Властивості трикутників. Довідник

Рівнобедрений трикутник

Означення. Рівнобедреним називається трикутник, у якого дві сторони рівні.

Рівні сторони називаються бічними, третя -основною. В DАВС - рівнобедрений, АВ = ВС - бічні сторони. АС - основа.

Класифікація рівнобедрених трикутників

 Як правило, до трикутників застосовують одночасно дві класифікації, як за довжинами сторін, так і за величиною найбільшого кута. Усі трикутники на площині можна розділити: рівнобедрені та різносторонні.

 Рівнобедрені трикутники можна поділити на  три множини:

    1.Рівнобедрені тупокутні трикутники.

    2. Рівнобедрені прямокутні трикутники.

    3. Рівнобедрені гострокутні трикутники (до цієї множини входить правильний

        трикутник).

Різносторонні трикутники теж можна поділити на три множини:

    1. Різносторонні тупокутні трикутники.

    2. Різносторонні прямокутні трикутники.

    3. Різносторонні гострокутні трикутники.

Слід запам’ятати, що не існує рівностороннього прямокутного трикутника та рівностороннього тупокутного трикутника.

Прямокутний рівнобедрений трикутник має  рівні гострі кути, що рівні половині прямого кута, 45⁰.

Ознаки рівнобедреного трикутника

1)   Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.
Якщо Ð А = Ð С, то D АВС - рівнобедрений з основою АС і бічними сторонами АВ = ВС.

2) Якщо в трикутнику медіана є бісектрисою і висотою, то він рівнобедрений.

Якщо Н - середина АС і Ð АВН = ÐСВН, ВН ^ АС, то D АВС - рівнобедрений з основою АС і бічними сторонами АВ = ВС.

3) Якщо трикутник має одну вісь симетрії, то він рівнобедрений.
Якщо пряма ВР - вісь симетрії D АВС, то D АВС – рівнобедрений з основою АС і бічними сторонами АВ = ВС.

Властивості рівнобедреного трикутника

1. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Якщо в D АВС  АВ = ВС, то Ð А = Ð С .

2. У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою.

Якщо в D АВС АВ = ВС і ВМ - медіана (точка М середина відрізка АС,  АМ=МС), то ВМ висота і бісектриса (ВМ ^ АС  і Ð АВМ = Ð СВМ).

3. Рівнобедрений трикутник має одну вісь симетрії.

Якщо в D АВС АВ - ВС, то пряма ВМ - вісь симетрії D АВС, де М -середина АС.

4. У рівнобедреному трикутнику висоти, проведені до бічних сторін, рівні.

Якщо в D АВС  АВ = ВС ÐАР та СМ - висоти (АР^ ВС, СМ ^ АВ), то АР = СМ.

5. У рівнобедреному трикутнику медіани, проведні до бічних сторін, рівні.

Якщо в D АВС  АВ = ВС і АР та СХ - медіани (Р - середина ВС, Х - середина АВ), то АР = СХ.

6. У рівнобедреному трикутнику бісектриси кутів при основі рівні.

 Якщо в D АВС АВ = ВС і АМ та СК - бісектриси Ð А  і  Ð С відповідно, то АМ = СК.

7. Бісектриси кутів В та С при основі рівнобедреного трикутника АВС перетинаються в точці Е і на продовженні зустрічають описане коло навколо цього трикутника в точках D i F, тоді чотирикутник EDAF – ромб.

Вправи на доведення.

1. (Властивість кутів, що прилеглі до основи).  Доведіть, що у рівнобедреному трикутнику кути,  прилеглі до основи, рівні між собою.

Доведення.  Розглянемо рівнобедрений трикутник АВС, у якого АВ = ВС. Доведемо, що Ð А = Ð С. Проведемо ВL – бісектрису трикутника АВС. Трикутники АВL  та СВL рівні за першою ознакою (АВ = ВС, Ð АВL = Ð СВL, ВL – спіль­на сторона), звідси Ð А = Ð С.

2. (Властивість бісектриси,що проведена до основи). Доведіть, що у рівнобедреному трикутнику кути, бісектриса, що проведена до основи, є висотою та медіаною.

Доведення.  Розглянемо рівнобедрений трикутник АВС, у якого АВ = ВС. ВL – бісектриса трикутника АВС. Доведемо, що АL, = LС та ВL – висота три­кутника АВС. Трикутники АВL та СВL рівні за першою ознакою (АВ = ВС, Ð АВL = Ð СВL, ВL - спіль­на сторона), звідси АL = LС, Ð АLВ = Ð СLВ. АL = LС, звідси ВL – медіана трикутника АВС.  Кути АLВ та СLВ суміжні, тому їх сума дорів­нює 180°. Кути АLВ та СLВ рівні та в сумі складають кут 180°, отже, вони прямі. Звідси ВL – висота трикутника АВС. 

3. Доведіть, якщо у трикутнику два кути рівні, то цей трикутник рівнобедрений

Доведення.  Розглянемо трикутник АВС, у якого кути А та С рівні. Доведемо, що АВ = ВС. Трикутники АВС та СВА рівні за другою озна­кою (АС – спільна сторона, Ð А = Ð С, Ð С =Ð А,  звідси АВ = ВС.

Рівносторонній трикутник

Означення. Рівностороннім    називається    трикутник, якого всі три сторони рівні. D АВС - рівносторонній,  АВ = ВС = АС. Для всіх рівносторонніх трикутників величина внутрішніх кутів рівна 60⁰, Ð А = 60⁰, Ð С = 60⁰, Ð В = 60⁰.

Ознаки рівностороннього трикутника

1. Якщо в трикутнику всі кути рівні, то він рівносторонній.

Якщо ÐА = Ð В = Ð С, то D АВС -рівносторонній, тобто АВ = ВС = АС.

2. Якщо в трикутнику кожна меді­ана співпадає з бісектрисою і висо­тою, проведеними з тієї ж вершини, то він рівносторонній.

Якщо m_а =l_а =h_а = m_b =l_b =h_b = m_c =l_c =h_c, то D АВС - рівносторонній.

3. Якщо центри вписаного і описаного кіл співпадають, то трикутник рівносторонній.

Якщо О - центр кола, описаного навколо D АВС і центр кола, вписаного в D АВС, то D АВС - рівносторонній.

4. Якщо трикутник має три осі симетрії, то він рівносторонній.
Якщо прямі АО, ВМ, СР – осі симетрії трикутника АВС, то D АВС —
рівносторонній.

Властивості рівностороннього трикутника

1. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні.

Якщо в D АВС АВ = ВС = АС, то Ð А = 60⁰, Ð С = 60⁰, Ð В = 60⁰.

2. У рівносторонньому трикутнику кожна медіана співпадає з бісектрисою
і висотою, проведеними з тієї ж вершини.

Якщо в D АВС АВ = ВС = АС, то m_а =l_а =h_а = m_b =l_b =h_b = m_c =l_c =h_c.

3. У рівносторонньому трикутнику центри вписаного й описаного кіл
співпадають.

Якщо в D АВС АВ = ВС = АС, то О – центр для двох кіл: кола, описаного навколо D АВС, і кола, вписаного в D АВС.

4. Рівносторонній трикутник має поворотну симетрію - він не змінюється при повороті навколо центра трикутника на кут 120°.

5. Рівносторонній трикутник має три осі симетрії.

Якщо в D АВС АВ = ВС = АС, то прямі АР, ВМ і СN - осі симетрії DАВС, де М - середина АС, N - середина АВ, Р – середина ВС.

http://geom8klas.blogspot.com/2015/02/blog-post_3.html

Властивості  прямокутних трикутників

1. У прямокутному трикутнику сума гострих кутів рівна 90⁰.
2. Рівнобедрений прямокутний трикутник має рівні гострі кути по 45⁰.
3. У прямокутному трикутнику напроти кута 30⁰ лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи.
4. Площа прямокутного трикутника рівна половині добутку  його катетів.
5. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи рівна половині гіпотенузи.
6. У прямокутному трикутнику кут між бісектрисами гострих кутів рівний 135⁰.
7. У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута навпіл.
8. У прямокутному трикутнику висота, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два прямокутних трикутники, у яких рівні кути.
9. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два необов’язково рівних рівнобедрених трикутники..
10. У прямокутному трикутнику кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює різниці гострих кутів трикутника.
11. У прямокутному трикутнику кут між медіаною та бісектрисою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника.
12. У прямокутному трикутнику кут між бісектрисою та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника.
13. У прямокутному трикутнику центр описаного кола  лежить в центрі гіпотенузи, а радіус цього кола дорівнює  половині гіпотенузи.
14. У прямокутному трикутнику центр вписаного кола  лежить в точці перетину двох бісектрис, а радіус цього кола дорівнює  половині сумі катетів без гіпотенузи.
15. У прямокутному трикутнику квадрат висоти, що проведена до гіпотенузи,  рівний добутку проекцій катетів на гіпотенузу.
16. У прямокутному трикутнику квадрат катета рівний добутку довжини проекції цього катета на гіпотенузу на довжину гіпотенузи.
17. У прямокутному трикутнику точка перетину висот  лежить у вершині прямого кута.
18. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів.
19. У прямокутному трикутнику площа кола побудованого на гіпотенузі, як на діаметрі, дорівнює сумі площ кіл, що побудовані на його катетах, як на діаметрах.
20. У прямокутному трикутнику площа квадрату побудованого на гіпотенузі, як на стороні, дорівнює сумі площ двох квадратів, що побудовані на його катетах, як на сторонах.
21. Прямокутний трикутник можна розрізати на три тупокутних трикутники.
22. Прямокутний трикутник можна розрізати на гострокутні трикутники.
23. Прямокутний трикутник можна розрізати на три трапеції.
24. Прямокутний трикутник не можна розрізати на паралелограми.
25. Прямокутний трикутник можна розрізати на три чотирикутники, діагоналі яких перпендикулярні..
26. У прямокутному трикутнику , якщо гострі кути відносяться, як 1:3, то бісектриса прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника.
27. У прямокутному трикутнику , якщо гострі кути відносяться, як 1:2, то медіана прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника.
28. У прямокутному трикутнику, якщо висота, проведена на гіпотенузу, ділить її на відрізки, різниця яких рівна одному з катетів трикутника, то гострі кути відносяться, як 1:2.
29. У прямокутному трикутнику, якщо сторони утворюють арифметичну прогресію, то різниця цієї прогресії рівна радіусу вписаного в цей трикутник кола.
30. Висота, що виходить з вершини прямого кута трикутника, рівна добутку катетів, поділеному на гіпотенузу.
31. Відношення проекцій катетів на гіпотенузу дорівнює відношенню квадратів катетів.
32. Якщо сторона трикутника являється діаметром його описаного кола, то протилежний їй кут – прямий, тобто трикутник прямокутний.
33.  Якщо квадрат найдовшої сторони трикутника рівний сумі квадратів двох інших сторін цього трикутника, то трикутник прямокутний.
34. Теорема Гіппократа: Сума площ „місяців”, що лежать між дугою напівкола, яке побудоване на гіпотенузі як на діаметрі, і дугами кіл, що побудовані на катетах як на діаметрах, дорівнює площі даного трикутника.

У каждого треугольника имеется, и притом единственная, окружность девяти точек. Этоокружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника : основания его высот D1 D2 и D3, основания его медиан D4, D5 и D6 середины D7, D8 и D9 отрезков прямых от точки пересечения его высот Н до его вершин.

Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха). Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это -точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида. Одна из этих окружностей вписанная, остальные три - вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D10, D11, D12 и D13 называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.

Окружность эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой Н- его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.

Энц. справочник юного математика, 1989

Тест (12 балів) з теми: «Трикутник»

1. Кожну сторону правильного трикутника поділено на три рівні частини і відповідні  точки   поділу в одному напрямі сполучено між собою. У здобутий правильний трикутник вписано коло, радіус якого 6 см. Визначити сторони трикутників.

а) 12∙3^0,5 і  36 см;  б)12 і 36 см;   в)15 і 36 см;   г)9 і 24 см;     д)18 і 42см.

2.Сторона правильного трикутника, вписаного в коло , дорівнює 6см. Обчислити площу квадрата, вписаного в те саме коло.

а) 24 см²;               б)36 см²;           в)48 см²;           г) 12 см²;              д)15 см².

3. Знайти відношення площ рівностороннього трикутника, квадрата і правильного шестикутника, сторони яких однакові.

а) 1:2:6;     б) 3^0,5 : 4 : 6∙3^0,5;     в) 3^0,5:1:6∙3^0,5;   г) 3^0,5: 2: 6∙3^0,5;  д) 3^0,5:4:3∙3^0,5.

4. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4∙2^0,5 см, а медіана бічної сторони 5 см.

Знайти довжину бічної сторони.

а) 6 см;        б)4 см;             в) 6∙2^0,5  см;           г) 8 см;            д)10 см.

5. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить висоту, опущену на основу, на відрізки 15 см  і  9 см. Знайти площу трикутника.

а) 432 см²;           б)386 см²;            в) 216 см²;           г) 358 см²;         д)653 см².

6. Бічна    сторона    рівнобедреного    трикутника дорівнює 30 см. Бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи у відношенні  12:5, починаючи від вершини. Знайти основу трикутника,
а) 15 см;         б)25 см;                  в) 16 см;              г) 18 см;                 д)30 см .

7. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см, а периметр 36 см. Обчислити відстань між точками      перетину      медіан      і      серединних перпендикулярів трикутника.

а) 13∙3^{-1 см;}    б) 6 см;         в) 4 см;            г) 19∙3^-1  см;                     д)2 см.

8. Точка перетину медіан і точка перетину бісектрис рівнобедреного трикутника віддаленні від вершини, яка протилежна основі, на 16 см і 15 см. Обчислити
периметр трикутника.

а)96 см;  б)48 см;              в) 24 см;          г) 192 см;                д)144 см.

9. Всередині рівносгороннього трикутника взято точку М, яка знаходиться на відстанях 3; 4; 5 від сторін трикутника. Знайдіть висоту цього трикутника.

а)12;         6)16;               в) 18;           г)20;                    д)14см

10. Висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника, дорівнює 11 см і вдвічі більша своєї проекції на бічну сторону. Знайдіть площу трикутника.

а) 121∙3^0,5; б) 112; в) 124; г) 116; д)144∙3^0,5  см

11. Медіана правильного трикутника дорівнює 10∙3^0,5. Знайти проекцію однієї медіани на іншу.

а) 5∙3^0,5  см;         б)3∙3^0,5  см;        в)6∙3^0,5  см;   г)4∙3^0,5  см;       д)10∙3^0,5  см.

12.    У рівнобедреному трикутнику основа і бічна сторона дорівнюють відповідно 5 і 20 см. Знайти бісектрису кута при основі трикутника. 

а) 6 см;   б)8см;                  в) 10см;           г) 15 см;           д)17см.