Математична олімпіада-тренінг

Математична олімпіада

1.Розв’язати рівняння на множині цілих чисел:  

x² – (n³ + n²- n - 4)х + n⁵ - 5n³ + 4n = 0.

а) Чи вірно, що серед  коренів цього рівняння  обов’язково є нульовий корінь, якщо n-натуральне число?

б)Чи вірно що добуток усіх коренів цього рівняння ділиться на 120, якщо n-натуральне число?

в) Чи вірно що сума  усіх модулів коренів цього рівняння   більше  -4, якщо n-натуральне число?

  

2.Розв’язати систему двох рівнянь з параметром m, що заданий  на множині цілих чисел :

 m(m-2)^-1 x + my = m;  

-mx + (4-m²)m^-1y =(2-m)m^-1.

а) Чи вірно, що будь-які розв’язки цієї системи є цілочисельними, якщо   m -натуральне число?

б)Чи вірно що існує таке значення параметра m, при якому система  немає розв’язку,  якщо m -натуральне число?

в) Чи вірно що існує таке значення параметра m, при якому система  має безліч розв’язків,  якщо m - ціле число?

3.А)Дано рівнобічна трапеція. Довести, що точка перетину прямих, на яких лежать бічні сторони, точки перетину діагоналей і середини основ трапеції належать одній прямій.

Б) Довести, що в рівнобедреному гострокутному трикутнику сума відстаней кожної точки основи до бічних сторін є сталою.

4.А) Яке трицифрове число має найбільшу кількість дільників? Скільки таких трицифрових чисел?

Б) Яке двоцифрове число, що має таку властивість: куб суми його цифр дорівнює  квадрату цього числа. Скільки таких двоцифрових чисел?