 = 62; д) -4kх2
– (8-2k)х -0,25k = 0.
6.
а) х2 = 36;
б) х3 = 225x; в) (х-9)(х+3) =-6 х; г) (4х –3)2 + (3х + 4)2 = 72; д) -9kх2
– (9-3k)х -0,25k = 0.
7. а) m2 –7m = 0; б) х3 = 88x; в) (х-8)(х+3) = -5х; г) (5х – 3)2 + (3х + 5)2 = 82; д) kх2 – (4-k)х +0,25k = 0.
8. а) n2 +3n= 0; б) х3 = 28x; в) (х-7)(х+3) = -4х; г) (7х – 4)2 + (4х + 7)2 = 92; д) kх2 – (1-k)х +0,25k = 0.
9. а) k2 –25k = 0; б) х3 = 90x; в) (х-6)(х+3) = -3х; г) (8х –6)2+ (6х +8)2 = 22; д) kх2 – (k-1)х +0,25k = 0.
10.а) 36z – z2 = 0;
б) х3 = 19x; в) (х-5)(х+3) = -2х; г) (9х – 7)2
+ (9х+7)2
= 72; д) 4kх2 – (2k-2)х+0,25k=0.
11. а) – b2 – 5b = 0; б) х3 = 18x; в) (х-3)(х+5) = 2х; г) (3х – 7)2 + (3х + 7)2 = 52; д) kх2 – (k-3)х+0,25k=0.
12. а) b2 =( – 4) 2 ; б) х3 = 12x; в) (х-64)(х+65) = х; г) (7х –9)2 + (9х+7)2 = 72; д) 9kх2 – (3k-4)х+0,25k=0.
13. а) z2 = (24) 3; б) х3 = 10x; в) (х-54)(х+55) = х; г) (8х – 7)2 + (7х + 8)2 = 82; д) kх2 – (k-5)х+0,25k=0.
14. а) b2 = - ( – 4) 3; б) х3 = 8x; в) (х-44)(х+45) = х; г) (4х – 5)2 + (5х + 4)2 = 92; д) kх2 – (k-6)х+0,25k=0.
15. а) z2 = (– 3) 5; б) х3 = 7x; в) (х-34)(х+35) = х; г) (5х – 8)2 + (8х + 5)2 = 62; д) kх2 – (k-7)х+0,25k=0.
16. а) х2 = 64x; б) х3 = 6x; в) (х-24)(х+25) = х; г) (7х – 1)2 + (7х + 1)2 = 12; д) kх2 – (k-8)х+0,25k=0.
17. а) у2 = 0,81y;
б)х3 = 5x; в) (х-15)(х+16) = х; г) (8х – 1)2 + (8х + 1)2 = 42; д) -9kх2 –(3k-1)х -0,25k = 0.
18. а) z2 = (- 4)3; б) х3 = 0,01x; в) (х-14)(х+15) = х; г) (9х – 1)2 + (9х + 1)2 = 62; д) kх2 –kх +0,25k+1 =
0.
19. а) m2 = 54; б) х3 = 0,16x; в) (х-13)(х+14) = х; г) (6х – 3)2 + (3х + 6)2 = 92; д) kх2
–kх +0,25k+2 =
0.
20. а) m2 = 23; б) х3 = 49x; в) (х-12)(х+13) = х; г) (8х – 9)2 + (9х + 8)2 = 72; д) kх2 –kх +0,25k+3= 0.
21. а) n2 = 1/36; б) х3 = 256x; в) (х-11)(х+12) = х; г) (4х – 5)2 + (4х + 5)2 = 52; д) kх2 –kх +0,25k+4 =
0.
22. а) d2 =(- 1/π)2; б) х3 = 196x; в) (х-10)(х+11) = х; г) (2х – 5)2 +(2х
+5)2 = 32; д) kх2 –kх +0,25k+26 =
0.
23. а) х2 = 2,89;
б) х3 = 169x; в) (х-1)(х+2) = х; г) (2х – 5)2 + (2х + 5)2 = 12; д) kх2 –kх +0,25k+27 =
0.
24. а) n2 = 6,25n; б) х3 = 81x; в) (х-7)(х+8) = х; г) (2х – 5)2 + (2х + 5)2 = 82; д) kх2 –kх +0,25k+28 =
0.
25. а) m2 =1/36; б) х3 = x; в) (х-6)(х+7)
= х; г) (х – 5)2
+ (х + 5)2
= 62; д) kх2
–kх +0,25k+29=
0.
26. а) a2 = 17/9; б) х3 = 9x; в) (х-5)(х+6) = х; г) (5х – 4)2 + (4х + 5)2 = 42; д) kх2 –kх +0,25k+30 =
0.
27. а) b2 = 31/16; б) х3 = 4x; в) (х-4)(х+5) = х; г) (4х – 3)2 + (3х + 4)2 = 22; д) kх2
–kх +0,25k+32=
0.
28. а) z2 = (– 2) 6; б) х3 = 36x; в) (х-8)(х+9) = х; г) (3х – 5)2 + (3х + 5)2 = 12; д) kх2 –kх +0,25k+33=
0.
29.а) х2 = 441n; б) х3 = 98x; в) (х-4)(х+10) = 6х; г) (х – 2)2
+ (х + 2)2
= 4; д) -4kх2 – (1-2k)х -0,25k +1= 0.
30.а) n2 = 324;
б) х3 = 78x; в) (х-7)(х+4) = -3х; г) (х – 4)2 + (х + 4)2 =
32; д) -kх2 – (1-k)х -0,25k+2 = 0.
31.а) m2 = 108;
б) х3 = 58x; в) (х-9)(х+4) = -5х; г) (х – 1)2 + (х + 3)2 = 10; д) -kх2 – (2-k)х -0,25k+3 = 0.
32.а) х2 = 225;
б) х3 = 87x; в) (х-9)(х+1) = -8х; г) (х – 3)2 + (х + 5)2 = 34; д) -9kх2
– (1-3k)х -0,25k +4= 0.
33. а) х2 = 9х; б) х3 = 16x; в) (х-4)(х+3) = х; г) (2х – 5)2 + (5х + 2)2 = 60; д) -9kх2
– (1-3k)х -0,25k = 0.
34.а) n2 = 4n;
б) х3 = 0,25x; в) (х-7)(х+1) = -6х; г) (4х – 2)2 + (2х + 4)2 = 54; д) -kх2 – (1-k)х -0,25k = 0.
35.а) m2 = 16m;
б) х3 = 48x; в) (х-8)(х+4) = -4х; г) (3х – 4)2 + (4х + 3)2 = 64; д) -kх2 – (2-k)х -0,25k = 0.
36.а) х2 = 25x;
б) х3 = 44x; в) (х-9)(х+6) = -3х; г) (4х – 5)2 + (5х + 4)2 = 68; д) -4kх2
– (1-2k)х -0,25k = 0.
37.а) k2 = 64k;
б) х3 = 99x; в) (х-2)(х+5) = 3х; г) (15х – 6)2
+ (6х + 15)2 = 90;
д) -4kх2 – (3-2k)х -0,25k = 0.
38. а) k2 = 36k;
б) х3 = 99x; в) (х-2)(х+5) = 3х; г) (5х – 6)2 + (6х + 5)2 = 60; д) -4kх2
– (3-2k)х -0,25k = 0.
39.а) k2 = -16k;
б) х3 = 99x; в) (х-2)(х+5) = 3х; г) (5х – 16)2 + (16х + 5)2 = 80;
д) -4kх2 – (3-2k)х -0,25k = 0.
40.
а) k2 = 256; б) х3 = 45x; в) (х-2)(х+5) = 3х; г) (х – 6)2 + (х + 6)2 =
72; д) -4kх2 – (7-2k)х -0,25k+6 = 0.
Довести правильність розкладу і знайти нулі:
a4+a2+1=(a2+a+1)(a2-a+1);
q8+q4+1=(q2+q+1)
(q2-q+1)(q4-q2+1);
х3(х2-7)2
-36х =x(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)(x-3);
m3+9m2+11m-21=(m-1)(m+7)(m+3);
p3+5p2+3p-9=(p-1)(p+3)2;
m4-10m3+27m2-14m+2=(m2-4m+1)(m2-6m+2);
m4-12m3+43m2-42m+6=( m2-6m+1)( m2-6m+6);
y10+y5+1=(y2+y+1)(y8-y7+y5-y4+y3-y+1);
z5n+zn+1=(z2n+zn+1)
(x3n-z2n+1);
x2y+xy2+x2z+xz2+y2z+yz2+3xyz=(x+y+z)(xy+zy+xz);
x2y+xy2+x2z+xz2+y2z+yz2+2xyz=(x+y)(x+z)(x+z);
x4+ y4+z4-2x2y2-2x2z2-2y2z2=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z);
8x3(y+z)-y3(z+2x) –z3(2x-y)=(y+z)(2x-y)(2x+z)(2x+y-z);
3x2 – 3xy + 3y2 – 3xy = 3x(x - y) + 3y(y - x) = - 3x(x -y) - 3y(x - y) = 3(x –y)(x – y);
Задачі на доведення способом розкладу на множники
Сума
та різниця степенів двох цілих виразів
Різниця
та сума квадратів
a2 + b2 – не
розкладається на множники на множині цілих многочленів.
a2 – b2 = (a – b)(a + b) – це
різниця квадратів двох виразів.
Розглянемо
декілька вправ на використання цих формул:
n2 – 4 = n2 – 22 =
(n – 2)(n + 2);
a2 – 36 = a2 – 62 =
(a – 6)(a + 6);
64 - b2 = 82 – b2 =
(8–b)(8 +b).
1 – a6 = 12 –
(a3)2 =
(1 – a3)(1 + a3).
Спробуйте
самостійно виносити спільний множник за дужки і потім перевіряти себе:
5q – 5p = 5(q - p),
ab+ac = a(b+c),
mb-mac = m(b-ac),
m5 – m7 =
1∙m5 – m5 ∙ m2 = m5(1
– m2)= m5(1-m)(1+m),
15а
+ 15b = 15∙(a + b),
7mn + m = 7mn + 1m = m∙(7n + 1),
-
8pg – 24gt = -8g∙p – 8g ∙3t = – 8g(p + 3t),
15а + 3а2 -
9а3 = 3а( 5 + a –
3a2).
Деякі
вчителі пропонують також вправи на винесення неспільних множників за
дужки, маючи на увазі перетворення:
5q – 5p =
5q∙(1- p/q),
ab+ac = ac∙(b/c+1),
mb-mac = ma∙(b/a - c),
m5 – m7 =
1∙m5 – m5 ∙ m2 = m7(1/m2 –1),
15а
+ 15b = 15b∙(a/b +1),
7mn + m = 7mn + 1m = mn∙(1 + 1/n),
-
8pg – 24gt = -8g∙p – 8g ∙3t = – 8gp(1 + 3t/p),
15а + 3а2 -
9а3 = 3а3( 5/ a2 +
1/a – 3).
Наприклад?
самостійно подумайте і заповніть прогалини у виразах, які відмічені знаком
запитання:
35q – 35p = 35(? - ?),
kb+kc = ?∙(b+c),
mb-mbc = m(b-?c),
m8 – m9 =
1∙m? – m? ∙ m? = m? (1
– m?),
50а
+ 25b =? ∙(?a + ?b),
70mn + 28m = ?m∙?n + ?∙?m = ?m∙(?n + ?),
-
8pm – 24mt = -8∙?∙p – 8∙? ∙3t = – 8∙?∙
(p + 3t),
125а
+ 50а2 - 75а3 = ?∙а(
5 + ?∙a – 3a2).
3qt – 75wpt = 3∙?(? - ?),
13kb+39kc = ?∙(?∙b+?c),
92mb-46mbc = m(b-?c),
65m8 – m9 =
1∙m? – m? ∙ m? = m? (1
– m?),
50а
+ 25b =? ∙(?a + ?b),
70mn + 28m = ?m∙?n + ?∙?m = ?m∙(?n + ?),
-
8pm – 24mt = -8∙?∙p – 8∙? ∙3t = – 8∙?∙
(p + 3t),
–125а
+ 250а2 - 500а3 = ?∙а(?+ ?∙a –?a2).
Увага!
Завдання на розуміння. Виконайте перевірку і
знайдіть помилки та виправте їх:
5q – 5p = 5q∙(4- p/q),
ab+ac = ac∙(b/c+с),
mb-mac = ma∙(b/a -а),
m5 – m7 =
1∙m5 – m5 ∙ m2 = m7(1/m2 +1),
15а
+ 15b = 15b∙(a/b – b),
7mn + m = 7mn + 1m = mn∙(1 + 1/m),
-
8pg – 24gt = -8g∙p – 8g ∙3t = – 8gp(1 + 3t),
15а + 3а2 -
9а3 = 3а3( 5/ a2 +
1 – 3a).
.
Такі
перетворення корисні, і про
них може йти мова у зв'язку з вивченням
дробових виразів.
Виконання
цих вправ підготує вас до кращого засвоєння найважчого способу
розкладання многочленів на множники –способу
групування,
який є природним узагальненням способу винесення спільного множника за дужки.
Так,
пояснимо, як розкладається на множники вираз:
а ∙ (b + с) + x∙(b + с) = (b + с)∙(a + x),
а ∙ (w – v) + k∙(w – v) = (w – v )∙(a + k),
а ∙ (m + n) – bx∙(m + n ) = (m + n )∙(a – bx),
c ∙ (b2 + pс) – 4x∙(b2 + pс) = (b2 + pс)∙(c – 4x),
4а ∙ (5b + 3с) + 7x∙(5b +
3с) = (5b + 3с)∙(4a + 7x).
Якщо
ви не зможете цього зробити самостійно, то слід
поставити вам таке запитання: чи не дорівнює другий
вираз першому? Часто цього буває досить, щоб ви зрозуміли,
як мивиконували попереднє завдання. Наголошую
на тому, що такі перетворення виразів є тотожними, тобто не порушують відомі
нам математичні дії, проте вони дають можливість змінювати порядок дій у
виразах або зменшувати кількість дій.
Тепер можна
запропонувати вам самостійно розкласти на множники
вирази:
а ∙ (n + с) + x∙ (n + с) = (? +
?)∙(a + x),
а ∙ (w – v) + k∙ (w – v) = (w – v )∙(? +?),
а ∙ (m + n) – bx∙ (m + n ) = (? + n )∙(a – ?),
c ∙ (b2 + pс) –
4x∙ (b2 + pс) = (b2 +?)∙(?
– 4x),
4а ∙ (5b + 3с) + 7x ∙ (5b + 3с) = (?+
?)∙(? +?).
Розкладання
многочлена на множники способом групування, як уже зазначалось, становить
для вас значні труднощі, часто не відразу
вдається як слід згрупувати члени даного многочлена – доводиться
випробовувати кілька способів групування доти, поки не буде знайдено
найраціональніший. Тому ви маєте добре
продумати перед тим, які доданки слід групувати, тобто шукати
доданки зі спільними множниками.
Для
цього пропоную вам таку систему вправ, щоб труднощі наростали
повільно.
xm + ху
+ ау
+ аm = (xm + ху)
+ (ау
+ хm) = x(m + у)
+ a(m + у) = (а + х)
(m + у).
а2 – ху – ау
+ ах =
(а2 +
ах)
– (ау + ху) = а(а + х) – у(а +
х)
= (а +х)(а - у).
Наприклад,
розглянуту щойно вправу можна виконати так:
а2 - ху
+ ау + ах = (а2 - ау)
+ (ах - ху) = = а(а - у)
+ х(а - у)
= (а -у) (а
+ х).
Розгляньте
складніші приклади:
3 -
6a + z - 2az = 3(1 -
2a) + z(1 - 2a) = (3
+z)(1 – 2a);
10ax - 5bx + 2ay - by
= 5x(2a – b) + y(2a - b) = (5x +
y)(2a – b);
4a2 – 4az – 3a + 3z = 4a(a – z) – 3(a – z) = (4a – 3)(a – z);
3x2 – 3xy + 3y2 – 3xy = 3x(x - y) + 3y(y - x) = - 3x(x -y) - 3y(x - y) = 3(x –y)(x – y);
a + a2 - a3 - a4 = a(1+ a) - a3(1+ a) = (a - a3)(1 + a) = a(12 -
a2)(1 + a) = a(1- a)(1 + a)2;
a3 + a2b - a2c - abc = a2(a +b) - ac(a + b) = (a2 - ac)(a + b) = a(a
- c)(a + b);
3m - bx + mx - 3b = 3m - 3b - bx + mx = 3(m - b) + x (m - b) = (3 + x)( m - b);
ax + ay - az + nx + ny - nz = ax + nx + ay + ny - az – nz =x(a + n) + y(a + n) - z(a + n) = (a + n)(x + y - z);
a + b – 2 – ax - bx
+ 2x = a – ax + b – bx - 2 + 2x = a(1 - x) + b(1 - x)
- 2(1 -x) = (1 – x)(a + b – 2);
2ax + cx - 6ax2 - 3cx2 + 2ac + c2 = 2ax - 6ax2 + 2ac + cx - 3cx2 + c2 =
2a(x - 3x2 + c) + c(x - 3x2 + c) = (2a + c)(x - 3x2 + c);
Увага!
Завдання на розуміння. Вкажіть
помилку у даному перетворенні многочленів:
a2 - ab - 4a + 4b = a(a - b) - 4(a +
b) = (a - 4)(a - b);
ax + 3 + 3x + a = ax + a + 3x + 3 = a(x + 1) + 3(x + 1) = (a + 3)(1 – x);
ax + 3 + 3x + a = ax + a + 3x + 3 = a(x + 1) + 3(x + 1) = (a + 3)(1 – x);
ac + 6 - bc - a = ac - a + b - bc = = a(c - 1) - b(1 -
c) = a(c - 1) - b(c - 1) = (a - b)(c + 1).
Тепер можна
запропонувати вам самостійно розкласти на множники
вирази способом групування:
ac
+ ad + 2bc + 2bd;
2ax – 2ay – 3by + 3bx;
x2y
– z2x + y2x – z2y;
x2 – xy + xz – yz;
a3 + 2 + a + 2a2;
y4 + 3 – y – 3y3;
х3 + x – 3xy + 2 + 2х2 – 6y;
ab – a + 5 – 5b – 5a2 + a3;
4ax + 2ay – az – 4bx – 2by + bz;
6ax + 3bx – 3x + 6ay + 3by – 3y.
Найчастіше
використовують розклад на множники многочленів при розв’язування рівнянь.
Розв’яжемо
рівняння способом розкладання на множники:
x(x-
15) + 3(x - 15) = 0
Винесемо
за дужки спільний множник x –
15, отримаємо:
(x + 3)(x - 15) = 0;
Маємо
добуток двох множників дорівнює нулю, коли хоча б один із множників нульовий,
тому прирівняємо до нуля перший та другий множник:
x + 3 = 0;
x1 = -3 –
перший розв’язок;
x - 15 = 0;
x2 = 15 –
другий розв’язок.
Відповідь: x1 = -3; x2 =15.
Найчастіше
використовують розклад на множники многочленів при розв’язування рівнянь.
Розв’яжемо
рівняння способом розкладання на множники:
x4 -
(2 - x2)2 =
0
Використаємо
різницю квадратів a2 – b2 = (a–b)(a+b) і
розкладемо на множники ліву частину рівняння:
(x2 -
2 + x2)(x2 +
2 - x2)
= 0;
(2x2 -
2) • 2 = 0
4(x2 -
1) = 0;
(x -1)(x + 1) = 0;
x – 1 =
0; x1 =
1
x + 1 =
0; x2 =
-1
Відповідь:x1 = -1; x2 =1.
Різниця
та сума кубів
а3 – b3 = (a–b)(a2 +аb + b2) –
це різниця кубів двох виразів.
а3 + b3 = (a+b)(a2 –аb + b2) –
це cума кубів двох виразів.
Розглянемо
декілька вправ на використання цих формул:
p3 + g3 = (p + g)(p2 –
pg + g2);
8 – a3 = 23 – a3 = (2
– a)(4 + 2a + a2);
c3 +
8x3 = c3 + 23x3 = (c
+ 2x)(c2 -
2xc + 4x2);
1 – a6 = 13 – (a2)3 =
(1 – a2)(1 + a2 + a4);
a3 + c6 =
a3 +(c2)3 = (a + c2)(a2 - ac2 +
c4);
27 + a3b3 = 33 + a3b3 =
(3 + ab)(9 - 3ab + a2b2);
p3x6 + 1 = (px2 + 1)(p2x4 -
px2 + 1);
27m3 + n6 = (3m + n2)(9m2 -
3mn2 + n4);
a3c3 +27x3 = (ac + 3x)(a2c2
- 3acx + 9x2);
– c6 + 27x3 = (3x - c2)(9x2 3xc2 +
c4);
a6c9 - 27x3 = (a2c3 -
3x)(a4c6 + 3xa2c3 + 9x2).
а4 – b4 = (a–b)(a3+а2b+аb2 + b3);
а4 + b4 -
не розкладається на множники
а5– b5= (a–b)(a4+а3b + а2b2 +
аb3 + b4);
а5 + b5= (a+b)( a4–а3b + а2b2 –аb3 + b4);
a2m + b2m -
не розкладається на множники
аn – bn= (a–b)( an-1+аn-2b +
аn-3b2 +… +а2bn-3 +
аbn-2 +bn-1);
Якщо b =1, тоді
аn – 1= (a–1)( an-1+аn-2
+ аn-3
+… +а2 + а + 1);
(a ± b)0 =
1;
(a ± b)1 = a ± b
Квадрат
двочлена:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 – це
квадрат суми двох чисел.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 – це
квадрат різниці двох чисел.
Розглянемо
декілька вправ на використання цих формул:
4 + 4b + b2 = 22 +
2∙2b + b2 = (2 + b)2;
49 – 14b + b2 = 72 – 2∙7b + b2 = (7 – b)2;
64 + 16b + b2 = 82 +
2∙8b + b2 = (8 + b)2;
400 – 40b + b2 = 202 – 2∙20b + b2 = (20 – b)2;
4 + 12b + 9b2 = 22 +
2∙2∙3b + 32∙b2 = (2 + 3b)2.
Куб
двочлена:
(a + b)3 = a3 + 3a2b +
3ab2 + b3 – це
куб суми двох чисел;
(a – b)3 = a3 – 3a2b +
3ab2 – b3 – це
куб суми або різниці двох чисел;
Розглянемо
декілька вправ на використання цих формул:
27 +
27b + 9b2 + b3 =
33 + 3∙32b +
3∙3b2 + b3 =
(3 + b)3;
1 +
3m + 3m2 + m3 =
13 + 3∙12m +
3∙1∙m2 + m3 =
(1+m)3 ;
64 –
48c + 12c2 – c3 =
43 – 3∙42c +
3∙4c2 – c3 =
(4 – c)3;
8 –
12n + 6n2 – n3 =
23 – 3∙22n +
3∙2n2 – n3 =
(2 – n)3 .
Іноді
стають у нагоді такі формули:
(a ± b)4 = a4 ± 4a3b +6a2b2 ± 4ab2 + b4;
(a ± b)5 = a5 ± 5a4b +10a3b2 ±10a2b3 +5ab4 ± b5;
(a ± b)6= a6 ± 6a5b +15a4b2 ±20a3b3 +15a2b4 ± 6ab5 +b6.
Для
непарних n
аn + bn = (a+b)( an-1 - аn-2b + аn-3b2 -…
+ а2bn-3 -
аbn-2 + bn-1);
Якщо b = 1, тоді
a2n+1 + 1= (a + 1)( an-1 - аn-2 - аn-3 +… +а2 - а + 1);
а3 + b3+ c3 - 3abc
= (a + b + c)(a2 + b2 +c2 – аb – bc –ac);
(a + b + c)2 = a2 + b2 +c2 + 2аb + 2bc + 2ac.
Завдання
для самостійного опрацювання
1 рівень
1.Довести:
z2 + 7z=z(z+7);
2y2 – 9y=y(2y-9);
21x2
+ 7x=7х(3х+1);
18n2 – 9n=9n(2n-1);
а2
- 1 =
(a+1)(a-1);
1-m2 = (m+1)(1-m);
а2
- 4 = (a+2)(a-2);
9-4m2 =
(2m+3)(3-2m);
p2 + 6p + 9= (p +3)(p +3);
d2 – 8d + 16= (d - 4)(d - 4) ;
9x2
- 12x + 4= (3х -2)(3х -2);
Розкласти на
множники:
35q
– 35p;
50qt – 75wpt;
100m2
– 16n2;
k 2 – m2 + 4(k
+ m)2;
m4 – 16.
2 рівень
Довести:
4x - x3=-х(х+2) (х-2)
9x2-x4=-х2(х+3) (х-3)
x5-
8x2=х2(х-2)
(х2+2х+4)
x3-x6=х3(1-x) (х2+х+1)
9a4-4a2 =a2(3a+2)(3a-2);
x2
+ 5x + 4= (х +1)(х +4)
x2
+ 6x + 5= (х +1)(х +5)
x2
+ 7x + 6=
(х +1)(х +6)
x2
- 7x - 8=
(х +1)(х -8)
x2
+9x +8= (х +1)(х
+8)
3 рівень
Обчислити:
(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
-232
(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(38+1)
- 316
(5-1)(5+1)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)
-532
(4-1)(4+1)(42+1)(44+1)(48+1)(416+1)
-432
Довести:
-6x2
+19x - 15= (2х -3)(5
-3х)
x2
+10x + 25- =
(2х -3)(5 -3х)
Розв'язати
рівняння, використовуючи розклад на множники:
а) x2 + x = 0; 64y2 - 25y = 0; 0,04z3 - 0,01z
= 0; a3 - a5 =
0;
9z3 - 4z = 0;
36a3 - 144a5 = 0;
б) 0,4x2 – 6,4 = 0; 0,9y2 – 3,6 =
0; 9 – 81z2 =
0; 81y2 – y4 = 0; 0,16z4 – 0,81z2 = 0;
в) 3x2 + 4x = 0; 5y2 - 6y = 0; – 3z3 + 27z = 0; 5y3 - 125y = 0; – 24z2 – 72z = 0;
г) x3 – 4x = 0; 49y3 – 9y = 0; 4z3 – 25z = 0; 64x3 – 4x = 0; -27y4 – 9y2 = 0;
0,04z3 – 0,25z = 0;
д) y4 - 49y2 = 0; 6,4y4 – 12,5y = 0; x2 +2x +1 = 0; 4x2 - 4x +1 = 0; 8z4 + 27z = 0.
Доведіть, що
при будь-якому натуральному значенні змінної вираз:
а) (m + 1)2 – (m – 1)2 ділиться
на 4;
б) (2m + 3)2 – (2m – 1)2 ділиться
на 8.
в) (k + 2)2 – (k - 2)2 ділиться
на 8;
г) (3m + 1)2 – (3m- 1)2 ділиться
на 12.
д) (4m +3)2 – (4n-3)2 ділиться на 48;
е) (5k + 1)2 – (2k - 1)2 ділиться
на 7;
є) (5m + 2)2 –
(5m - 2)2 ділиться
на 40;
ж) (9k + 6)2 –
(7k - 6)2 ділиться
на 4;
з) (7k - 2)2 – (2k - 7)2 ділиться
на 5;
и) (7n- 2)2 – (2n - 7)2 ділиться
на 9.
4.
Доведіть, що:
а) (2m – 3)2 = (3 – 2m)2; б) (–2t– 3)2 = (3 + 2t)2; в) (– a – b)(a + b) = – (a + b)2;
г) (– c – d)3 = – (c + d)3; д) (m – n)3 = – (m – n)3; е) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Відомо,
що x + y = 0, xy = – 4. Обчислити
вирази:
1) yx2 + xy2; y2x4 + x2y4; x3 + y3; x2 + y2;
2) x4 – y4; (x + y)3; (x – y)3; уx3 + хy3.
7. Використовуючи
формули скороченого множення, розкладіть на множники многочлени і знайдіть
корені рівняння:
а) 9 + 24b +16b2 = 0; (4 + a)2 – 9 = 0;
(9 – k)2 – 25k2= 0;
б) (1 – n)2 – 81n2= 0; 49z2 – 100v2; 64a2 –
900b2;
в) 4900z4 – 2500z2= 0; y3 + 1000= 0; 8 -
125x3= 0;
г) m4 – 16= 0; n6 – 1= 0; m8 – 1= 0; x2 – y2 – zx – zy=
0;
д) x2 – 4 – ax – 2a= 0; 25 - (4t4 – 4y2 – 1) =
0;
у) 3a2 – 18a + 27= 0; r3 –
4r + 16 – 4r2 = 0; 49x2 - (5x + 1)2=
0;
є) (3
- 2u)2 + 2(3 - 2u) + 1= 0; (2
+ t)3 - t3= 0; (r - 1)3 + (r + 1)3= 0.
4 рівень
Довести:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2аb + 2bc +2ac;
(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2аb - 2bc -2ac;
(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2аb + 2bc -2ac;
д) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a);
е) (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) + 2(а3 + b3 + c3 -3abc);
є) (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab2 + b4;
ж) a2 + (а – 1)2 + (а(а – 1))2 =
(а2 – а + 1)2;
з) а4 – b4 = (a–b)(a3 + а2b + аb2 + b3).
Довести:
xy + x + y + а = (х + 1)(y + 1) + а - 1.
xy + x + y + 1= (х + 1)(y + 1)
aху + bх + cу + d = (x + c:a)(ау + b) + d – (cb:a).
ax2 + byх + cy2 = а(х ‒ k1y) (х ‒ k2y), де k1, k2 ‒ корені квадратного рівняння
ak2 + bk + c = 0.
Довести:
а3 + b3 + c3 - 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2
–аb–bc–ac);
Довести:
a4+a2+1=(a2+a+1)(a2-a+1);
q8+q4+1=(q2+q+1)
(q2-q+1)(q4-q2+1);
а5 – b5= (a – b)(a4+ а3b + а2b2 + аb3 + b4);
а5 + b5= (a+b)( a4 – а3b + а2b2 – аb3 + b4);
Довести:
х3(х2-7)2
-36х =x(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)(x+3)(x-3);
m3+9m2+11m-21=(m-1)(m+7)(m+3);
p3+5p2+3p-9=(p-1)(p+3)2;
m4-10m3+27m2-14m+2=(m2-4m+1)(m2-6m+2);
m4-12m3+43m2-42m+6=( m2-6m+1)( m2-6m+6);
y10+y5+1=(y2+y+1)(y8-y7+y5-y4+y3-y+1);
z5n+zn+1=(z2n+zn+1)
(x3n-z2n+1);
Довести:
x2y+xy2+x2z+xz2+y2z+yz2+3xyz=(x+y+z)(xy+zy+xz);
x2y+xy2+x2z+xz2+y2z+yz2+2xyz=(x+y)(x+z)(x+z);
x4+ y4+z4-2x2y2-2x2z2-2y2z2=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z);
8x3(y+z)-y3(z+2x) –z3(2x-y)=(y+z)(2x-y)(2x+z)(2x+y-z);
Немає коментарів:
Дописати коментар