Метод оцінок для розв'язування рівнянь

1. Чи існують додатні числа x, y, z, які задовольняють одночасно обидві рівності:

x+y+z=1, та

(1-x)(1-y)(1-z)=xyz?

Відповідь: не існують.

Розв’язання.  

y+z=1-x>0,  0<z <z+y =1-x;

x +z=1-y>0, 0<x< x +z =1-y;

x+y =1-z>0, 0<y< x+y =1-z.

Припустимо, що такі числа існують, тоді з додатності кожного з чисел можемо написати такі нерівності:

1-x>z,  

1-z>y,

1-y>x.

Залишається їх перемножити і одержимо, що

(1-x)(1-y)(1-z) = xyz, тобто друга рівність не можлива.