Dіофантове мультиплікативне рівняння mn=20082008

1. Скільки існує способів запису натурального  числа n  у вигляді добутку двох натуральних множників, кожне з яких більше, ніж 1? (Вважати випадок ab = ba  як один спосіб). Скільки існує способів запису  числа 20082008 у вигляді добутку двох натуральних множників, кожне з яких більше, ніж 1. (Вважати випадок  20082008 = ab = ba  як один спосіб).
Розв’язання.
Розкладемо натуральне число n на прості множники і запишемо канонічний вид  розкладу числа на прості множники. Позначимо через m(n) кількість натуральних дільників  числа n. Крім самого числа n та 1. Вибравши перший множник, автоматично вибираємо другий, з яких половина є перестановками інших. Отже, K(n) =  0,5( m(n) – 2 ) - це формула кількості способів запису натурального  числа n  у вигляді добутку двох натуральних множників, кожне з яких більше, ніж 1.

20082008 = 2008·10001,
2007 = 2·2·2·251,
10001 = 73·137,
Таким чином, число  20082008 = 73·137·2·2·2·251, = 2³·73¹·137¹·251¹.
Кількість усіх дільників n(20082008) =(3+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 32.

K(20082008) =0,5( 32 – 2 ) = 15 cпособів.

1. Скільки існує способів запису  числа 20072007 у вигляді добутку натуральних множників, кожне з яких більше, ніж 1. (Вважати випадок 20072007 = ab = ba  як один спосіб).
Розв’язання.  Розкладемо на прості множники дане число.
20072007 = 2007·10001,
2007 = 3·3·223,
10001 = 73·137,
Таким чином, у числа  20072007 =  3·3·73·137·223 = 3²·731·1371·2231,
Кількість усіх дільників n(20072007) =(2+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 24.
Отже, натуральне число k розкладене на п’ять простих множників, тобто
k = a·a·b·c·d,
Підрахуємо кількість способів записати  число k у вигляді добутку двох натуральних множників.
Усі п’ять простих множників треба розбити на дві групи:
Число 5 можна представити у вигляді суми двох натуральних доданків двома способами, тобто 5 = 1 + 4 = 2 + 3. Це означає, що у записі  числа  k у вигляді добутку двох натуральних множників першим множником може бути:
1) одне  просте число із п’яти;
2) добуток двох простих чисел із п’яти;
3) добуток трьох простих чисел із п’яти;
4) добуток чотирьох простих чисел із п’яти.

Запишемо усі випадки для простих множників a, a, b, c, d:


1) а·(a·b·c·d);
2) b·(a·a·c·d);
3) c·(a·b·a·d);
4) d·(a·b·c·a);
5) (а·a)(b·c·d);
6) (а·b)(a·c·d);
7) (а·c)(a·b·d);
8) (а·d)(a·b·c);
9) (b·c)(a·a·d);
10) (b·d)(a·c·a);
11) (c·d)(a·a·b);
12) (a·b·c·d)·а;
13) (a·a·c·d)·b;
14) (a·b·a·d)·c;
15) (a·b·c·a)·d;
16) (b·c·d)(а·a);
17) (a·c·d)(а·b);
18) (a·b·d)(а·c);
19) (a·b·c)(а·d);
20) (a·a·d)(b·c);
21) (a·c·a)(b·d);
22) (a·a·b)(c·d).


Так як треба вважати випадок  20072007 = ab = ba  як один спосіб, то половина із 22 попередніх способів є перестановкою множників. Отже, усіх способів, які відповідають умові задачі, рівно 11.

Добре, але навіщо так ускладнювати? Як тільки ми знайшли, що число має 24 різних дільники, або 22 (крім 1 і самого числа), одразу можемо зробити висновок, що всьго є 22 способи (вибравши перший множник, автоматично отримаємо другий), з яких половина є перестановками інших. Отже, всього 11 способів подати число у вигляді добутку двох множників (але в умові не сказано "двох").

Усі п’ять простих множників треба розбити на три групи:
Число 5 можна представити у вигляді суми трьох натуральних доданків двома способами, тобто 5 = 1 + 2+ 2 = 1+ 1+ 3. Це означає, що у записі числа  k у вигляді добутку трьох натуральних множників першим множником може бути:
1) одне  просте число із п’яти; (тут є 4 способи)

Якщо одне просте число - 3, то залишається 4 простих, з яких треба утворити добуток двох складених - це 3 способи.
Інакше, лише 2 способи: 9·ab або 3a·3b

2) добуток двох простих чисел із п’яти; (тут є 7 способи)

Це вже повторення тих самих способів.

3) добуток трьох простих чисел із п’яти; (тут є 7 способи)

Усі п’ять простих множників треба розбити на чотири групи:
Число 5 можна представити у вигляді суми чотирьох натуральних доданків одним способом, тобто 5 =  1+ 1+1+2. Це означає, що у записі  числа  k у вигляді добутку чотирьохнатуральних множників першим множником може бути:
1) одне  просте число із п’яти; (тут є 4 способи);
2) добуток двох простих чисел із п’яти; (тут є 7 способи).

Серед добутку чотирьох множників буде рівно одне складене, яке можна вибрати 7 способами. Всі інші способи є перестановками. Яке має значення, що на першому місці?

Усі п’ять простих множників треба розбити на п’ять груп:
Число 5 можна представити у вигляді суми п’яти натуральних доданків одним способом, тобто 5 = 1 + 1+ 1+1+1. Це означає, що у записі  числа k у вигляді добутку п’яти натуральних множників першим множником може бути:
1) одне  просте число із п’яти; (тут є 1 спосіб);

11+18+11+1 = 41 =41

11+(3+2)+7+11+1=35 способів

Відповідь: 41 способів.

2. Скільки існує способів запису  числа 20082008 у вигляді добутку двох натуральних множників, кожне з яких більше, ніж 1. (Вважати випадок
20082008 = ab = ba  як один спосіб).
Розв’язання.
20082008 = 2008·10001,
2007 = 2·2·2·251,
10001 = 73·137,
Таким чином, у числа  20082008 = 73·137·2·2·2·251, = 23·731·1371·2511,
Кількість усіх дільників n(20082008) =(3+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 32.
Отже, натуральне число k розкладене на п’ять простих множників, тобто
k = a·a·а·b·c·d,
Підрахуємо кількість способів записати  число k у вигляді добутку двох натуральних множників.
Усі шість простих множників треба розбити на дві групи:
Число 6 можна представити у вигляді суми двох натуральних доданків двома способами, тобто
6 = 1 + 5 = 3 + 3 = 2 + 4.
Це означає, що у записі  числа  k у вигляді добутку двох натуральних множників першим множником може бути:
1) одне  просте число із шести;
2) добуток двох простих чисел із шести;
3) добуток трьох простих чисел із шести;
4) добуток чотирьох простих чисел із шести;
5) добуток п’яти простих чисел із шести.

Вважаючи випадок  20082008 = ab = ba  як один спосіб, то напишемо усі випадки для простих множників a, a, а, b, c, d:


1) а·(a·а·b·c·d);
2) b·(a·a·а·c·d);
3) c·(a·b·a·а·d);
4) d·(a·b·c·а·a);
5) (а·a)(b·а·c·d);
6) (а·b)(a·c·а·d);
7) (а·c)(a·b·а·d);
8) (а·d)(a·b·а·c);
9) (b·c)(a·a·а·d);
10) (b·d)(a·а·c·a);
11) (c·d)(a·a·а·b);
12) (а·a·а)(b·с·d);
13) (а·a·b)(a·с·d);
14) (а·a·c)(b·a·d);
15) (а·a·d)(b·с·a).

Отже, усіх способів, які відповідають умові задачі, рівно 15.

Відповідь: 15 способів.